Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(х) оказываются линейно зависимыми: У л(х) =( — 1)лУ„(Х) и не образуют фундаментальной системы. 4. Рекурреитиые формулы Путем прямой проверки легко убедиться в справедливости соотношений Ул (х) У222 (21 (2.19) (2.20) — (х"У,(х)) = х'У, ~(х). лх Докажем, например, формулу (2.19): Э ( 2 (х) ) ( — «л Зх ~, х» / Зх йФ 1'(Л-1-«1 (Л-Ь»-(-«22~+» —.I» (х)+2,(х) =,1» 1(х). Складывая две последние формулы, получим полезную рекуррентную формулу .
„+, (х) = — У,(х) — ) 1(х), ! 2» х а вычитая, получим формулу для производной ,7,. (х) =- — ((, 1 (х) — 2' .ь1 (х)). 1 2 (2.21) 5. Функции Бесселя полуцелого порядка С пох1оцлью формулы (2.16) получим выражение для функций Уь(х) и У. и(х): 2 ) — 1 — «л 1112(Х) = Ъ, х ' 3 л=о 1ПГ ~Л+ — ~ 2, (2 22) 'х'2Л ) Ж) -Е 1 «л » — п2 (Х) = (2.23) 7! ОО х \ цз ( — «л2лхлл 1 221 ( — «л / х 2»1»-и 2/ «Ва 10Г(Л+»+«22л 11 Г(Л)Г(Л+»+«12/ =(-) ~ л=о л=! Введем новый индекс суммирования (=л — 1: ( .1 ) ~ С~ ( — «' 1' х 121-ь(»+11 Дх 1, х» / ~»( Г(1+«Г(1+(»+«+«(, 2 / 1=О = — 1,.ь1 (х), откуда получаем (2.19).
Аналогично доказывается формула (2.20) . Отметим важный частный случай формулы (2,19) при т=О: »О(Х) = — /1(Х). Произведем дифференцирование в формулах (2.19) и (2.20): »' — о', (х) — ',(х) =7, 1(х), х Воспользуемся свойством гамма-функции (см, 22, п. 2) г(й+ ) (й ) г(й+ ) = (Уг + 1 ) (й — 1 ) ... 1 Г ( 1 ) = 1 3 5 ... (2й + 11 Г ( ! 2а+1 1 2 /' Г(й+ ') ' 3 6.." (2а — ')Г(') где Г ( — ) = р'л. Подставим (2.24) в формулу (2.22): (2.24) ( — 1!» хает!М 2е-т! у!/2 (х) =' 1,1 й! 1 3 5.... (2й+ 1) ~/и 2~~т!' а=о Поскольку 2" й( =2 4 б ..., 2й=(2)г)!1 и 1 3.
5 ... (2/г+1) 2" Е=(2/г+1)!, получим '> Более подробно смл Б е й т м а и Г., Э р д е й и А Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Мл Наука. 1966. С 18, 19. Г2, „;" / У!тт(х) =~ — ~'( — 1)" =- у — яп х. пх (2й+ 1)! ф пх а=о Аналогчно из формул (2.23) и (2.24) получим т'с 2 у — !д(х) = ~/ — соз х.
Функции У!м(х) и 1 !д(х) образуют два линейно независимых ре- 1 шения уравнения Бесселя порядка —. 2 Заметим, что из рекуррентной формулы (2.21) и полученных выражений для функции l!д(х) и У !м(х) следует представление функций („.т!гт(х) (и=-1-1, + 2,...) в виде*' l„е!~т(х) = у — Р„( — ) яп (х — — ) + ях ( (х) ~ 2 +Яа ( ) соз (х )~, где Р„(и) и Я,(и) — полиномы степени не выше п относительно и, причем Р,(0) =1, (;1,(О) =О. Отметим также, что цилиндрические функции полуцелого порядка являются единственными цилиндрическими функциями, выражающимися через элементарные. 6. Интегральное представление функций Бесселя Воспользуемся формулой (2.5), в которой положим а=й+сс 1 шы+х) е †-Х вЂ 2 †! а1.
