Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(2.41) 2 О "(х)=У„(х) — — [( ~ ) — ( — 1)" ( ") (2 43) называется функцией Неймана. При вещественном аргументе и вещественном индексе функция Неймана является мнимой частью функции Ханкеля первого рода. Функции Ханкеля первого и второго рода выражаются через функции Бесселя и Неймана следующим образом: Нн1(х)=у (х)+Их (х), (2.44) Н,'~1 (х) = а', (х) — (йг, (х). Формулы (2.44) справедливы и при комплексном аргументе на всей комплексной плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси. 9.
Линейная независимость цилиндрических функций Для доказательства линейной независимости функций Бесселя и Ханкеля достаточно показать, что их определитель Вронского отличен от нуля в1. Проведем доказательство для функции Ханкеля первого рода. Пусть пока т~п, где и — целое. В силу формулы (2.42) по- лучаем )к'[а'„, Нс 11= — Ю [и'„У,1. (2. 45) Из формулы (1.4), полученной для уравнения специальных функций, следует, что определитель Вронского, построенный на решениях Х.(х) и У,(х) уравнения Бесселя, должно иметь вид С, Ф'[l„l,) = — ', (2.46) х где С, — зависящая от т постоянная.
Найдем ее. ' Снх Тихонов А. Н; Васильева А. В, Свешников А. Г. Дифференниальные уравнения. М: 1хаука, 1985. 79 Следовательно, при действительном аргументе х функции Ханкеля первого и второго рода являются комплексно-сопряженными. Из формулы (2.40) вытекает, что при вещественном аргументе функция Бесселя является вещественной частью функции Ханкеля. Определение. Функция У (х) = — (Н,"'(х) — Н„'" (х)) Гп Из формулы (2.!6) получаем (2.47) = — —,7 „(х) У,(х) — — Х,(х),7, (х)— х х —.) ч(х) ( — ) (2хУ(х)+х'Ф'(х)) +У,(х)( — Г (2х12(х)+хчч7'(х)), (2/ (2/ а заменяя l,(х) и Х,(х) по формулам (2.47), (2.48), окончательно получим (Р'[У„У «] +хЯ (х).
(2.50) где функция Я(х) ограничена в точке х=О. Сравнивая формулы (2.46) и (2.50), будем иметь С,=— 2ч Г (ч+ 1) Г (1 — ч) Я (х)= О. Используя свойства гамма-функции (см. ~ 2, и. 2), получим 2 х)и ач ч (2.51) 80 ,lч(х) = 1)ь х ) зь+ч Г(Л+1) Г(Ь+чт!) '~ 2 / ь=о ° ° ( '6 ( — 1)» 7 х 1хм — !)) 2 ) ( Г (ч + 1) 4 ачв Г (х + 1) Г (х -1- ч + 1) 1 2 ) ) ь=! = ( — ") ~ +х'У (х)), где функция .У(х) ограничена в точке х=О.
Аналогично из формулы (2.17) вытекает, что 2 ч(х) = ~ — ) ~ +х'~',ь" (х)~, где функция Ц(х) ограничена в точке х=О. Дифференцируя (2.47) и (2.48), имеем .)ч(х) = — У, (х) + ( — ~ (2хУ (х) + х'У' (х)), (2.49) l , (х) = — — 7 „ (х) + ( — ) (2хб)(х) + х'47' (х)). х,2! Используя формулы (2.47) — (2.49), определитель Вронского мол!но записать следующим образом: Подставляя (2.51) в (2.46), имеем Ю [У„У,[ = — — з(п пт, 2 (2.52) отсюда с учетом формулы (2.45) В [у„н,'"[= —" их (2.53) Напомним, что эта формула получена в предположении, что ч~ Фп.
Однако из ее вида следует, что она справедлива и при т=п, поскольку в этом случае функции Х (х) и у „(х) линейно зависимы (см. ф 2, п. 3) и определитель Вронского для них равен нулю. Формула (2.53) также справедлива при любом ч. Поскольку из (2.44) вытекает, что К [У„Н,'0[ = 1)Р [У„Л1,), то с учетом (2.53) получим (Р' [I„Л1,[ = Приведем, наконец, еще одну формулу, следующую из свойств функций Ханкеля и формул (2.44): )Р [Ум Л1ч [ = ях Из полученных выражений для определителей Вронского вытекает попарная линейная независимость функций 1,(х), Л1,(х), (х), Н, (х) прн любом т и линейная независимость У„(х) 0) СП и У,(х) при нецелых значениях т. Пары линейно независимых цилиндрических функций образуют фундаментальные системы решений уравнения Бесселя.
