Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 3
Текст из файла (страница 3)
|О Подсчитаем энергию упругой деформации. Выделим малый участок стержня длиной Лх, считая, что в пределах данного участка коэффициент упругости является постоянным й (х) = =й,. На участок Лх со стороны соседнего элемента действует сила упругого напряжения г, равная Е=ейм где в — относительное удлинение элемента Лх. При перемещении элемента Лх на расстояние 6 будет совершена работа Проинтегрировав последнее равенство по х от 0 до 1, получим (7„д- — — - — ~ й(х) ию(х, 1) г(х. 1 Г (1.4) Составим функционал (1.2): и ! Ф 1и) = ~ ( ( — о (х) и' — — й (х) из + 7' (х, 1) и ( о1х аг.
(1.5) х о,о где 1, 1 Г=Г(и, и,, и„) =- — ри',— — lги',+)и. Вычисляя производные, входящие в формулу (1.6), получим уравнение Эйлера — Остроградского для функционала (1.5), описывающее малые продольные колебания упругого стержня: рии= — 111 — "~+1(х, Г). (1 .7) дх ; дх / Выражение в левой части уравнения (1.?) описывает силы инерции, первое слагаемое в правой части — упругое взаимодействие и второй член в правой части — действие внешней силы. Если стержень однородный и его линейная плотность и коэффициент упругости постоянны; р(х)=ро, й(х)=йо, то уравнение (!.7) обычно записывается в следующем виде: ии=аюи„„+7, где ю аю аю ю Ро Ро (1.8) Уравнения (1.7) и (1.8) представляют собой простейшие примеры уравнений колебаний.
При математическом описании физического явления необходимо прежде всего грамотно поставить задачу, т. е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения с обыкновенными и тем более частными производными имеют бесконечное множество решений. Для однозначной характеристики процесса кроме урав- 11 Выпишем для функционала (1.5) уравнение Эйлера — Остроградского, являющееся необходимым условием зкстремума функционала (Е„,), +(Е„),— Е„= б, (1.6) пения нужно задать еще некоторые дополнительные условия.
Задавая дополнительные условия, нужно помнить, что эти условия должны обеспечивать единственность и существование решения, т. е. задача не должна быть недоопределенной или переопределенной. Как известно *~, в случае обыкновенных дифференциальных уравнений эти условия определяются постановкой конкретной физической задачи и могут иметь различную форму, в зависимости от которой приходят к задаче Коши или к краевой задаче. В случае дифференциальных уравнений в частных производных в качестве дополнительных тоже используются начальные и граничные условия. Начальные условия. Начальные условия определяют состояние системы в;некоторый выделенный момент времени, который считается <начальным».
Например, в качестве начального момента времени можно взять 1=0. В случае уравнения (1.7), описывающего малые продольные колебания стержня, нужно в начальный момент 1=0 задать положение каждой точки стержня и ее скорость: и(х, 0) ==ср(х), и,(х, 0) =-ф(х), 0(х~(1, где ер(х) и ер(х) — некоторые заданные функции. Если функция ер(х) отлична от нуля, это означает, что в начальный момент времени стержень не находился в положении равновесия. Если функция ф(х) отлична от нуля, это означает, что в начальный момент каждой точке стержня была сообщена мгновенная начальная скорость, например двигавшийся стержень мгновенно остановился.
Граничные условия. Мы будем рассматривать линейные граничные условия Будем считать, что стержень имеет длину 1 и занимает вдоль оси х отрезок от 0 до 1. Для определенности будем рассматривать левый конец стержня х= — О. С физической точки зрения ясно, что левый конец стержня может находиться в различных условиях. Например, он может быть жестко закреплен (стержень заделан в стену) нли же двигаться по определенному закону (стержень жестко прикреплен к плите, совершающей заданное движение).
Математически это условие записывается следующим образом: и(0, Г) =)ь(Г), О <! <Т, (1 9) где Т вЂ” некоторая постоянная, а 1с(1) — заданная функция Условие (1.9) называется граничным условием первого рода, или условием Дирихле. В частности, если функция р(1) тождественно равна нулю, что соответствует жестко закрепленному левому концу стержня, то граничное условие (1.9) называется однородным граничным условием первого рода, нли одно- *' См Тихонов Н. А, Васильева А Б, Свешников А Г дифференциальные уравнения.
М: Наука, Г985 12 родным условием Дирихле. Если же функция р(1) отличается от нуля, то условие (1.9) называется неоднородным граничным условием первого рода, или неоднородным условием Дирихле. Если задан закон изменения силы !(Г), приложенной к левому концу х=О стержня и действующей в продольном направлении, то, используя закон Гука, граничный режим на этом конце можно записать следующим образом (напомним, что й(х) — коэффициент упругости стержня); й(0) и„(0, г) =1(г) (1.10) и„(0, г) =ч(г), 0(г(Т, где ч(!) = !(Г) — заданная функция. ! л (О) Условие (1.10) называется граничным условием второго рода, или условием Неймана. Если ч(1) =— О, то условие (1.10) называется однородным граничным условием второго рода, или однородным условием Неймана. Физически это условие означает, что левый конец стержня свободен: к нему не приложена внешняя сила, и он не закреплен.
Пусть, наконец, левый конец стержня закреплен упруго, например с помощью пружины, коэффициент жесткости которой равен а. Сила упругости, 'стремящаяся вернуть левый конец стержня в положение равновесия, согласно закону Гука пропорциональна смещению аи(0, г). Граничный режим можно записать следующим образом; л (0) и„(0, Г) = — сси(0, Г) илн и„(0, ~) — ли (О, 1) = О, О ( ! ( Т, (1.! 1) где А=а/й. Условие (1.11) называется однородным граничным условием третьего рода.