Г (х+ т+ 1) 2п1,) Подставляя выражение (2,25) в формулу (2.16) для функции Бесселя и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим (2.25) СЮ ( 1)х l х )22+2 е",(х) = г(а+1) г(ь+ + и ) 2 ) у, ) ~)'„ ь=в хе, 7 н=в х' (2.26) 1 — (ее2(С вЂ” ю 1) 1— 41 = — (Енг — еа — Е-цс — "1) = )Х З)й (С вЂ” П) = — 1Х З1П Ь, 4 Пользуясь теоремой Коши, выберем в качестве у контур, сох стоящий из луча (+во, — ~ на верхнем берегу разреза вдоль 2 положительной части вещественной оси, окружности с центром х 1=0 и радиусом †, которая обходится против часовой 2 ' 2 х стрелки, и луча ( —, +со) на нижнем берегу разреза (см. , 2 рис.
4.1). Сделаем замену 1= — е '- "1. При этом контур у на 2 комплексной плоскости 1=1,+Ы, перейдет в контур Се- на плоскости ~=~, +еЬ2 с соответствующим направлением обхода (рис. 4.2). Учитывая, что Ш = — (Ы~ — = еис — 1 21 Рис. 4.2 Рис. 4.3 и используя формулу (2.26), получим у,( ) ~ е — ыма".+ы."де 1 2л сс Поменяв в последней формуле направление обхода контура Си и обозначив полученный контур через Сс, получим ,1,(Х) = — ~ Š— ' ась;ъсС( .
1 е (2.27) с+ о Эта формула носит название интегрального представления Зоммерфельда для функции Бесселя. Сделав в ней замену $=-ьс при ь"= — ~л+1ьс, и=~, при ь=ь» получим формулу (х) е — ы ни а-,.аа с(сс е — а вЬ;- — а1 с(е 1 ~ .. 51пил с ч 2л л В частности, при т = п (х) ~ и — ыиаат~аас1о 1 2л 3 а м е ч а н и е. Последний результат следует непосредственно и из формулы (2.27), так как на вертикальных участках контура интегрирования подынтегральные выражения при т= =и совпадают, а направления интегрирования противоположны. Сделаем в последней формуле замену а=~у+ —. Тогда, 2 поскольку подынтегральная функция является периодической и интегрирование можно производить по любому промежутку длиной 2п, получим вторую интегральную формулу для функции У„(х): Р „Р у (т) с-~х сок ч-, 'мт д~ 2я,) (2.28) с-ы сав т — у ' ( 1)й 7 (х) е — ыч л=— поскольку формула (2.28) является формулой для коэффициентов Фурье этого разложения.
7. Функции Ханкеля. Интегральное представление Формула (2.27) подсказывает, что можно искать решение уравнения Бесселя (2.1) в форме интегралов на комплексной плоскости вида (2.29) где С вЂ” контур на комплексной плоскости ~=~~+4ь концы которого уходят на бесконечность, а функция Ф(~)=е'"'. Контур С может уходить на бесконечность лишь в тех областях, где обеспечена сходимость интеграла (2.29). При вещественном х>0 сходимость интеграла обеспечивается, если мнимая часть з(п ~ меньше нуля: 1гп зш ь = соз ч, й ь, < О. (2.30) При ьз>0 имеем з)з ~т>0, и условие (2.30) выполняется, ес- ли сов~,<0, т. е, при — +2йп<ь,< — "+2йи, йе2. 2 При ~з<б условие (2.30) выполняется, если — — +2йл<~,< — + 2хп, й е 2. 2 2 Таким образом получаем систему областей (заштрихованных иа рис. 4.3), в которых контур может уходить на бесконечность.
Заметим, что введенный ранее контур С,—, по которому ведется интегрирование в формуле (2.27), лежит в данных областях, 7$ Отсюда следует, что для плоской волны е — '"'"'с имеет место разложение в ряд Фурье Покажем теперь, что у(х) удовлетворяет уравнению Бесселя.
