Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 9
Текст из файла (страница 9)
1 на конкретных примерах, наиболее типичными являются условия вида и — + ри~ =р(Р, 1)1~ ез, )а) + ~~! ФО. (1.2) дп Условие (!.2) называется краевым, или граничным, условием. При р=1, а=О оно называется первым краевым условием, или условием Дирихле, прн р=О, а=! — вторым краевым условием, или условием Неймана, а в общем случае — третьим краевым условием. Таким образом, полная постановка начально- краевой задачи имеет вид рР,(м) =(,и+/ в 1~, (1.3) се + рм =)ь(Р Г)!Рез !се! +!(1~ ФО дп !з — =-гр„(М), А.=О, 1,.... т — 1. (1.5) дг» )г=в (1.4) ы Смп В а с ил ь е в а А. Б., Т и хо н о в Н.
А. Интегральные уравнения. Иад-во Моск. ун-та, 1989. 42 Естественно, что для эллиптического уравнения (т=О), описывающего стационарный процесс, начальные условия не нужны. Прежде чем переходить к исследованию задачи (1.3)— '(1.5) и построению ее решения, следует точно определить, что является решением этой задачи.
Определение. Классическим решением задачи (1.3)— (1.5) называется функция и(М, г), определенная и непрерывная вместе со всеми производными, входящими в уравнение (1.3), в области (;1, удовлетворяющая уравнению (1.3) в этой области, непрерывная вместе с первыми производными по М и (т — 1)-ми производными по 1 при Мни), ген[0, 7] и удовлетворяющая граничному (1.4) и начальным (1.5) условиям. В случае граничного условия Дирихле (а=О) непрерывности первых производных по М в замкнутой области ьз не требуется. При таком определении классического решения сразу появляются некоторые необходимые условия его существования.
В частности, функции 1, р, ори должны быть непрерывны в соответствующих областях. Появляются также условия согласования граничного и начальных условий. При невыполнении этих условий классического решения не существует. В этом случае можно видоизменить понятие решения и ввести понятие решения в некотором обобщенном смысле. Полная начально-краевая задача (1.3) †(1.5) в силу ее линейности может быть сведена к трем более простым. Эта процедура называется редукцией общей задачи. Пусть функции иь ио и ио являются классическими решениями следующих задач: — =О, и=О, 1,...,т — 1, доло дй о=о (1.7) =О, lг=О, 1,..., т — 1.
дй я=о (1.8) Тогда непосредственной проверкой можно убедиться, что функция и=и,+и,+ио является решением общей задачи (1.3) — (1.5). В дальнейшем будет рассмотрена отдельно каждая из задач (1.6) — (1.8). $2. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ФОРМУЛЫ ГРИНА В дальнейшем в нашем курсе широко используются формулы, которые называются формулами Грина.
Выведем первую и вторую формулы Грина для общего эллиптического оператора. рР,[иь]=(.и, в 1;1, а и' +ри,! =О, рР, [ио] = Ьио+ ~ в а — +риз~ =О, ди, дл рР,[ио]=7ио-Щ в дио а — +ри ~ =р дл — = оод (М), й = О, 1,..., т — 1, (1.6) дй !с-о ~ й>чАг)))= 1)> пАс(5, (2.1) где п — единичный вектор нормали к поверхности 5, внешней по отношению к области Р.
Формулу Гаусса — Остроградского используем для вывода формул Грина. Пусть в области Р заданы функции и и о, непрерывные вместе с первыми производными в Р и имеющие непрерывные вторые производные в Р(и, оенС>п(Р)()С>'>(Р)). Введем дифференциальный оператор 1 а = йч (й нгас) и) — ди, где функции й н д непрерывны в 6, функция й непрерывно дифференцируема в Р. Рассмотрим интеграл ') оЕис()г =- ~ о й ч (й йгаб и) с()г — ~ доиЛ'.
