Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. с учетом (1.14) получим Т(х)=Т(х+Лх). В силу произвольности точки х струны натяжение не зависит от х, т. е. Т(х) =То. Для вывода уравнения, описывающего поперечные колебания струны, воспользуемся вторым законом Ньютона, согласно которому изменение количества движения выделенного участка струны Лх за время Л1 равно импульсу сил, приложенных к этому участку. Обозначим через р(х) линейную плотность струны, а через 1(х,1) плотность импульса внешней поперечной силы, приложенной к струне. Тогда для участка Лх струны второй закон Ньютона запишется следующим образом: "тд" (и! Я, 1+ Л !) — и! Д, 1)) р ($) Щ =- »ч-д» гтдг гч-дг Та(и»(х-ГЛх, т) — и„(х, т))с(т-т- ') '! !($, т)с(Кг(т.
(1.16) г » Предположим теперь, что функция и(х, 1) дважды непрерывно дифференцируема по х и 1, а функция 1(х,1) непрерывна. Тогда, применяя к формуле (1.16) теорему о среднем и формулу конечных приращений"!, получим и„(х', 1') р(х*) Л1Лх= Тви„, (х", !") Л1Лх г) (х**', 1***) Л1Лх, (1. 17) где х*, х"*, х"'я (х, х+Лх), 1* 1 1 * ~(1, 1+Л1). Сократив обе части формулы (1.17) на Л(Лх и переходя к пределу при Л1 -О и Лх- О, получим в силу сделанных предпо- " См Ил ь н н В. Л, Поза як Э Г. Основы математического анализа с! ! .Ч; Наука, !982. !а ложений о непрерывности вторых частных производных функ- ции и(х, (): о(х) ии(х, () = Т,и„„(х, () —,('(х, (), (1.18) Если плотность среды постоянная Р(х)=р„то уравнение (1.!8) обычно записывается в виде (1.1 9) где а'= —, Т= — 1.
70 ! Ро Рю Уравнения (1.18) и (1 19) так же как и полученные ранее уравнения (1.7) и (1.8), представляют собой простейшие примеры уравнений колебаний. Из физических соображений ясно, что, как и в случае малых продольных колебаний упругого стержня, для однозначного определения процесса малых поперечных колебаний упругой струны к уравнениям (1,18) нли (1.19) необходимо добавить дополнительные условия — начальные и граничные. Начальные условия задают в начальный момент (=О профиль струны и скорость всех точек струны.
Граничные условия определяются способом закрепления концов струны. Эти условия могут включать производные высших порядков по х и по (, быть линейными или нелинейными. В частности, в зависимости от способа закрепления концов струны можно рассматривать граничные условия первого рода (условия Дирихле), граничные условия второго рода (условия Неймана) и граничные условия третьего рода.
Общая начально-краевая задача, учитывающая различные комбинации граничных условий на правом и левом концах, ставится следующим образом: Ри„= Т,и„+ ) (х, (), х е= (О, (), ( е= (О, Т), и (х, 0) = ~Р(х), и,(х, 0) = ф (х), х е= [О, 11 ар„(0, ~)+~,и(0, () =(г,((), а,и„(1, ~)+~,и((, () =р,((), (е= [О, Т), причем коэффициенты а, и 8, ((=1,2) не обращаются в нуль одновременно. При а,=О, 8,ФО на левом конце получается граничное условие Дирихле, при а1~0, 81=0 — условие Неймана, при а1~0, 8,~0 — условие третьего рода. Аналогично на правом конце при аз=О, 8з~О получается граничное условие Дирихле, при азФО, рз=Π— условие Неймана, при а,~О, 8~чьΠ— условие третьего рода.
3. Случай многих пространственных переменных 1) Малые поперечные колебания мембраны. В качестве первого примера рассмотрим уравнение, описывающее малые поперечные колебания мембраны. 17 Мембраной называется натянутая плоская пленка, не со- противляющаяся изгибу или сдвигу, но оказывающая сопро- тивление растяжению. Например, мембраной в некоторых слу- чаях можно считать плоскую пластину, толщина которой мала по сравнению с двумя другими измерениями. Уравнение, описывающее малые поперечные колебания мем- браны, можно вывести методом, аналогичным тому, которым было получено уравнение (1.18), описывающее малые попереч- ные колебания струны.
