Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 7
Текст из файла (страница 7)
3 Эти классы математических моделей существенно различаются между собой главными членами в уравнениях, описывающими изменение исследуемых величин во времени. В первом случае (процессы колебания) уравнение содержит вторую частную производную по времени, во втором (процессы переноса) в уравнение входит лишь первая частная производная по времени, в случае стационарных процессов вообще отсутствует частная производная по временной координате. 4.
Дифференциальные уравнения приведенных типов математических моделей представляют собой основные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка классической математической физики. Основной задачей данного курса являются изучение общих свойств решений данных ~ппов уравнений и разработка общих алгоритмов решения соответствующих начально-краевых задач. При этом возникает естественный вопрос: исчерпывается лн все многообразие линейных дифференциальных уравнений в часзных производных второго порядка данными типами уравнений? Исследованию ряда аспектов этого вопроса посвящена следующая глава. Глава и КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА Как было указано в предыдущей главе, многие физические задачи приводят к уравнениям в частных производных второго порядка относительно искомой функции.
Общий вид таких уравнений следующий: л где (хп ...,х„) — независимые переменные, и=и(х„,х„) — искомая функция, à — заданная функция. Уравнение, линейное относительно старших производных, имеет вид ~~~~1а„и +Ф(х!, ..., х„,, ..., — ) =-О !=!у=! где коэффициенты а„являются функциями только независимых переменных х„..., х„. Если они зависят также от и и ее первых производных, то уравнение называется квазилинейным. Уравнение называется линейным, если оно линейно не только относительно старших производных, но и относительно и и ее первых производных. Такое уравнение имеет вид л л л ~~ ~~~~ аи (х,, ..., х„) " + ~~ Ь! (х,, ..., х„) —" + !=!/=! !=! +с(х,, ..., х )и=Г(хг, ..., х ). В этой главе будет дана классификация уравнений в частных производных второго порядка. $ !. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ Рассмотрим уравнение второго порядка, линейное относительно старших производных, для неизвестной функции и двух независимых переменных х и у: ами,„ц 2аыи,„+ими„,+Г(х, у, и, и„ик) =О, (1.1) где действительные функции аи зависят от х и у и определены в области Р.
Будем считать, что все коэффициенты аи одновременно в нуль не обращаются. Введем новые независимые переменные (1.2) ь=ь(х У) Ч=Ч(х У) где функции $ и Ч дважды непрерывно дифференцируемы: С, Ч~Сов(Р). Будем считать, что это преобразование осуществляет взаимно однозначное отображение области Р на область Р'. Для этого потребуем, чтобы якобиан преобразования был отличен от нуля: — — — '! — -ь О. (1.8) Ы (х, у) Попытаемся преобразование (1.2) выбрать таким образом, чтобы в новых переменных уравнение (1.1) имело наиболее простую форму.
Преобразуем уравнение (!.1) к новым переменным, полагая (IЯ, т!) =и(хф, Ч), У($, т!)), и„=(7Д„+УчЧ„, и„=(7Д„-)-(7 Ч„ и„„=(7,Д!+2(7,дЧ.+(7ччЧ".+(7а„+(7 Ч., и„,=(узы'+2(7ьч~,Ч„+(7ччЧ!+(7Д„„+(7чЧмп и„„=(7!аД„+(7!. ад,+йд.)+(7.,Чд„+ ид.„+(7,Ч.„. В новых переменных уравнение (1.!) принимает вид ам()т!+ 2аы(71„+ а„(уч„+ Г = О, (!.4) где (!.8) Теперь можно ввести следующую классификацию уравнений, линейных относительно старших производных.
ОпРеделение. Если в точке Мс(хмУ0) азы — апаш>0, то уравнение (1.1) называется уравнением гиперболического типа в Ма, если в точке М0 а'„— апазз(0, то уравнение (1.1) зз 2 Зак 36~ 2 2 а„= а,Д, + 2а,ДЯз+ а,Д„, (!.5) а„= а,Д„'+ 2амЧДя+ амЧд, (!.6) а„=- а,Д,Ч, + а, ($д„+ $р,) + а,Дд„, (1.7) г"=ГЯ, т), У, У!, У„) — функция, не зависящая от старших производных. Прн этом непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости тождества — 2 — 2 ! )э($, ч) ам — а„а„= (ам — ама„) ~ ~ В (х. У) ~ называется уравнением эллиптического типа в Мо! если в точке М, а'1г — ацагг=О, то уравнение (1.1) называется уравнением параболического типа в Мо. Заметим, что согласно (1.8) яри любой невырожденной замене переменных тип уравнения не изменяется. Если тип уравнения сохраняется во всех точках области Р, то уравнение называется уравнением данного типа во всей области Р.
Если в разных точках области уравнение принадлежит разным типам, то оно называется уравнением смешанного тина в области Р. Отметим еще одно обстоятельство, которое потребуется в дальнейшем. Рассмотрим квадратичную форму, составленную из старших коэффициентов уравнения (1.1), взятых в точке Мо(хо уо): г г ац(х„у,)11+2агг(хо уо)Гг(г+а'г(хо уо)1г (1.9) Классификация уравнения (1.1) совпадает с классификацией квадратичной формы (1.9) *1. й 2. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ Теперь выясним, как нужно вводить новые переменные $ и ть чтобы уравнение (! З) приняло наиболее простой вид. Будем считать, что уравнение (1.1) принадлежит определенному типу во всей области Р и коэффициенты ац(х,у) и агг(х, у) одновременно в нуль не обращаются.
