Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Ограниченные на единичной сфере решения уравнения (5.1), удовлетворяющие условию периодичности по ~р и обладающие непрерывными производными до второго порядка, называются сферическими функциями. Решение задачи (5.1) — (5.3) будем искать методом разделения переменных У(О, т) =В(6)Ф(Ч). (5.4) Подставляя (5.4) в уравнение (5.1), получим для Ф(~р) за- дачу Ф (~р)=~ ' т=О, 1, 2,...,и. соз тор, В этом случае систему сферических функций, условившись, что положительный верхний индекс т функции 1'л' (б, ф) соответствует умножению на яп тф, а отрицательный — на соз т<р, можно записать в виде тл1"'(б, ор) =Рл1 '(созб) з!втор, 5.9) )т„' '(б, <р)= Р„'оо (сов (1) соз тор (т = О, 1, 2, ..., и). Учитывая полноту системы тригонометрических функций и системы присоединенных функций Лежандра, можно утверждать справедливость следующей теоремы.
Т ео р е м а 4.7. Система сферических функций полна на единичной сфере г,:(О<6<я, О <ос <2п). Поскольку в силу общих свойств собственных функций сферические функции ортогональны на единичной сфере (для функций вида (5.9) ): л 2л ~ )'1, ' (б, оо) т'~, *' (б, <р) я п бйбйор = О при и, ~ п„тт ~ т„ о то из теоремы 4.7 вытекают следующие следствия.
Следствие 1. Система сферических функций замкнута. С л е д с т в и е 2. Система сферических функций исчерпывает все собственные функции задачи Штурма — Лиувилля (5.1)— (5.3). Каждому собственному значению Х„=п(п+1) соответствует 2п+1 линейно независимых собственных функций, т. е. каждое собственное значение является (2п+1)-кратно вырожденным. Для сферических функций справедлива теорема разложимости Стеклова. Т е о р е м а 4.8. Всякая функция 1'(б, ор), дважды непрерывно дифференцируемая на единичной сфере, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по сферическим функциям: 1(б, р)=-~ ~ 1.
У' '(б, р), л=.О а — л где коэффициенты 7"„, имеют вид (для функций вида (5.9)) , > ~ ~ 7'(б, ~р))т„' ~(б, ор)япб бо(ор. о о Если сферические функции имеют вид (5.8), то квадрат нормы для них равен 11$ )7(г) = гя Подставляя (6.6) в (6.5) и сокращая на г, получим характеристическое уравнение для определения параметра и: о (и -1- 1) — и (и + 1) = О. (6.6) Его решения имеют вид о=п и о= — (и+1). Таким образом, получим два семейства частных решений для уравнения Ла- пласа (и+11 )г(~л) (б (6.7) $7.
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА ДЛЯ КАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ В 5 8 гл. П1 построены решения задачи Штурма — Лиувилля для отрезка, прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда. Собственные функции этих областей выражаются через элементарные функции. В этом параграфе рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля для круга, прямого кругового цилиндра и шара, собственные функции которых выражаются через специальные функции, изученные в этой главе. 1. Собственные функции круга Начнем с задачи Штурма — Лиувилля для кру- га Кгд Ли+ Ки = О, (х, у) ~ К„ а — и+ри! =О, 1а(+ (~! ФО, и эЬО.
дл (7.!) (7.2) Введем полярную систему координат (г, ф с началом в центре круга К,. Напомним, что оператор Лапласа в полярной системе координат равен 1 д Г ди1 1 д~и Ли= — — (г — )+ —— г дг (, дг ) г~ д~р~ 117 0 п р е д е л е н н е. Функции и„(г, б, Ф), определяемые формулой (6.7) и являющиеся частными решениями уравнения Лапласа в сферической системе координат, называются шаровымн функциями. Функции г"1'и' (б, гр), ограниченные в начале координат и растущие на бесконечности, используются для решения внутренней задачи, функции г ~"~ ~1'~ 1(б, гр), неограниченные в окрестности начала координат и стремящиеся к нулю на бесконечности, — для решения внешней. Собственную функцию будем искать в виде сс(г, ср)=сс(г)Ф(ср) ~0. (7.3) Уравнение (7.1) запишем в полярной системе координат, подставим в него (7.3) н разделим переменные.
