Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(4.4) 1 — х~ ! Уравнение (4.4) можно переписать н в самосопряженной форме: — ~(1 — х') — "1+(п(п+1) — ~ у=0. (4.5) их [ дх 1 ха Из вида уравнения (4.5) следует, что точки х=-Е1 являются особыми точками этого уравнения (см. $ 1). Поэтому для выделения единственного решения уравнения (4.5) достаточно потребовать„чтобы оно было ограничено в точках ~1. В результате получаем, что присоединенные функции Лежандра при каждом значении параметра т являются собственными функциями, соответствующими собственным значениям Х,=п(п+1) следующей краевой задачи Штурма — Лиувилля на отрезке ( — 1, Ц: — 1(1 — х~) — Р~ ~1+(Մ— ) Р1"' =О, — 1(х(1, (4.6) где Л„=п(п+ 1). Ниже будет доказано, что присоединенные функции Лежандра исчерпывают все собственные функции краевой задачи (4.6).
Заметим, что, как это следует из общей теории, второе линейно независимое решение уравнения (4.6) имеет особенность в особых точках -1-1. 108 Так как присоединенные функции Лежандра Р! '(х) являются собственными функциями краевой задачи (4.6) для самосопряженного оператора, то они образуют ортогональную систему на отрезке [ — 1, 11: +1 ~ Р! ' (х) Р!!, ' (х) с(х = 0 — 1 при пиен и одном и том же т. Заметим, что для присоединенных функций Лежандра имеет место формула ортогональности по верхнему индексу с весом (1 — х') — '*1: Р„1'"! (х) Р!'! (х) дх=0, т~1, (1 — ха) — ! причем +' !т1' 1 и (х) (и+ш)! дх=— 1+х' т(п — т)! — 1 3.
Полнота н замкнутость системы присоединенных функций Лежандра ! А,(1 — х ), хе:-( — 1, — 1 +б), сР(х)= 7(х), хе=( — !+б, ! — б), ! А,(1 — х') ', х еэ(1 — б, 1], (4.7) где б)0, а постоянные А, и Ат выбираются из условия непрерывности функции !р(х) в точках х= — 1+б и х=1 — б соответственно. При таком построении функции !р(х) функция !р(х)= =(1 — х') ' !р(х) непрерывна на 1 — 1, 11. ! Сын Бе йтм ан Г., Э рдей и А.
Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Мх Йаука, 1966. 109 Докажем лемму, используемую в дальнейшем для доказательства полноты системы присоединенных функций Лежандра. Лемма 4.2. Для всякой непрерывной на отрезке ( — 1, !) функции 1(х) можно построить такую непрерывную на !" — 1, 1! т функцию ср(х), что функция !р(х)=(1 — х') ' ср приближает в среднем функцию 1(х) на отрезке ! — 1, 11. Доказательство.
В качестве функции !р(х) можно взять, например, функцию и 2 Покажем, что функция (4.7) приближает в среднем функцию 7(х) на отрезке 1 — 1, Ц. Поскольку >р(х), 1(х) непрерывны на отрезке 1 — 1, Ц, то чр(х) и Г(х) ограничены на отрезке 1 — 1, Ц и, выбирая общую константу М, можем написать ( >р (х) ! ( М, 1) (х) ~ ( М. Поэтому, учитывая, что 1 Р (х) — чр (х) / ' ( (~ (х)! з+ 2 !1(х) ~ ! >р (х) / + (>р (х) / ': 4М', (4.8) ! 1 (х) — >р (х) ! з с(х ( е, — ! т.
е. что функция чр(х) приближает в среднем функцию 1(х) на отрезке 1 — 1, Ц. ° Замечание. Если ввести норму пространства 7.з 1' — 1, Ц +1 йд-' = ') 7з(х) йх. — 1 (4.9) то доказанная лемма утверждает, что функцию 1(х) ~С1 — 1, Ц можно приблизить с любой заданно ! !очностью с помощью фУнкции (4.7) в ноРме 7.з( — 1, Ц: длЯ любого е>О можно построить функцию ф(х) по формуле (4.7) такую, что И вЂ” р1!ы(е Перейдем к доказательству основной теоремы.