В противном случае уравнение (1.1) содержит только одну старшую производную иоа и уже имеет простейший вид. Для определенности считаем, что ац(х, у)ФВ. Из соотношения (1.5) видно, что, для того чтобы ам=О, нужно в качестве функции $(х, у) взять решение уравнения ацгг+2а„г,го+а„г'= О. (2. 1) Уравнение (2.1) называется характеристическим уравнением для уравнения (1.1). Разрешая (2.1) относительно г„, можно его переписать в виде (г, + Л,(х, у) г ) (г„ + Лг(х, у) г„) = О, где Л, и Л, — корни уравнении ацЛ' — 2а„Л+ а„= О.
Они равны аы-ь е о~г — оцаи г/' г Лиг= аи *~ См., например: Ильин В. А., Р1оаняк Э. Г. Линейная алгебра. Мл Наука, 1зеь Следовательно, уравнение (2.1) эквивалентно двум линейным уравнениям в частных производных первого порядка: г„+Л,(х, р)г =Оэ (2.2) г„+Л,(х, у) га —— О. (2.3) Как известно*1, для построения общего решения линейного уравнения в частных производных первого порядка достаточ" но найти интеграл соответствующего характеристического урав. нения. Для уравнений (2.2) и (2.3) характеристическими уравнениями являются уравнения — =Л,(х, у) и — =Л,(х, у).
еу ау ах ох (2. 4) и,„=Г(й, и, и, и,, и). (2.6) Форма уравнения (2.6) называется канонической формой уравнения гиперболического типа. Часто используется и другая каноническая форма, которую можно получить заменой а= — $ — а)), ~= — ($+т1). 1 1 2 2 В этом случае уравнение имеет вид 脄— и,„=г,. (2.7) Пусть в области Р уравнение (1.1) есть уравнение эллип- 2 тнческого типа, т. е, а~я — амааа(0 в Р. Тогда уравнения ха) Снл Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А.
Г. Дифференциальные уравнения. Мл Наука, 1985. Уравнения (2.4) называются уравнениями характеристик для уравнения (1.1), а их решения — характеристиками. Таким образом, если 9(х,у)=С является интегралом уравнения (2.4), то функция г=Цх, у) есть решение уравнения (2.1). Рассмотрим теперь каждый тип уравнения отдельно. Пусть в области Р уравнение (1.1) является уравнением гипеРболического типа, т.
е. всюдУ в Р аа„— аиаае)0. Тогда всюду в области Р Л,(х, у) еьЛа(х, у) и действительны. Никакие две характеристики нз разных семейств $(х, у) =С, и т1(х, у) =С, (2.5) не касаются друг друга. Эти два семейства образуют криволинейную координатную сетку. Выбрав $=$(х, у) и т1=т1(х, у), где $(х, у) и т1(х, у) определены из (2.5), получим ам=О, а„=О. Следовательно, уравнение (1.4) после деления на а,аФО принимает внд зв рактеристик (2.4) при действительных коэффициентах ап имеют комплексно-сопряженные правые части. Все характеристики будут комплексными. Считая, что коэффициенты ап определены в комплексной области и аналитичны и делая формальную замену $ = $ (х, у), т! = $' (х, у), (2.8) илн и„— и„„= Е (й, 1, и, (у,, и,); за где $(х, у) =С, н $*(х, у) =Сз — комплексно-сопряженные интег- ралы (2.4), получим уравнение и,„=г, в комплексной области.
Если сделать еще одну замену а = — Я+ ц) = Ке $, р = — — ' ($ — т)) = 1т $, 2 2 уравнение (2.8) примет вид (У +(1зз ="~ (2.9) уже в действительной области. Уравнение (2.9) есть канониче- ский вид уравнения эллиптического типа. Рассмотрим, наконец, уравнение параболического типа в об- ласти .0: а,',— а1га„=О в О, Х,(х, у)= Х,(х, у). В этом слу- чае существует только одно уравнение характеристик — =Х,(х, у). ду дх Пусть $(х, у)=С вЂ” его интеграл. Возьмем произвольную дваж- ды дифференцнруемую функцию т!(х, у) такую, чтобы ~ О. (2.10) В (х, у) Тогда при замене ~ =$(х, у), Ч =ч (х, у) коэффициент ам —— 0 в силу (2.1) и а,', =О, так как а~1,— ама„=О.
Коэффициент а„чьО, так как в противном случае будет не выполняться (2.10). Следовательно, уравнение (!.4) принимает вид У„„=рь (2.1! ) Уравнение (2.11) представляет собой каноническую форму уравнения параболического типа. Итак, в случае двух независимых переменных существуют только три различных типа уравнений в частных производных второго порядка, канонические формы которых имеют следую- щий вид: а) для уравнения гиперболического типа: из=а(й, 1, и, и,, и) б) для уравнения параболического типа: и„, =.р (Е, ть Сг, и,, и„). При этом в правой части уравнения — функции Р— обязательно должна присутствовать первая частная производная сг! по независимой переменной $, вторая частная производная по которой в уравнении отсутствует.
В противном случае исходное уравнение в частных производных вырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение по переменной Ч, в котором переменная $ играет роль параметра; в) для уравнения эллиптического типа: и,+и„,=г(й, ч, и, й, и„). Как следует из рассмотренных в гл. 1 примеров, если трактовать переменную $ как временную переменную 1, то уравнения гиперболического типа в случае двух независимых переменных являются математической моделью процессов пространственно- одномерных колебаний любой физической природы, а уравнения параболического типа описывают процессы переноса. Если в уравнении эллиптического типа обе независимые переменные С и и играют роль пространственных переменных, то это уравнение служит математической моделью стационарных процессов и, в частности, установившихся колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