Получим сс г И1 г — (г — ) +ЛгЧС а. ( а.) Ф. (7.4) Й (г) Ф (ф) Поскольку собственная функция должна быть периодической по ф с периодом 2сс, то для Ф(ф) получаем задачу Штурма — Лиу- вилля Ф"+ Ф=О, 0< р<2,, Ф (ф) =— Ф (ср + 2сс), решение которой имеет вид (см. $8 гл. П1) Ф(ф)=Фп(ф)=1"'"' .=..=..=О, 1, 1 з'сп пср, (7.5) При каждом а=ос получаем задачу для Р(г): г — (г — ) +(Лг — п))с=О, 0<г<а. 2 с (7.8) Функция сс должна удовлетворять граничному условию а — +рсс~ =О, (а(+)~)~0, Нг к=а вытекающему из (7.2), и естественному условию ограниченно- сти при г=О сЯ(0)( < оо, поскольку г=О является особой точкой уравнения (7.6). Следовательно, для определения Я(г) получается задача Штурма— Лиувилля ссв гс)с'+г)с'+(Лгс — ас))с=О, 0<г<а, (7.7) а — +рсс) =О, (а!+(Ц ~0, (7 8) !)с (О)! < , ст (г)чь О.
(7.9) Уравнение (7.7) заменой х=грЛ приводится к уравнению Бесселя п-го порядка: х'у" + ху'+ (х' — ис) у = О. Поэтому общее решение уравнения (7.7) можно записать в виде Я (г) = 77„ (г) = С,у„ (Р' А г) + С,!2'„ ( у~Ег). Учитывая неограниченность функции М„(уЛг) при г-а.О и условие (7.9), находим С2=0. Будем считать С,=1, поскольку собственная функция определяется с точностью до числового множителя, который в свою очередь определяется из условия нормировки.
Поэтому собственная функция задачи (7.7) — (7.9) имеет вид Я„(г) = 7„( $' Х г). (7.10) Подставляя (7.!0) в граничное условие (7.8), получим днсперснонное уравнение для определения собственных значений зл а')Юу„(р'Ха)+(У (2/Ха) =-О. (7.!1) где штрих обозначает производную функции Бесселя по полному аргументу. Обозначим р=)О,а. Тогда собственные функции и собственные значения задачи (7.7) — (7.9) можно записать в виде (7.!2) где р!ю — Й-й корень уравнения (7.13) с2рУ„(р) + ()ау„(р) = 0 при фиксированном п=О, 1, 2,.... Таким образом, собственные функции круга имеют вид ид„(г, ~р)=а'„(УХаюг) ~ ' п=О, 1, 2,..., й=1, 2, (яп п~р, (7.14) (а1 ~ 2 а собственные значения равны Ха =( — ) Найдем норму ( ра а собственной функции (7.14): а 2а Циь„Ц2 = '! '! ц2„(г, <р) п(гор= !1/а!!2 йФа!!2 (7 15) о' о Поскольку норма Ф„(Ф =соавтор или Ф„=з!пер) известна, остается найти ()7„!!.
Чтобы найти Щ!, вычислим интеграл 1 = ~ Л, (х) хйх, где Л„(х) — произвольная цилиндрическая функция. Имеем 7 =- ~ 2,' (х) хг(х = ~ Л' (х) г( ( — ) = — х'Л' (х) — ~ х'Л, (х) Л, (х) дх. ~2/ 2 !19 Используя уравнение Бесселя х'Л„+ хЛ, + (х' — т') Л, = О, находим х'Л, = — х'Л,— хЛ, + ~'Л, = — х — (хЯ~) + т'Л„. нх Поэтому 7 = — ' 2~ (х) + ~ х2~ — (хЛ,) йх — т' ~ Л, Л,с(х = ах хЧ з х' * т' = — л,+ — г, — — л 2 2 2 Итак, Л„'(х)хйх= — )Л, (х)+ (1 — — )Л~ (к)~. (7.16) ( 2 х~ Полученная формула позволяет вычислить квадрат нормы функции Бесселя для соответствующей краевой задачи: ЦУ„Ц = 1 У,Я/Лг)гг(г= — ~ /„'(х)хйх=- О о = — 1 У„(а 'ргЛ) + ( 1 — — 1 У„(а ~/ Л) 2 (7.17) Рассмотрим теперь первую, вторую и третью краевые задачи отдельно.
