Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Существование и единственность решения в 8 Задачи для полуограниченной прямой !. Задачи для однородного уравнения с однородными граничными условиями первого и второго рода 2. Распространение краевого режима в 9. Колебания в неограниченном пространстве 1. Сферически.симметричный случай 2 Формула Кирхгофа 3.
Формула Пуассона 4. Метод спуска 5. Локальные начальные условия 6. Установившиеся колебания й 10. Задача с данными на характеристиках )задача Гурса) 3 11. Общая задача Коши. Функция Римана 3 12. Нелинейные уравнения 1. Простейшие уравнения и метод характеристик 2. Обобщенное решение Условия на разрыве 3. Уравнение Кортевега — де Фриза и законы сохранения 4.
Схема метода обратной задачи 5. Солитонные решения Глана И!1. Уравнения эллиптического типа. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца 3 1. Задача Штурма †Лиувил для оператора Лапласа 1 Приведение задачи Штурма — Лиувнлля к интегральному уравнению Фредгольма 2. Свойства собственных значений и собственных функций 3 Теорема Стеклова 4 2 Свойства решений уравнения Гельмгольца !.
Фундаментальные решения уравнении Гельмгольца 2 Формулы Грина 3 Потенциалы уравнения Гельмгольца 4 Принцип мансимума для уравнения Ьи — х'и=О $3. Внутренние задачи для уравнения Гельмгольца 1. Внутренняя задача для уравнения ба †'и=О 2. Вторая и третья краевые задачи для уравнения би — х'и=О 3 Краевые задачи для уравнения йи+йзи=О в 4 Функция Грина краевых задач для уравнения Гельмгольца $5. Задача для уравнения ба †'и= †! в неограниченной области й 6. Задача для уравнения Лич-йзи= — 1 в неограниченной области 1. Условия излучении 2.
Принцип предельного поглощенна 254 256 259 26! 265 267 267 268 270 272 277 280 28! 281 284 286 286 287 291 292 295 297 298 303 307 307 310 3!3 3!4 317 319 3!9 3!9 321 323 326 326 330 33! 332 333 333 334 335 336 338 339 339 345 ПРЕДИСЛОВИЕ Курс математической физики занимает значительное место в общей математической подготовке студентов физических факультетов университетов. По этому курсу за многие годы было создано большое число первоклассных руководств, начиная с классических книг В.
А. Стеклова, Д. Гиль- берта и Р. Куранта и сыгравших огромную роль в становлении университетского курса учебников А. Н. Тихонова и А. А. Самарского, С. Л. Соболева, В. С. Владимирова и ряда других. Однако все эти книги содержат материал, во многом превосходящий возможности лекционных курсов, определяемых ныне действующими учебными планами, и не всегда акцентируют внимание изучающих их студентов на стержневых вопросах курса. В предлагаемых вниманию читателей лекциях сделана попытка дать по возможности компактное изложение материала, составляющего основу действующей университетской программы.
Определенное внимание уделено роли методов математической физики при математическом моделировании физических процессов, интерпретации не только решений конкретных задач, но н используемых методов решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, моделирующих реальные физические процессы. Вводная глава посвящена рассмотрению наиболее характерных физических задач, математические модели которых представляют собой начально-краевые задачи математической физики. Традиционно большое место в курсе занимает изложение метода разделения переменных решения начально-краевых задач, при котором естественно возникает необходимость рассмотрения специальных фу.нкций, являющихся решением задач Штурма — Лиувнлля.
Изучению свойств ряда наиболее широко используемых при решении конкретных задач специальных функций, в частности классических ортогональных полнномов, посвящена отдельная глава курса. В лекциях затрагиваются н такие вопросы как применение обобщенных функций в матемагнческой физике, построение автомодельных решений квазнлннейных уравнений, опнсываюших режимы с обострением, исследование нелинейных колебаний. Авторы лекций в течение многих лет читают данный курс студентам физического факультета Московского университета.
Глава ! ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ПОСТА НОВ КА НАЧАЛ Ь НО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ При исследовании реальных физических процессов и явлений методами математического моделирования одним из важных этапов является формулировка математической модели, т. е. четкая постановка математической задачи, достаточно адекватной исследуемому кругу физических явлений Весьма широкий класс математических моделей, описывающих физические явления, представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. В этой главе рассматриваются наиболее типичные физические задачи, математическими моделями которых служат начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.
