Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Отсюда будет следовать, что обоб- щепные полиномы Лагерра исчерпывают все собственные функции задачи (3.37). Для обобщенных полиномов Лагерра справедлива теорема разложимости Стеклова. При а=О получаем частный случай обобщенных полиномов Лагерра, называемых полиномами Лагерра и обозначаемых Е„(х) = — Ь~„"' (х). Из формулы (3.36) сразу следует формула Родрига, даю- щая явное представление для полиномов Лагерра: у~ 7„(х) = — е" — (х"е *). л! ех" (3.38) Коэффициент а„для полиномов Лагерра согласно (3.38) име- ет вид ( — 1)" а„= п1 и, используя общую формулу (3.17) и свойства гамма-функции, легко получить выражение для квадрата нормы: ((Е„~~'= — 1 " 'дх= — Г(п+1)=1. л! о Из формулы (3.37) при а=О получается уравнение для поли- номов Лагерра — (хе-" — Ь„) + Х„е-"Ь„= О. 102 Краевая задача Штурма †Лиувил для полиномов Лагерра формулируется полностью аналогично соответствующей задаче для обобщенных полиномов Лагерра.
Собственные значения Х„определяются формулой (3.13). Из уравнения Пирсона (3.1) т(х)= — х+1 и формула (3.13) дает л — 1 Х,= — и ( — !+ —.О) =а. 2 Полиномы Лагерра как частный случай обобщенных полиномов Лагерра образуют полную замкнутую ортогональную с ~ весом р(х)=е — ' систему на полупрямой 10, со) и исчерпывают все собственные функции соответствующей задачи Штурма— Лиувилля, Для полиномов Лагерра справедлива теорема разложимости Стеклова.
Используя формулу Родрига (3.38), выпишем в явном виде несколько первых полиномов Лагерра: Ео (х) = 1 1.,(х) = — х+1, (.г (х) = — х' — 2х+ 1. 2 Получим выражение для производящей функции полиномов Лагерра. В этом случае уравнение (3.22) принимает вид ! — х — а!=0, откуда х го= 1 — г и из формулы (3.23) следует 1-г Ч" (х, г)— 1 г ! — г 1 — г 1 — г Итак, кг М вЂ” 1~~ Е„(х) 1 — г г',г( л! к=О где Е (х)= ", и поскольку для полииомов Лагерра С„= —, Е.„(х) ! с„ л! то окончательно получим кг О Ч'(х, е) = е ' ' = ~ 1.„ (х) е".
1 — г к=О 7. Полиномы Эрмита Пусть а= — оо, Ь=оо. Тогда а(х) =1 и по формуле (3.5) получим о(х) =ехр (') т (х)г(х~. Выберем т(х) = — 2х. Тогда р (х) — е — к* (3.39) О п р е д е л е н и е. Классические ортогональные полиномы, заданные на прямой ( — со, со) и ортогональные на ней с весом р(х)=е — "*, называются полиномами Эрмита.
Для полиномов Эрмита нормировочный коэффициент обычно принимают равным 1ОЗ С„=( — 1)". Тогда формула Родрига (3.16) дает следующее явное выражение полиномов Эрмита: Н„(х) = ( — 1)" ек* — (е-к*). (3.40) Ехг Выпишем сразу несколько первых полиномов Эрмита: Не (х) 1 Н, (х) = 2х, На (х) = 4х' — 2, На (х) = 8хз — 12х. Из формулы (3.11) получается уравнение для полнномов Эрмита. Краевая задача для них формулируется следующим образом. Найти значения параметра Х, при которых уравнение Эрмита — (е-'* " )+Ле — '"у=О, — о (х(оо, (3.41) имеет нетривиальные решения, квадратично интегрируемые с весом е '" на прямой ( — со, оо).
Формула (3.13) дает выражение для собственного значения: Хи = 2п. В случае полиномов Эрмита, определенных на бесконечном интервале ( — со, оо), нельзя, как и в случае полиномов Лагерра, использовать для доказательства полноты теорему Вейерштрасса. Следовательно, нельзя утверждать, опираясь на свойство полноты, что система полиномов Эрмита замкнута. Докажем непосредственно замкнутость системы полиномов Эрмита. Напомним, что аналогично можно доказать замкнутость системы полиномов Лагерра. Имеет место следующая теорема. Теорема 4.4. Система полиномов Эрмита замкнута, т. е. функция ((х), непрерьлвная и квадратично интегрируемая с весом р(х)=е "' на всей бесконечной прямой ( — оо, о), ортогональная с весом р(х)=е " всем полиномам Эрмита на ( — о, ), тождественно равна нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию Ф (х) = 1 (х) е По условию теоремы функция Ф(х) квадратично интегрируема на интервале ( — оо, оо) с весом р(х)=1. Тем более функция с (х) =1(х)е — "' квадратично интегрируема с весом р(х) =1 на интервале ( — со, оо).