Обозначим через 1., оператор Бесселя 1.ч [у] = х'у" + ху'+ (х' — ч') у, а через К(х, ~) — ядро интеграла (2.29): е-ымпс Легко убедиться в справедливости формулы Б [К(х, Ь)]= — КСС(х, б) — ч'К(х, ~). Проинтегрируем интеграл Е,[у] по частям, учитывая, что в силу выбора контура С подстановки на бесконечности обращаются в нуль (заметим, что для интеграла (2.29) выполняются условия дифференцируемости под знаком интеграла), получим 1 [у(х)]= — ']Б,[К(х, ь)]Ф(~) Г'= с = — ~ (Ксс(х, Д+ч'К(х, ()) Ф(~) с(~ = с = — ~ К(х, ~) (Ф" (~)+ч'Ф(')) гб",. с Из полученного выражения следует, что при Ф (ь) = е™ функция у(х), определенная соотношением (2.29), будет удовлетворять уравнению Бесселя 1.„[у] =О.
Выбирая различным образом контур интегрирования, можно получать различные цилиндрические функции. О п р е де лен и е. Функциями Ханкеля первого и второго рода называются функции, определяемые интегралами Н~~' (х) = — ~ е — '" "" С-'"С Иь (2.31) с, (2.32) где контуры интегрирования С, и Сз имеют внд, изображенный на рис. 4.4. Функции Ханкеля первого и второго рода могут быть аналитически продолжены с положительной полуоси х на всю комплексную плоскость с разрезом по отрицательной части вещественной оси. Рассмотрим некоторые свойства функций Н,'"(х) н Н,' '(х). 1) Функции Ханкеля положительного и отрицательно~о ин,декса связаны следующими соотношениями: Н~~~.(х) =г'""Н~" (х), (2.
33) 7б Рис. 4.4 Н~~~(х)=е — ' "Н~~'(х). 2.34) Докажем, например, формулу (2.33). По определению Н(и (х) е-ымпс — ьСД~ 1 и с, (2.35) Рассмотрим для определенности функцию Ханкеля первого рода и докажем формулу (2.35). Продифференцируем левую часть формулы (2.35): а ' Н" > (х) — ( ' = — — 1Нн' (х) — — Н~'' (х)~. (2.37) Из формулы (2.31) следует, что Сделаем в интеграле замену переменных В= — л — а, в результате которой контур С, перейдет в такой же контур с изменением направления обхода. Учитывая, что д~= — да, и изменяя направление обхода, снова приходим к интегралу по контуру С~. Н~(~~(х) „-~хипа+иа+ыл йх — еычН~~ > (х) с, Формула (2.34) доказывается аналогично с помощью замены ~=я — а.
2) Для функций Ханкеля справедливы рекуррентные соотношения, аналогичные рекуррентным соотношениям для функци Бесселя (см. формулы (2.19) и (2.20)): — (х~Н,п "(х)) =х Н,"" ,(х). (2. 36) ах Н (,Ч ~~(,,;П.-) Š—,еппсс И1ДХ 1 с, С другой стороны, интегрируя правую часть формулы (2.31) по частчм и учитывая, что в силу выбора контура интегрирования подстановки на бесконечности обращаются в нуль, получим Нч (х) ею — — ~ соз ~~ е-ехеы +55.
5(" (2 39) Подставляя (2.38) и (2.39) в правую часть формулы (2.37), получим (2.35). Формула (2.36) доказывается совершенно аналогично. (2.38) 8. Связь функций Ханкеля и Бесселя. Функция Неймана Из интегральных представлений (2.27), (2.31) и (2.32) для функций Бесселя и Ханкеля первого и второго рода следует формула, выражающая функцию Бесселя через функции Ханкеля: Пусть сначала тФП, где и — целое число. Тогда из формул (2.40) и (2.41) следует, что (х) е 'хл — У е (х) Н,' '(х) =1 ео 42) ЯП ЛК д (х] е" л — д (х) Н, (х)= — 1 5!П ЛЧ Пусть теперь я — — и.
Тогда, применяя правило Лопиталя раскрытия неопределенностей, получим .Г„(х) е '' — д х(х) 5!П ЛУ Н,', ~(х) =1пп; дГ дд т ( 1 де ) — и дх ) .- Аналогично ,г„(к) = — (Н,' ' (л) — , 'Н~е ' (х)). (2.40) 2 В силу общих свойств аналитического продолжения это соотнощеепке может быть продолжено на всю комплексную плоское .. с разрезом по отрицательной части вещественной оси. На основании формул (2.33), (2.34) и (2.40) получаем е' „(х)= — (Н~е '(х)е5п — 'Н,' '(к)е "и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