Ь о Учитывая, что о йч (й ига>) и) = йм (Ь~ нгаб и) — й х7 н с7 о, и используя формулу (2.!), получим ди оЕиЛ>=<1>>йо —" с(5 — ~ (й т7 и ту о+див) Л'. дл о 3 о (2.2) 4>ормула (2.2) называется первой формулой Грина. Поменяем в формуле (2.2) функции и и о местами: иЕо<Л~ = (~ ни — ' с15 — ~ (й т7 и т7 а + див) с1)>. дп о й О Вычитая (2.3) из (2.2), получим вторую формулу Грина (иЕи — иЕо) с1)> = $ й ~ и — — и — 1 с(5. дп дл ) о 3 (2 ..3) (о 4) ь> См: Ил вин В. А., Позняк Э.
Г Основы математического аналиаа. Ч. 2. Мя Наука, 1980. Пусть область Р ограничена гладкой замкнутой поверхностью 5. Напомним, что поверхность 5 называется гладкой, если в каждой точке ее существует касательная плоскость (или нормаль) и при переходе от точки к точке положение этой касательной плоскости (нормали) меняется непрерывно. Пусть в области Р задана векторная функция А(М), которая непрерывна в Р и имеет непрерывные первые производные в Р. Тогда для нее справедлива формула Гаусса — Остроградского* > Отдельно выпишем формулы Грина для случая, когда Ри — = би: о Ь и<5' = (|) о — <(Я вЂ” ~ хг и ~ о<Я, ди д« (2.5) (о Л и — и <.'< о)<Л/ = $ (о " — и †) <15.
(2.6) де де/ $ 3. ПОЛНЫЕ И ЗАМКНУТЪ|Е СИСТЕМЫ ФУНКЦИИ ) 1 — ) ае<р„~) ( е. е=! Другими словами, это означает, что произвольная функция )ее ее1.,(0) может быть с любой наперед заданной точностью аппроксимирована в среднем конечной линейной комбинацией функций данной системы. В дальнейшем будем считать, что система (<ре) ортонормирована: '! <р„<р Л'= О, и ~о<, 11<рД, <о, — — 1. о Для ортонормированных систем необходимым и достаточным условием полноты является равенство Парсеваля — Ляпунова— Стеклова: для любой функции <е:-Ее(0) (3.!) е! Там же.
Прежде чем переходить к изложению общей схемы метода разделения переменных, напомним некоторые понятия математического анализа *!. Пусть в области Р задана бесконечная счетная система функций (<р„(М))<, интегрируемая с квадратом в Р ((<р„) ее ~~ 2 (Р) ) ° О п р е дел е н и е. Система функций (<р„(М))~ называется замкнутой в Ц(0), если не существует функции )ееЕе(Р), отличной от тождественного нуля, ортогональной ко всем функциям данной системы, т. е.
если ~~<р„Я~=О при всех и, то |=О. о Определение. Система функций (<р„(М))~ называется полной в !.е(0), если для любой функции )ееЕе(0) и любого е>0 существуют число й<(е) >О и коэффициенты аь ..., ан такие, что где 1" — коэффициенты Фурье функции 1(М). г'„= ~ ггр„аУ. Ь (3.2) Замкнутость системы есть следствие ее полноты. Действительно, пусть функция )еиЕз(Р) ортогональна всем функциям системы (сри): ~ Ггр„с(У = 1„=- О, и = 1, 2,..., оо. и Если система (гр ) полна, то в силу (3.1) Отсюда следует, что )=в 0 в Ез(Р), т.
е. система (зр ) замкнута. Можно показать, что полнота системы в Ез(Р) есть следствие ее замкнутости*>. Таким образом, понятия полнотьг и замкнутости в пространстве Ез эквивалентны. Заметим, что для любой функции ~~Ез(Р) ряд Фурье по полной ортонормированной системе сходится к этой функции в норме 1.5.
Примером полной и замкнутой системы может служить тригонометрическая система 1, соз х, 51п х,..., 005 пх, 5!п пх, — (й(х) — ) — ду+)ьу=О, а(х(Ь, д г' ду дх (, дх ) у(а) =О, у(Ь)=0, у(х)=„еО. й 4. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ Метод разделения переменных, или метод Фурье, состоит в построении решения начально-краевой задачи в виде ряда по некоторой ортонормированиой системе функций, причем эта система функций естественно возникает из самой задачи.