Обозначим через и(х, у,г) величину по- перечного смещения точки М(х, у) мембраны в момент времени Если рассматривать малые поперечные колебания мембра- ны, при которых смещение происходит перпендикулярно плос- кости мембраны (х,у) и при которых квадратами величин и„ и и„можно пренебречь, то уравнение малых поперечных коле- баний мембраны будет иметь вид р (х, у) ии = Т, (и„, -,'— и, г) + 1 (х, у, Г), где р (х, у) — поверхностная плотность мембраны, Т, — натяже- ние, 1(х, у, 1) — плотность импульса внешней поперечной силы, действующей на мембрану в точке М(х, у) в момент времени 1. Пусть в положении равновесия мембрана занимает область 0 плоскости (х, у), ограниченную контуром Г.
Как и в одномерном случае, для однозначного определения процесса колебаний мембраны необходимо задание начальных и граничных условий. Например, если граница Г мембраны движется заданным образом в поперечном направлении, то гра- ничное условие имеет следующий вид (граничное условие пер- вого рода, или условие Дирихле): и (х, у, г) = р (х, у, Г), (х, у) ~ Г, Г ~ (О, Т), где ц(х, у, 1) — заданная функция. В частности, при 1х(х, у, г) = = — 0 получается условие закрепленной границы мембраны. Если к границе приложена заданная поперечная сила, то приходим к граничному условию второго рода, или условию Неймана (х, у, г) = и(х, у, г), (х, у) ен Г,,'ея 10, Т], да д где означает производную по нормали к контуру Г, лежащей дв в плоскости (х, у). В частности, при ц(х, у, 1) — = 0 имеем усло- вие свободной границы.
Если же граница Г мембраны закреплена упруго и при этом движется по заданному закону в поперечном направле- нии, то граничным условием является граничное условие треть- его рода, связывающее значение функции поперечного смеще- ния и(х, у, г) и ее нормальной производной: а(х, у) — (х, у, г)+р(х, у) и(х, у, Г) =р(х, у, Г), (х, у) а— э Г, дв ! сп10, Т)1, где а(х, у) и 8(х, у) — заданные на контуре Г функции Разумеется, в зависимости от реальных физических задач граничные условия могут быть и более сложного вида, в частности нелинейные и содержащие производные высших порядков, но мы в дальнейшем ограничимся условиями Дирихле, Неймана и третьего рода.
Таким образом, начально-краевая задача, описывающая процесс малых поперечных колебаний мембраны, ставится следующим образом; рии= Т (и „)-и„„)+~(х, у, 1), (х, у) я О, ! >О, и (х, у, 0)= ~р(х, у), и,(х, у, 0) =- ф (х, у), (х, у) ~ О, а(х, у) — (х, у, 1)+б(х, у) и(х, у, ~) =р(х, у, ~), ди (х, у) ев Г, г > О. 2) Уравнения малых акустических колебаний в сплошной среде.
Во многих задачах газодинамики можно не учитывать молекулярную структуру газа и рассматривать газ как сплошную среду. Иными словами, говоря о бесконечно малых элементах объема, подразумевают, что объем мал по сравнению с характерным размером системы, но содержит очень большое число молекул. Аналогично, когда говорят о движении частицы газа, то имеют в виду не движение отдельной молекулы газа, а смещение элемента объема, содержащего много молекул, но рассматриваемого в газодинамике как точка Пусть газ движется со скоростью «(М, Г) е «(х, у, г, ~), проекции которой на оси координат обозначим и„, п„и и,.
Заметим, что «(М, Г) есть скорость газа в данной точке М(х, у, г) пространства в момент времени й т. е. относится к определенным точкам пространства, а не к определенным частицам газа, перемещающимся в пространстве. Введем также плотность газа р(М, ~), давление р(М, г) и плотность внешних действующих сил Г(М, г), рассчитанных на единицу массы. При таком способе описания говорят, что задача рассматривается в координатах Эйлера.
Получим прежде всего уравнение движения газа. Обозначим через ЛУ некоторый объем газа, ограниченный поверхностью Л5. Равнодействующая сил давления, приложенных к поверхности Л5, равна — ) рпЙп, где п — единичный вектор внешней нормали и поверхности Л5 19 Для преобразования этого интеграла воспользуемся форму.лами Остроградского *' р соз (и, х) е(о = ~ — с(», г др дх 5 р соз (и, у) с(о = 1 — Л', ди ду до р соз (и, г) сЬ =- 1 — с(У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
