Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если граница Я поддерживается при заданной темпе- ' См И л ь и и В д, П о з н и к Э Г. Основы математического анализа. гт' ! 1М. Наука, Ш82 ратуре р(Р, г), имеем граничное условие первого рода, или граничное условие Дирихле: и(Р, Г) =р(Р, Г), Р я 5, 7>0. (2.10) Если на поверхности 5 задан тепловой поток ч(Р,Г), имеем граничное условие второго рода, или граничное условие Неймана: й(Р) — (Р, !) =-т(Р, Г), Р а= 5, 1>0, дл где ††произво по нормали к поверхности 5.
Зто условие д дл обычно записывается следующим образом: — (Р, () =р(Р, Г), Ре-:5, Г) О, (2.! 1) дл где р(Р, г) — заданная функция. Наконец, если на поверхности 5 происходит теплообмен с внешней средой заданной температуры, то, применяя запои Ньютона (2.2), после несложных преобразований получаем гра- ничное условие третьего рода —" (Р, Г)+6(Р) и(Р, г) =р(Р, Г), (2.12) дл где р(Р, 1) и й(Р) — заданные функции, Р~5, 1> О.
Таким образом, начально-краевая задача для уравнения теплопроводности ставится следующим образом: сри, =г((ч(йягаг)и)+1, М ~ В, Г> О, и(М, О) =~р(М), М а= О, а(Р) — "+р(Р) и =р(Р, Г), Реп 5, Г)0, дл (2.13) где 1(М, Г), р(Р, Г), с(М), р(М), й(М), ~р(М), а(Р), р(Р) — заданные функции. При атом, если а= — О, а рным, имеем граничное условие (2.10), если аФО, 0=0 — граничное условие (2.11), а если аФО и рФΠ— граничное условие (2.12), Для уравнения теплопроводности, кан и для уравнения колебаний, могут возникать и более сложные граничные условия, чем условия (2.10) — (2.12).
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только граничных условий первого, второго и третьего рода. Заметим, что к уравнению теплопроводности приводит не только рассмотрение процессов распространения тепла, но и процессов диффузии, процессов переноса вещества н др. Например, уравнение диффузии имеет вид с(М) —" =г(1ч(о(М)йгаг(и)+~(М, Г), (2.14) дг 27 где и(М, г) — концентрация газа в точке М в момент времени 1, с(М) — коэффициент пористости, равный отношению объема пор к полному объему, 0(М) — коэффициент диффузии, 1(М, 1) — плотность источников (стоков) вещества.
Уравнения теплопроводности (2.9) и диффузии (2.14) отличаются только обозначением коэффициентов. В ряде случаев и процессы распространения электромагнитных волн могут описываться уравнениями типа уравнения теплопроводности. В заключение параграфа заметим, что если уравнение теплопроводности рассматривается в неограниченном пространстве или в области внешней относительно замкнутой поверхности, то для однозначного описания процесса нужно ставить определенные условия на бесконечности. Конкретный вид этих условий будет рассмотрен в гл.
Н1. $ 3. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ 1. Стационарное распределение тепла Пусть физические условия в задаче о тепловом состоянии тела таковы, что плотность источников (стоков) тепла и граничные условия не зависят от времени. Тогда с течением времени в теле устанавливается некоторое не зависящее от времени распределение температуры, т е. тепловое состояние тела выйдет на стационарный режим. Распределение температуры в таком случае описывается уравнением, которое поди лучается из уравнения теплопроводности (2.9) при — =О и д! 1(М, г)= — 1(М). Уравнение, описывающее стационарное распределение тепла, имеет вид г) (ч (lг ягаб и) + 1(М) =- О.
(3 1) Граничные условия ставятся так же, как и для уравнения теплопроводности, но граничная функция не зависит от времени: и=-и(Р). Частным случаем уравнения (3.1) является так называемое уравнение Пуассона, получающееся при постоянном коэффициенте й: Ьи = — 1(М). (3.2) Однородное уравнение (3.2) называется уравнением Лапласа Ли=О. (З.З) 2. Задачи электростатики В электростатическом случае уравнения Максвелла для электрического вектора Е(М) получаются из уравнений (1.31), (1.32), (! 34) и имеют вид (3.6) Прн этом уравнение (3.4) выполняется автоматически. Подставляя (3.5) в (3.5), получим уравнение г)!ч(е угад и) = — р(М), которое с точностью до обозначений совпадает с уравнением (3.1). 3.