м Смл Ильин В. А., Поз пик 3. Г Основы математического анализа. Ч. 2. Мл Наука, Г980. на отрезке [ — я, и] или система собственных функций задачи Штурма — Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка вида Рассмотрение метода Фурье начнем с наиболее простой задачи (1.6): рР,(и) =1.и в Я, а — +ри~ =О, ди дл до«« — =«ри(М), л=О, 1,...,и« вЂ” 1. ды ~«=о (4.1) (4.2) (4.3) Прежде всего построим систему функций, по которой удобно разлагать решение задачи (4.1) — (4.3). Для этого рассмотрим вспомогательную задачу: найти нетривиальные в Я решения уравнения рР, (и) = Е,и, (4.4) удовлетворяющие однородному граничному условию а — +ри~ = 0 ди дл (4.5) н представимые в ниде и(М, () =о(М)Т(1)„-ь О. (4.6) Подставляя искомый вид (4.6) решения в уравнение (4.4), получим тождество Р«(Т1 Г.о = — = — Л.
Т ро Отсюда получаем ьо+ Лро = О, о (М) Ф О, М,~ О, Р,(Т)+ЛТ=О, Т(«) ~ О, Г~О. Подставляя (4.6) в граничное условие (4.5), получаем а — +ро ~ =О. до дл ооР, 1Т'1= — Т7 о, которое после деления на роТ принимает вид Р«[Т) «.о (4.7) тОО р(м) о(м) ' Левая часть тождества (4.7) зависит только от «, правая— только от М. Поскольку 1 и М вЂ” независимые переменные, а тождество выполняется при всех М~0 и 1)0, то оно справедливо только в том случае, когда обе его части равны некоторой постоянной, которую обозначим — Л (ничего не предполагая о знаке Л): Таким образом, для определения функции о(М) получаем задачу, которая также называется задачей Штурма — Лиувилля: найти те значения параметра Х, при которых существуют нетривиальные решения уравнения (л+)рп=О, и -- О в Р, (4.8) (4.9) 3. Собственные функции ортогональны между собой в области Р с весом р(М): ~ п„(М)п (М) ог(г'=О, п~т.
и 4. Теорема разложимости Стеклова. Произвольная дважды непрерывно дифференцируемая в 0 функция 1(М), удовлетворяющая граничному условию (4.9), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям данной краевой задачи; чдовлетворяющие однородному граничному условию дв м — +рп ! =О. да Эти значения параметра Л называются собственными значениями оператора Р в области Р с граничным условием (4.9), а соозветствующие им ненулевые решения — собственными функциямн задачи (4.8) — (4.9). В дальнейшем будет показано, что поставленная задача Штурма — Лиувилля (4.8) — (4.9) имеет решение. Будут также указаны некоторые простейшие области, для которых собственные функции выписываются явно, хотя при этом и требуется введение специальных функций.
Сейчас перечислим свойства собственных значений и собственных функций, поскольку они нам необходимы для изложе, ния метода разделения переменных. 1. Существует бесконечное счетное множество собственных значений (л„) и собственных функций (п.(М)); собственные значения 1., при увели 1ении номера п неограниченно возрастают.
Каждому собственному значению соответствует лишь конечное число линейно независимых собственных функций, т. е. ранг всех собственных значений конечен В дальнейшем будем считать, что в последовательности ().) каждое собственное значение повторяется столько раз, каков его ранг. 2. При 4~0 собственные значения задачи Дирихле (а=О, р=!) положительны: Х„ ) О при всех п. 48 о„(М) о«,(М) рг('г'=б„«, = ~ ! О, и~т. Рассмотрим теперь уравнения для Т(Г) при фиксированном значении Х«: Р,(Т]+~.„Т=О, Т=Т,(Г). (4.10) Для Т(!) получено обыкновенное линейное дифференциальное уравнение т-го порядка. Следовательно, его общее решение имеет вид Т„(!) =- ~ С„зт„г(г), !.=о где С«; — произвольные постоянные, Т«;(!) — фундаментальная система решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