Для задачи Дирихле (а=о, 8=1) собственные значения определяются из уравнения (согласно (7.13)) У„ (р) = о, л = Следовательно, Р.П-",= — ' 7. (р,'"'). 2 (7.18) ов ',3 ру„'(р)=о, л=~ — "' ). а Следовательно, 2 1 (спР (7. 19) Для третьей краевой задачи (я=1, (1=6) собственные значения определяются из уравнения !20 Для задачи Неймана (а=1, 8=0) собственные значения опре- деляются из уравнения рй„(р) + апй„(р) = О.
Следовательно, (7. 20') (7. 20") Формула (7.20') удобна для вычисления при малых 6 (й- 0), а формула (7.20и) — при больших й (6 — со). Непосредственно видно, что при й-~0 формула (7.20') переходит в (7.19), а при й- о (7.20") переходит в (7.18). 2.
Собственные функции цилиндра Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля для прямого кругового цилиндра Т, Введем цилиндрическую систему координат (г,(р, г) с началом в центре нижнего основания цилиндра и осью г, направленной вдоль оси цилиндра. Напомним, что оператор Лапласа в цилиндрической системе координат имеет вид д~и Ли = А,и+ —, дг~ где Лт — оператор Лапласа на плоскости. Задача Штурма— Лиувилля имеет вид (хи+Ли=О, 0<г<а, 0<(р(2п, 0<а<1, (7.21) а — +йи ~ =-О, (7.22) дг ~~=а а, — — б,и~ =О, а.,— +б.,и~ =О. (7.23) ди ( ди ди ц=-о дг «.=( Решение будем строить методом разделения переменных, отделяя переменную а: и (г, (р, г) = е (г, р) 2 (г) Ф О.
(7.24) Подставляя (7.24) в уравнение (7.21), записанное в цилиндрической системе координат, и разделяя переменные, получим Ьйи+ Ли Я" (г1 (7.25) и(., р) = Я(.1 С учетом граничных условий (7.22) — (7.23) для определения о и г имеем следующие задачи Штурма — Лиувилля: 121 Ло+хо=О, 0<г<а, 0<<р<2л, а — +ро ! =О, да дг г=а где х=Л вЂ” ч, о(г, ср) чЬ О.
Первая задача есть задача определения собственных функций и собственных значений отрезка, вторая — задача определения собственных функций и собственных значений круга. Первая решена в 5 8 гл. П1, вторая — в предыдущем пункте. Следовательно, собственные функции цилиндра имеют вид (з!и иго! а собственные значения вычисляются по формуле Льат хь +~т~ где х,!"! — собственные значения круга при граничных условиях (7.22), Е (г) и о — собственные функции и собственные значения соответственно отрезка, при граничных условиях (7.23) .
3. Собственные функции шара Теперь построим собственные функции шара К,. Введем сферическую систему координат (г, О, !р), 0<г<а, 0<б<л, 0<!р<2л с началом в центре шара. Оператор Лапла- са в сферической системе имеет вид 1д!ада!1 Ли = — ( г' ) + — б,з, и, га дг (~ дг ) га где Ло и — сферический оператор Лапласа, равный 1 д !. диз 1 даи Ло, и= — (з(пб — ~+ а!и О до дд а!и' д два Рассмотрим задачу Штурма †Лиувил для шара: Ли+Ли=О, М ~К, (7.26) а — +ри ( =О, ди дг г=а и чь О. (7.27) 122 Решение строим методом разделения переменных, отделяя радиальную переменную г: и(г, б, <р) =)т(г)о(б, !Г) ьО. (7.28) Подставляя (7.28) в уравнение (7.26), записанное в сферической системе координат, и разделяя переменные, получим л ! ~и~ — (г~ — ) + Хг% (7,29) й (г) и(д, ф) о=о„(6, ф)=У~ ' (д, ф), а собственные значения равны р = р„= и (и+ 1), л = О, 1,..., т = О, (-1,..., (-л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