Установившиеся колебания Если на некоторую материальную систему с непрерывно распределенными параметрами действует внешняя периодическая сила с частотой ы, то с течением времени в системе устанавливаются колебания с частотой внешней силы ы. В 3 1 было получено уравнение акустики (1.28). Пусть 1(М,!) =1(М)е-'"'. Если в системе установились колебания с частотой ы вынуждающей силы, то функцию р(М, !) можно искать в виде р(М, г) г и(М) е ' ', Подставляя эту функцию в (1 28) и сокращая на множитель е-'"', получим уравнение г(!ч(йдгади) +оРи= — 7(М).
(3. 7) В частности, в случае однородной среды коэффициент й(М) =)ге постоянный и уравнение (3 7) принимает вид Ли+ си= — ~р (М), (3.8) где с==а'пг,, ф= — ). Уравнения (3.7) и (3.8) называются приве! ао ленными волновыми уравнениями, или уравнениями Гельмгольца. 4. Установившиеся электромагнитные колебания Аналогично п. 3 можно рассмотреть установившиеся электромагнитные колебания. Для изотропной и однородной среды в отсутствие сторонних токов и зарядов уравнения Максвелла имеют вид го! Н=-е — +оЕ, б(чН=О, дЕ д~ (3.9) го!Е=О, (3.
47 б!ч (еЕ) = р (М). (3.5) Из уравнения (3.4) следует, что можно ввести скалярную функцию и(М) — потенциал поля, через который вектор Е(М) выражается согласно формуле Е = — пгад и. го1 Е = — р, бьч Е = 0 ди дг Пусть в системе установились электромагнитные колебания с частотой ы. Тогда векторы Е и Н можно искать в виде Е(М Г) =Ео(М) е — '~', Н(М ) =Но(М) е-'~'. (3.11) Векторы Еэ(М) и На(М), зависящие только от пространственных координат, обычно называют комплексными амплитудами электромагнитного поля в случае установившихся колебаний.
Подставляя (3.11) в уравнения (3.9) и (3.10) и сокращая на множитель е-'"', получим го1Но=- йае'Ео с(!ч Но=О (3. 12) (3.!3) ' го1 Ео =- !ырНо б!ч Ео = 0 где е' = е + ! — †комплексн диэлектрическая проницаемость Из уравнений (3.12), (3.13) получим дифференциальные уравнения второго порядка для векторных функций Еа и На. т7~Ео+ й~Ео = О тт~Но+ й~Н0 '= О (3.1 4) где й'=ыте'р, а оператор «набла квадрат» имеет вид Ю=дгаб б!т — го! го1. Уравнение (3.14) носит название векторного уравнения Гельм- гольца.
б. Постановка краевых задач Особенностью задач, описывающих стационарные процессы, является отсутствие начальных условий. Поэтому такие задачи всегда краевые. Типичным примером краевой задачи, моделирующей стационарный процесс, является следующая: б!т (lг нгаб и) — ри = — ~, М ~ О, (3. 13) а (Р) — ".+ () (Р) и = и (Р), Р ен 5, дп д где 0 = Р(У5 †облас с границей 5, †производн по нормада ли к поверхности 5, а(Р), б(Р), !х(Р) — заданные функции. Для краевых задач, описывающих стационарные процессы, возможны предельные случаи, когда область !) является неог- раниченной или внешней относительно замкнутой поверхности 5.
В этом случае помимо граничных условий для выделения единственного решения необходимо поставить условия на бес- конечности. Более подробно эти вопросы будут рассмотрены в последующих главах для конкретных краевых задач. 5 4. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ В заключение сделаем несколько общих заме- чаний. 1. На основании рассмотренных примеров можно заключить, что для многих физических процессов, описываемых изменением определенных физических величин в пространстве и во времени, математическими моделями являются начально- краевые (или краевые) задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. 2. Различные по своей физической природе группы процессов в том случае, когда они имеют общие, наиболее характерные аспекты, описываются одними и теми же математическими моделями.
Например, для процессов колебаний различной физической природы (упругие колебания сплошной среды, акустические и электромагнитные колебания и др.) общей математической моделью служит начально-краевая задача для уравнения (1.39). Задачи, связанные с массо- илн теплопереносом независимо от физической природы процесса сводятся к математическим моделям, заключающимся в решении начально-краевых задач типа (2.13). Наконец, общей математической моделью для таких совершенно различных по своей физической природе стационарных процессов, как задачи электростатики, статические задачи теории упругости, задачи стационарного распределения тепла, установившиеся колебания материальных сред и многие другие, служит одна и та же краевая задача типа (3,15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