Уместно заметить, что рассмотренные свойства линейной независимости частных решений уравнения Бесселя аналогичны свойствам линейной независимости частных решений з(пйх, созйх, е"" е-м" уравнения у" +йзу=О. В заключение приведем формулы, описывающие поведение цилиндрических функций при малых значениях аргумента. Из формулы (2.16) вытекает аснмптотика в нуле функции Бесселя: з',(х)= [ — ) +... (2.54) 81 Поскольку по доказанному функции Бесселя и Неймана линейно независимы, из формулы (2.54) и доказанной в $ 1 леммы следует, что функция Неймана имеет при т=О логарифмическую особенность, а при тзьО имеет полюс т-го порядка.
Приведем формулы, описывающие поведение функции Неймана прн малых значениях аргумента: А<в (х) 7в (и) !и + а 2 2 и Л'в(х)= — — ) — ! (и — 1)!+... (п -1). и ),«у Поведение в окрестности точки х=О функций Ханкеля пер<вого и второго рода определяется поведением в окрестности точки х=О функций Бесселя и Неймана и формулами (2.44). 10. Асимптотика цилиндричсских функций Для дальнейшего изучения свойств цилиндрических функций рассмотрим их поведение при больших значениях аргумента.
Будем основываться на интегральных представле.ниях, полученных в п. 7. Рассмотрим для определенности функцию Ханкеля Ц (х) — Š— <««<« "-<-<вй <(» <<! ! (2.55) с, Интеграл (2.55) — это интеграл по комплексной переменной й, зависящий от параметра х, для оценки которого прн х- оо можно использовать метод перевала.
Напомним его основные положения'!. Если 7(<,) и ч<(Д являются аналитическими функциями аргумента й в области О, содержашей контур интегрирования С, то при больших значениях аргумента х имеет место асимптотическая формула а «<<-я «а«<<<«<< гвм)т~ г «<П< 'ТЕо<* '<), !< «! <«" (»ввЦ с (2.56) где йо — точка перевала функции г(й), определяемая условием Г'(йо) =О, а Угол ф Указывает напРавление наискоРейшего спУс! .ка и определяется следуюшим образом: <р= — (и — агк7" (вв)) 2 Применяя формулу (2.55) к интегралу (2.55), получим и .л 77 (х) — и <««<пй»<««<(» = — и!« ~ ~ — и в в + () (х ага) и и х с, (2. 57) Формула (2.57) выполняется при условии х»1.
Поскольку функция Н«<(г) является аналитической функцией комплексной переменной г на комплексной плоскости с *< Более подробно смл Свешников А Г., Тихонов А Н Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, <979. разрезом по отрицательной части вещественной оси, то в силу общих свойств аналитического продолжения формула (2.57) остается справедливой прн )г)»)х! в области ~агах~ <л — Ь, Ь>0. При вещественном аргументе х формулу (2.57) обычно записывают следующим образом: л л 3 Н„( (х) = 1у( — е -' ' '--0(х 2). (2.58) Учитывая, что при вещественных аргументах функции Ханкеля первого н второго рода комплексно сопряжены, из формулы (2.58) получим следующие асимптотические формулы: л л Ц()(х)=1)2 2 е 2 4 +0(х 3 ), лх l (х)= 1/ — соз (х — — ' — — 1+0(х — '"3), (2.59; 1 лх 2 4! Ь (х)= ~/ — 5(п х — — — — )+0(х ).
— 322 лх ( 2 4) 11. Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента. Функции Инфельда и Макдональда Рассмотрим цилиндрические функции чисто мнимого аргумента. Подставим в ряд (2.16) для функции Бесселя аргумент (х( 1 ( 1)х(ы Х 22 — х ( — ) = — ('72 (х). Г(А — 1)Г(((е ч —,1) ' 2, о=о Из формул (2.59) следует, что при больших действительных значениях аргумента функции Бесселя и Неймана представляют собой осциллирующие функции х, причем их амплитуды убывают с ростом х как х '*, а расстояние между нулями стремится к л, Причем все эти нули, кроме х=О, простые. В самом деле, предположим, что в точке хооьО функция Бесселя или Неймана имеет нуль порядка выше первого. Тогда в точке хо эта функция и ее первая производная обращаются в нуль.