5 С ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ВОЛНОВЫМИ ПРОЦЕССАМИ 1. Малые продольные колебания упругого стержня Рассмотрим упругий стержень длины 1, расположенный в состоянии равновесия вдоль оси х от точки х=О до точки х=й Будем рассматривать малые продольные колебания стержня, при которых напряжения, возникающие в процессе колебаний, подчиняются закону Гука.
Тогда стержень можно рассматривать как абсолютно упругий. Поскольку рассматриваются продольные колебания упругого стержня, то все точки одного сечения испытывают одно н то же смещение. Обозначим через и(х, ~) продольное смещение в момент времени ~ сечения стержня, характеризующегося абсциссой х в состоянии равновесия. Выбранная нами геометрическая переменная х называется переменной Лагранжа. В переменных Лагранжа каждая физическая точка стержня в течение всего рассматриваемого процесса характеризуется одной и той же геометрической координатой х. Физическая точка, занимавшая в начальный момент в состоянии равновесия поло- жение х, в любой последующий момент времени будет находиться в точке с координатой х=х+и(х,1).
Обозначим через р(х) линейную плотность стержня, й(х)— коэффициент упругости материала стержня, 1(х, 1) — плотность импульса продольной внешней силы, приложенной к стержню. Поскольку рассматриваются малые колебания, то согласно закону Гука сила, вызывающая упругую деформацию бесконечно малого элемента Ьх стержня, равна Р (х) =й (х) е (х), где е(х) — относительное удлинение элемента: а(х) = !пп (1.1) ь» 0 Л» Поскольку в формуле (1.1) (Лх) ' = (х -1- Лх х— и (х + г»х, 1) — (х+ и (х, Г))) — г»х = =и(х-1-бх, !) — и(х, г), гр =- ~ (Т(1) — Г(г)) Ш (1.2) имеет экстремальное значение.
Так как рассматривается случай малых колебаний, при подсчете кинетической и потенциальной энергии членами высшего порядка малости можно пренебречь. Кинетическая энергия бТ малого участка стержня Лх равна (считаем, что в пределах участка Лх все параметры сохраняют постоянное значение) ЬТ = — р (х) Ахи,- '(х, Г).
2 Следовательно, кинетическая энергия всего стержня равна Т(й) = — ~р(х) и',(х, г)г(х. то е (х) =и»(х, 1) и сила упругого натяжения в сечении х равна Р (х) =й (х) и» (х, (). Лля вывода дифференциального уравнения, описывающего чалые продольные колебания стержня, воспользуемся вариационным принципом. Вариационный принцип. Если материальная система, находящаяся в поле внешних сил„характеризуется для любого момента времени 1 кинетической энергией Т(1) и потенциальной энергией (/(г), то переход ее из состояния в момент времени г, в новое состояние в момент времени гв происходит так, что функционал Потенциальная энергия системы «стержень в поле внешних сил» и складывается из потенциальной энергии упругой деформаЦии ит,х и нз Работы А внешней силы: и=и„— А.
Работа ЛА внешней силы, затраченная на перемещение малого элемента Лх из состояния равновесия в состояние и(х, г), равна ЛА=Г(х, 1)лхи(х, Г). Полная работа А внешней силы записывается следующим образом: А(г)= ) г(х, г) и(х, г) пх. о Лиг я=асей. С перемещением на расстояние 6 связано изменение относительного удлинения е на величину Ле, причем 6 Ле= ах Следовательно, 6=ЛеЛх и ли,„=й,л .л.. Проинтегрировав последнее равенство от 0 до е, получаем выражение для энергии упругой деформации, которой обладает выделенный элемент: бит ч ~ноЛхгпе= кое Лх. 2 о (1,3 Рассмотрим теперь неоднородный стержень с коэффицнен том упругости й(х) и применим формулу (1.3) для бесконечнс малого элемента дх, учитывая, что в=и„(х, Г): с(из „= — й (х) и'„(х, г) дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
