Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 12
Текст из файла (страница 12)
1. 4. Прямоугольный параллелепипед. Задача Штурма — Лиувилля для оператора Лапласа в прямоугольном параллелепипеде имеет вид 62 сои+Ли=0,0<х<а,О<у<Ь,О<г<с, Р,(и)=а, — рси =О, Р,(и)=а, +()ои =0 дх >к о дх >а=а ди ! ди Р,(и)=а,— — рои~ =О, Р,(и)=а, +рои~ =О, ду о=о дд ь=о Ро(сс)=-а, — рои~ =О, Р,(и)=ао — +рои~ =О, ди 1 ди дг ~с=о дг я=с а„йс=сопз(, (ас(+ И)с! ~0, 1=1, 2,...,б. Используя результаты п. 3 этого параграфа, легко показать,. что собственные функции и собственные значения для прямоугольного параллелепипеда имеют вид и„о (х, у, г) = Х, (х) У„(у) Уо (г), Люто = )сл + от + осы где (Х„(х), (с,), (У„(у), т„), (Уд(г), ко) — собственные функции и собственные значения соответствующих одномерных зада г Штурма — Лиувилля по каждой переменной.
На доказательстве этого утверждения мы не останавливаемся, поскольку оно полностью аналогично приведенному в п, 3. Задачи Штурма — Лиувилля для некоторых других областей будут рассмотрены в следующей главе, после того как будут. изложены необходимые сведения о специальных функциях. Глава 1)х СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Собственные функции задачи Штурма — Лиувилля для оператора Лапласа могут быть найдены аналитически только для очень небольшого числа областей.
В самых простых случаях (отрезок, прямоугольник, прямоугольный параллелепипед) они выражаются через элементарные функции, что показано в $8 гл. 1П. Для некоторых областей (круг, круговой цилиндр, шар и другие области) собственные функции выражаются через так называемые специальные функции. В этой главе будут рассмотрены наиболее часто встречающиеся специальные функции — цилиндрические функции, классические ортогональные полиномы, присоединенные функции Лежандра, сферические функции, шаровые функции.
$ Е УРАВНЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ И СВОЙСТВА ЕГО РЕШЕНИЙ Специальные функции одной переменной, кото- рые будут изучены в этой главе, являются решениями обыкно- венного дифференциального уравнения Яи (х) = О, х е= (а, Ь), (1.!) тде оператор Я' имеет вид в ! аиз ,5~и= — ! и(х) — ) — д(х) и. ях их Предположим, что коэффициент й(х) удовлетворяет следую- щим условиям: а) й(х) >О при хан(а, Ь)„ (1.2) б) й(х) =(х — а) ~р(х), где ~р(х) — непрерывная на отрезке [а, Ь) функция и ~р(а)ФО, т.
е. коэффициент й(х) имеет в точке х=а нуль первого по- рядка. Таким образом, точка х=а, в которой коэффициент при старшей производной уравнения (1.1) обращается в нуль, яв- ляется особой точкой этого уравнения. Имеет место следующая лемма. При нашем выборе х, функция ф(х) отлична от нуля на отрезке [а, ха), Воспользовавшись теоремой о среднем, получим для хя(а, ха) к х и.(х)=и,(х) ~, =(х — а)'о (х) ( а(и) и1 (и),) (и — а)ач+'Ф(и) к, м 1п(и — а)(„" при ч=О, (х — а)ч а (х) ) !х Ф (х*) при ч)0, 2ч (и — а)ах где х' ~(х, х,). Таким образом, и,(х) =),(х)+)а(х, х ), где 1п(х — а) при ч = О, ),(х) = а (х) 1 Ф (х*) ~ х при ч)0 2ч (х — а)" — 1п(х,— а) цри ч = О, ( — )''( ) /а (х хо) 1 Ф (х*) при ч>0.
2» (х, — а)-х Из последних формул следует, что функция ),(х, ха) остается ограниченной при х- а, а функция ),(х) прн х-а-а неограниченно возрастает либо как 11п(х — а) ), либо как (х — а)-", что и доказывает лемму. ° $2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1. Уравнение Бесселя Уравнением Бесселя, или уравнением цилиндри- ческих функций, называется уравнение вида 1 а г ау — — ( х — ) + ( 1 — — ) у = О.
(2.1) х ах ах , ха, Оно может быть получено из уравнения (1.1) при А(х)=х н чй д(х) = — х+ —, Любое ненулевое решение уравнения Бесселя называется ци- линдрической функцией. Нашей ближайшей задачей будет изу- чение основных свойств цилиндрических функций. Заметим, что уравнение (2.1) можно записать в эквивалент- ном виде х'у" (-ху'+ (х' — ч') у = О, (2. 2) 66 2. Свойства гамма-функции Напомним некоторые свойства гамма-функции, которые понадобятся нам в дальнейшем. Гамма-функцией Г(г) называется интеграл Г(г) = ~ е 1 Ы, о где г — комплексный аргумент, реальная часть которого положительная — Ке г)0.
Нам понадобятся следующие свойства гамма-функции"): 1) Г(1)=1, Г ( — ) = 1/и. 2 / 2) Г(г+1)=гГ(г). В частности, если г=п — натуральное число, то Г (п + 1) = п! 3) Теорема умножения: (2.3) Г(г) Г(! — г)= а!н яа 4) Представление в виде контурного интеграла Римана — Ханкеля (2,4) где у — любой контур на комплексной плоскости Г, обходящий точку 1=0 против часовой стрелки и концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси. Например, зто может быть контур, изображенный на рис. 4.1 (1= =В+ П,). Заметим, что интеграл Римана — Ханкеля (2.4) определяет гамма-функцию всюду на комплексной плоскости г. При = — и, где п~0 — целое число, гамма-функция имеет полюсы. 5) Из формул (2.3) и (2.4) получается полезная для дальнейшего формула чфт 1 а!ят = — ~ е '( ' ' !(!.