Поскольку цилиндрическая функция удовлетворяет уравнению Бесселя, являющемуся однородным дифференциальным уравнением второго порядка, то в силу единственности решения задачи Коши для уравнения Бесселя при х)хо получим, что при х)хо данная функция тождественно равна нулю. Полученное противоречие доказывает утверждение. К„(х) = — 1 "' (1„(5х) е "" — 1 (1х)) = 2 Мпит и (,ч1 (Х) Е-Ып 1 — 51 (Х))— 25!П ПЧ (2.62) (1, (х) — 1, (х)). 25!и яу Пусть теперь т=п — целое число. Тогда, переходя в формуле (2.62) к пределу прн 5 и и раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим ! !)п ~(д1 ) (дг Таким образом, функция Макдональда является вещественной при любом т.
Пользуясь асимптотикой функции Ханкеля первого рода, получим аснмптотику функции Макдональда при х — пп: К (х) = — Р+!Нт!~ ! (1х) = 2 à — 1ч-!-!еь(ах) е 2 4 + (1 (х — 5!2) 2 ! П55 (2.63) Из формул (2.60) и (2.63) следует, что при х- пп функция 1.(х) экспоненциально возрастает, а функция К„(х) экспоненциально убывает.
Таким образом, функции 1„(х) и К„(х) линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения (2.61). Общее решение уравнения (2.61) можно записать в виде р (х) = С,1, (х)+С,К,(х), где С, и С, — произвольные постоянные. В частности, если решение ограничено на бесконечности, нужно положить С,=О, а если решение ограничено в нуле, то положить С,=О. Поскольку функции 1„(х) и К„(х) линейно независимы и функция 1.(х) ограничена в нуле при т=О и имеет в нуле (х= =0) ноль т-го порядка при тчьО, то в силу леммы 4.1 получаем, что К„(х) имеет при т=О в нуле логарифмическую особенность, а при тзьΠ— полюс т-го порядка.
В частности, асимптотика в нуле функции Кп(х) имеет вид К, (х) = — 1, (х) !п — +... 2 Х Из рекуррентных формул для цилиндрических функций (2.19), (2.20) несложно получить рекуррентные формулы для цилиндрических функций мнимого аргумента: l (х) — 1 ' )= — 1 ~(х), ох х~ / х~ — (х'1„(х)) =- — х'1„. ~ (х), ох 1 .~~ (х) — 1, ~ (х) = — — 1т (х), 2т х Кт+~ (х) — К, ~ (х) = — К, (х), 2т Х Кт;, (х))-К„~ (х) = — — 2К,(х). В частности, 10 (х) = 1д (х), К с (х) = — К, (х) . й 3. КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НОЛИНОМЫ 1.
Определение классических ортогональных полиномов О п р е д е л е н и е. Будем называть систему (р„(х)) полиномов всех степеней, заданных на отрезке )а, Ь), системой классических ортогональных полнномов, если онн ор- тогональны на (а, Ь( с весом р(х), удовлетворяющим на интер- вале (а, Ь) дифференциальному уравнению Пирсона (о (х) р (х)) = т (х) р (х), дх (3А) где о(х) и т(х) — заданные функции, удовлетворяющие усло- вию хоо(х)р(х)(~=0, т=-0, 1, ... (3.2) Граничные точки а и Ь отрезка (а, Ь1 могут соответственно принимать значения — оо и + оо. Функция т(х) — линейная функция о (х) = (х — а)(Ь вЂ” х) при а~ — оо, Ьчь оо, х — а при а~ — оо, Ь=со, Ь вЂ” х при а= — оо, Ь~оо, 1 ири а= — оо, Ь=со. (3 А) т(х) =Ах+ В, (3.3) ' коэффициенты которой А и В определяются из условия (3 2).
Функция в(х) имеет вид В уравнение для веса р(х) нходят два параметра линейной функции т(х). Общее решение уравнения (3.1) имеет вид р(х) = ехр (~ с(х). (3.5) Формулы (3.1) — (3.5) определяют целый класс классических ортогональных полиномов и позволяют получить для них явные представления через функции р(х) и а(х). Классический ортогональный валином р„(х) является полиномом и-й степени. Ниже будут рассмотрены наиболее важные для приложений конкретные примеры классических ортогональных полиномов.
2. Основные свойства классических ортогональных полиномов 1) Классические ортогональные полиномы по определению ортогональны на отрезке !а, Ь] с весом р(х): ') р„(х)рь(х)р(х)с(х=О, п~й. а 2) Теорема о нулях. Теорема 4.!. Классическии ортогональный полинам р,(х) ,имеет равно и простых нулей строго внутри отрезка )а, Ь]. Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