Возможно задание при к=О линейной комбинации упругого закрепления и смещения. Например, стержень с помощью пружины может быть прикреплен к плите, которая перемешается по некоторому закону, определяемому функцией т(1), параллельно стержню. В этом случае получается граничное условие следующего вида: и„(0, !) = Ь (и (О, !) — ч (г)) или и„(0, 1) — ли(0, 1)=р(г), 0(г(т, (1. 12) где р(1) = — йт(г) — заданная функция. Условие (1.!2) называется неоднородным граничным условием третьего рода.
Разумеется, физическая постановка задачи может приводить и к более сложным граничным условиям, в частности не линейным. Такие условия возникают, например, при упругом закреплении, не подчиняющемся закону Гука. Если натяжение на левом конце стержня является нелинейной функцией смешения и(0, Е), то граничное условие примет вид и„(0, с)= — Р[сс(0, с)[, Х (Ос где Р[и(0, Е)1 определяет упругую силу, приложенную к левому концу стержня и действующую в продольном направлении. В граничное условие могут входить производные функции по Е. Например, если к концу пружины прикреплена пластинка, плоскость которой перпендикулярна оси пружины, и конец пружины испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости его движения, то граничное условие записывается в виде Ег (0) и„(0, с) = аис (О, Е), О ( Е ( Т, где а — коэффициент сопротивления среды.
Аналогичные граничные условия становятся на правом конце стержня. При этом возможны комбинации различных граничных условий на правом и левом концах стержня. Граничные условия могут включать и производные порядков выше первого. Пусть, например, упругий стержень длины Е расположен вертикально и его верхний конец закреплен неподвижно (заделан в потолок). К нижнему концу стержня прикреплен массивный абсолютно жесткий (т.
е, недеформируемый) груз М. Груз находится на площадке и не растягивает и не сжимает стержень. В начальный момент времени Е=О площадку убирают. Предположим, что масса стержня пс много меньше массы груза М и действием силы тяжести на стержень можно пренебречь. Направим ось х вдоль стержня, так что его верхний конец будет иметь абсциссу х=О. Тогда на верхнем конце стержня х=О граничным условием будет однородное условие Дирихле и (О, Е) = О, Е е— : [О, Т[, а граничное условие на нижнем конце стержня х=Е имеет вид — ии (Е, Е) = †Ес (Е) 5и, (Е, Е) + М, Е еи [О, Т[, И где 5 — плошадь поперечного сечения стержня.
В дальнейшем мы будем говорить о трех основных типах граничных условий первого, второго и третьего рода. Рассмотрим, например, нагруженный стержень с приложенной к нему внешней силой, всем точкам которого в начальный момент времени Е=О задаются некоторые смешение и некоторая скорость. Пусть левый конец стержня упруго прикреплен к движущейся точке закрепления, а правый конец движется по заданному за- 14 кону.
Сформулируем математическую задачу, описывающую процесс движения такого стержня: ии = а'и„, +1(х, Г), 0 < х < 1, 0 < Г < Т, и(х, О) =ср(х), (1.13) и,(х, О) =ф(х), 0<х< Е, и„(0, г) — Ьи(0, г) = — р,(г), и(1, !)=-р,(Г), 0(г(Т, где Г(х, 1), ~р(х), кр(х), ц,(1), цэ(Г) — заданные функции, а, Ь— постоянные коэффициенты. Задача (1.!3) называется начально-краевой задачей. 2. Малые поперечные колебания упругой струны Р»с !! Следовательно, в пределах принятой точности удлинения участка струны в процессе колебаний не происходит. Поэтому в гз Получим дифференциальное уравнение, описывающее процесс малых поперечных колебаний упругой струны. Пусть в состоянии равновесия струна длины ! расположена вдоль оси х и занимает положение от точки х=0 до точки х=!.
Будем рассматривать случай малых поперечных колебаний струны, причем будем считать, что смещения струны расположены в одной плоскости. В этом случае процесс колебаний струны можно описать с помощью функции и(х, !), представляющей собой поперечное смещение точки струны с координатой х в момент времени й Струну будем рассматривать как гибкую упругую нить, не оказывающую сопротивления изгибу, но сопротивляющуюся растяжению. Напряжения, возникающие в струне в рассматриваемом случае, направлены по касательным к ее мгновенному профилю (рис. 1.1). Поскольку рассматриваются малые колебания, то возникающие в струне напряжения определяются законом Гука. г Кроме того, в силу малости х колебаний будем учитывать лишь члены первого порядка малости (и„т(х, !)((1), С х хклх 1 х Подсчитаем удлинение участка струны (х, х+Лх) в момент времени б Длина дуги этого участка равна к~-Ьк 5= '1 'р'1--и»(х; Г)с(х Лх. силу закона Гука величина натяжения Т в каждой точке не изменяется со временем.
Проекции натяжения на осн х и и равны Т, =- Т(х! соса = ' Т(х), Т !») (!.1 4) )г !+и Т„= Т (х) 8!и а == Т (х) !д а = Т (х) и„ (1.15) где а — угол между касательной и кривой и(х, 1) и осью х. Так как рассматриваются поперечные колебания, то следует учитывать силы инерции н внешние силы, направленные лишь вдоль оси и. Поэтому сумма проекций сил, действующих на выделенный участок (х, х+Лх) струны вдоль оси х, равна Т,(х) — Т» (х+ Лх) =.О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