(2.5) Г (а -1- 1) 2н! 7 Рис. 4.1 *! Си ! И л ь и н В А, По з н я к Э Г. Основы математического аналива. Ч. 2. Мл Наука, 1990. ат В самом деле, 1 6)п и (1+ г) . з!и пт Г(2+1) Л и Е-~Яг Е!ж — — еыг Г -'1-' ! 1= — 'Г 'Г-'-!,(1 2л! (е !~~ — !) ) 2пг ) т т 3. Степенной ряд для функций Бесселя Будем рассматривать случай т) О, Из формул (2.1), (2.2) следует, что уравнение Бесселя имеет особую точку х=О. Поэтому его решение у(х) можно искать в виде обобщенного степенного ряда (этот методназывается методом Фробениуса) ОЭ у(х)=х~(ач+а,х+... +а„х" +...) = ~ а„,х +'" (2.6) я=О где а,ФО и о — некоторая постоянная. Подставив ряд (2.6) в уравнение (2.1), из требования обращения в нуль в полученном выражении коэффициентов при всех степенях х будем иметь следующие рекуррентные соотношения: ао (о' — т') = О, а, [(о+1)' — т'[=О, а., [(о+ 2)' — ~'[+а,— О, (2.7) а„,[(о+т)' — ~'1+а з=О, !п=2, 3, Из первого уравнения (2.7) вытекает, что о' — т2=0, или о= -+ т.
(2 8 Как легко установить, прн тФ вЂ”, т=), 2, ..., выполнено ус- 2 ловие (2.9) (о+ т)' — т' ~ О, т =- 1, 2, Из второго уравнения (2.7) прн о=-~-т следует, что а! — — О. (2.10) 68 Условие (2.9) дает согласно уравнению (2.7) рекуррентную формулу а„—— , т = 2, 3, ... (2.1 1) (о+т+т) (о+т — т) Из формул (2.10) и (2.11) вытекает, что все нечетные коэффициенты равны нулю.
а) Рассмотрим случай о=ч. Положим в формуле (2.11) гп=2Й. Тогда из (2.11) следует, что ал « 2«а (А+ «) Последовательно применяя формулу (2.12), получим ( — 1)" а 2ма! («+ 1) («+ 2) ... («+ 9) (2.12) (2.!3) Решение однородного уравнения Бесселя (2.1) определяется с точностью до произвольного множителя ам Выберем его в виде а,= (2. 14) 2«Г («+1) Тогда из формул (2.!3) и (2.14) получим ( 1)ь 2м ' «Г (Ь+ 1) Г (А+ «+ 1) Рассмотрим ряд (2.16) ( 1)й ! х ~ыь« ,),(х) = Ъч 4а3 Г(а+!)Г(А+«+1) ~ 2 / (2. 16) 1 2 «Г (! — «) и проделав выкладки, аналогичные выкладкам п, а), получим следующее определение. 69 С помощью признана Даламбера легко установить, что ряд (2.16) абсолютно сходится для любых х.
Определение. Ряд (2.!6) называется функцией Бесселя и обозначается Х.(х). Очевидно, функция 1,(х) является частным решением уравнения Бесселя (2.1) и (2.2). Функция Бесселя У,(х), определяемая для вещественного аргумента х рядом (2.16), может быть аналитически продолжена с положительной вещественной полуоси на комплексную плоскость г с разрезом по отрицательной части вещественной оси. При нецелом «точка г=О является точкой ветвления функции г".
Полученная функция Бесселя комплексного аргумента является аналитической в области — п<агцг<сь При ч — целом функция Бесселя У«(г) оказывается аналитической на всей комплексной плоскости г, т. е, целой функцией комплексной переменной г. б) Рассмотрим теперь случай о= — т. Снова положим в формуле (2.1!) т=2Й. Тогда из формулы (2.9) получим, что т~й, т. е. т не является целым числом.
Положив О пределе н и е. Ряд (2.16), соответствующий а= — ч У „(х)= Г (л+ 1) Г (л — л — 11, 2,) =Š— (2. 17) 2=о называется функцией Бесселя порядка — 2 и обозначается У ,(х). При нецелом ч функция У,(х) представляет собой второе решение уравнения Бесселя, линейно независимое от У,.(х). Из формул (2.16) и (2.17) вытекает, что в случае нецелого ч функции У,(х) и У,(х) по-разному ведут себя в нуле; функция У„(х) имеет в нуле ноль т-го порядка, а функция У л(х) имеет в нуле полюс ч-го порядка. Таким образом, при нецелом ч функции У„(х) и У,(х) линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения Бесселя порядка ч. При целых значениях индекса ч определение функции У,(х) по формуле (2.17) лишено смысла: гамма-функция в знаменателе при отрицательных целочисленных значениях обращается в бесконечность.
Продолжим формулу (2.17) по непрерывности по индексу ч иа целые значения ч=п. Поскольку Г(й — и+1) =-~-со при й(п — 1, суммирование в формуле (2.17) фактически начинается со значения й=п и поэтому х М-~-л У л(х)=1!шУ,(х)= — 2Р (, ! — ) . (218) а.г Г (л — л+ 1) Г (х+ 1), 2 / л=л Заменяя в формуле (2.18) индекс суммирования А на а+я',, получаем 2 У л(х) ( !) ~» ( ) ( — "~ =( — 1)л,Ул(Х) У ~ ~Г (а'+л+!) Г(а'+1) 1 2, Хеа Следовательно, при те и функции Ул(х) и У .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