Известно, что если функция квадратично интегрируема на интервале ( — оо, оо), то для нее существует преобразование Фурье ю г" (ьз): 0 Е (ьз) = ~ с" (х) е — "" с1х = ~ 1(х) е — м ' йх. ю См: И ли и н В. А., Поз н я к Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 2 Мз Наука, 1980. 104 Функция Р(х) аналитична в полосе 11тш( (М произвольной ширины 2М, и ее производные можно вычислять, дифференцируя под знаком интеграла*>; Рс ~ (со) = — =( — с)" ~ Г(х) е — "—" хЧх, А= О, 1,... (ЗА2) йоа Так как функция Р(со) аналитична в полосе (1та~ ~М, то в принадлежащем этой полосе круге К» с центром в точке со= =О и радиусом сс функцию Р(ш) можно разложить в степенной ряд СО ; Рс'>(01 Р(со)=~' ш".
1Н Все коэффициенты этого ряда равны нулю: РРН (О) =-( — с)' ~ хау(х) е — '*йх= = ( — с)' ~ Д С,Н„(х))Г(х)е — "*с(х= — в=о и о = ( — с)' ')" С, '1 Н, (х) 1 (х) е — "* с(х = О, поскольку по условию теоремы ~ Н,(х)Г(х) е '*с(х=О, в=О, 1,..., о. Итак, всюду в круге Ки функция Р(со) тождественно равна нулю. По теореме единственности аналитической функции *о отсюда следует, что всюду в полосе ~1тш( <М функция Р(со) тождественно равна нулю.
Применяя обратное преобразование Фурье, получим Р(х)= ~ 1 Р(со)ес""сЬ= — О. 2и,3 0 Итак, функция у (х) = Р (х) е'* = О. Из доказанной теоремы и ортогональности полиномов Эрмита вытекает "' См: Свешников А. Г, Тихонов А. Н. Теория функний комплексной переменной. М.: Наука, 1979. *с Там же. сов Следствие. Система полиномов Эрмита исчерпывает все собственные функции краевой задачи Штурма — Лиувилля '(3.41) .
Для вычисления квадрата нормы полиномов Эрмита учтем, что в силу формулы Родрига (3.40) коэффициент а„=2". Отсюда по формуле (3.17) ((О ((г 2 п1 ~ г — «г(х 2" п1 )кп Получим выражение для производящей функции полиномов Эр- мита. Уравнение (3.22) принимает вид 1 — х — х=0, откуда 10=х+ х.
Отсюда по формуле (3.23) получаем "р(х, х) = Р ( г) =е и +го Р (1о) Р (х) Š— И««+и > Ои (К) и и (к) ( Х)и гд а««1 л1 — о л=-О Делая в последней формуле замену х на — х, получим оконча- тельное выражение для производящей функции Ю гр (х х) ег«г — «г, п ( ) х» 4-1 Н„(к) л1 а=О $4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 1. Основные понятия Определение. Присоединенными функциями Лежандра называются функции, определенные соотношением Р1 ' (х) =(! — х') — Р„(х), Йкиг (4.1) 106 где Р„(х) — полиномы Лежандра. При т)п присоединенные функции Лежандра тождественно равны нулю.
При т=2й это полиномы степени и. При т= =2я+1 — иррациональные функции. Из формулы (4.1) вытекает, что нули присоединенных функций Лежандра Р1 ' (х) помимо точек ~1 определяются нуля- 1ДПй ми производной — Р„(х), являющейся классическим орто»х~ гональным полиномом (и — т)-го порядка. Следовательно, при т)О присоединение функции Лежандра имеют и — т простых нулей внутри отрезка [ — 1, 1! и обращаются в нуль в граничных точках >-1.
2. Краевая задача для присоединенных функций Лежандра Получим дифференциальное уравнение для присоединенных функций Лежандра. Функция и(х) =-Р„(х) удовлетворяет уравнению Лежандра (3.29): (1 — х') и" — 2хи'+ п (и+ 1) и = О. (4.2) Продифференцируем (4.2) т раз, учитывая формулу Лейбница: (ип)! ' =') С» и' >и! »=о Получим О= ((1 — х') и" — 2хи'+п(и+1) и)! ' = С» (1 о)!») >т — »+2) =У »=о — С» (2х)'»'и!»+" +а(и+1) и' ' = =Х' С» (1 )!»> и! — »+»)+ +~ С» (1 — хо)! + > и>™М) + п (и+ 1) и! И3 т+! У С» 1,)!»>и! — »+о>+ ~ С! — ! (1 о)>)> „>т — )+о> „(„+ !) и!'"> =Со (1 — х ) и! +о)-(- (С' -1-Со) (1 — х )' и!"'+>>-1- + (С~ + С! ) (1 — х )" и' > + п (и+ 1) и! >, причем мы учли, что 1=О, 1, 2, а 1=1, 2, поскольку производные более высоких порядков от 1 — х' тождественно равны нулю.
Поскольку С!+Со =т+1 С„'=1 >от С'+С' т(, -1) + т( +11 т+ ш +т= 2 2 то !(! — ха) и" — 2хи'+п(п+ 1) и)1~! = = (1 — х') и' +~1+(т+1) ( — 2х) и' ""+ + ( + ) ( — 2)и' 1+п(п+1)и~ 1=О, 2 т. е. (1 — х') и' +м — 2х(т+1) и' +! — т(т+1) и' ' +п(п+1) и! '= О. (4.3) Полагая у(х) =(1 — х') т и!"'1(х), получаем из (4.3) следующее уравнение для функции у(х) =— — = Р„<"'> (х): (1 — х') у" — 2ху'+ 1 и (и+!) — )у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