Т е о р е м а 4.5, Система присоединенных функций Лежандра полна е 7.з( — 1, Ц. ,11 о к а з а т ел ь с т в о. Пусть задана некоторая функция 1(х) ~7.,1 — 1, Ц. Известно*>, что для любого е'>О существует *> Смз Ильин В. А., Поз как 3. Г. Основы математического анализа. Ч. 2. М.: Наука, 1980. 11О получим +1 — ! -)-а (1(х) — гр(х)1ас(х= ~ (7(х) — <р(х)(здх+ — ! — 1 ! — а ! + ~ (1'(х) — го(х)!адх+ ~ 11(х) — !р(х)1здх( ->+а 1 — 'Π— !+ь ! (4М' ~ Ых+ 4М' ~ 'их =8Мзб.
-'! ! — а Из формулы (4.8) вытекает, что для любого е) О, выбирая 6( в ( †, получим 8Мз непрерывная на отрезке 1 — 1, Ц функция й!(х) такая, что Д(х) — д(х)(!!., < е'. (4.10) Согласно лемме 4.2 для любого ел) 0 существует функция Ор(х) = =(1 — х') ' <р (х), где !р (х) непрерывна на отрезке ( — 1, ! ), такая, что +1 !(а — Ор(!' = '! (д(х) — ср(х)(ОО(х<е" . (4.11) — ! Согласно теореме Вейерштрасса функцию !р(х) можно равномерно приблизить на отрезке [ — 1, Ц системой полиномов, т. е. для любого е"'>О найдется такая система коэффициентов (С,) и такое число Ф>0, что ~!р(х) — ~~~Сл Р„(х)) <е"'. (4.12) л.=а Умножая левую часть неравенства (4.12) на 0<(1 — х') ' (1 (н тем самым усиливая его) и учитывая (4.!), получим ~ !р (х) — ~ С„Р! !(х) ~ < е"', л=а следовательно !р(х) — ~) С„Р! !!(х)!! <'1/2е"'.
(4.13) л=а Наконец, нз неравенства (4.10), (4.11) и (4.13), применяя неравенство треугольника для нормы*), получим (!1 — ~ фР!! ~<Я вЂ” И!(с,+!!й — !р!!! + л=а + ! <р — ~' С„Р! ! ~ < е'+ ел+ 3/2 е л < е л=а прн соответствующем выборе е', е" и е Последнее неравенство доказывает полноту системы присоединенных функций Лежандра в пространстве Еа( — 1, Ц. Следствие 1. Поскольку присоединенные функции Лежандра как собственные функции задачи Штурма — Лиувнлля (4.6) ортогональны с весом 1 при различных кс +! ~ Р!, ' (х) Р!, ' (х) О(х = О, и, Ф и,, — ! *! Там же.
111 СЮ йх) =У ~.РТ' (х), л=ь где коэффициенты Фурье )„равны -!-1 ! ~ (х) Р„'"'! (х) дх, и = О, 1,... !!Р„'-'!!' >, Для вычисления коэффициентов разложения 1„необходимо иметь формулу для квадрата нормы !!Р! !!!'. Выведем ее. Обозначим !11„„= !(Р„' !((О. Тогда 1 1 ,Лл !л! !Ул = ~ (Р! !(х))'йх= ~ (1 — х')'" Р'„— Рлйх = ЕхЛ1 — 1 — 1 Е1Л ЕЛ1-1 11 = (1 — х')'" — Р„(х) — Р„(х) ~ Охл1 лхл1 ! — 1 — ( Рл (х) ! (1 — х') — Р„(х) ] с(х. (4. 14) ЕхЛ1 — 1 Подстановки обращаются в нуль, а для вычисления интеграла в правой части последней формулы воспользуемся формулой (4.3), переписав ее в виде Ел1+ 3 Р Елей+1 Р (1 — хь) " — 2х (!и+ 1) — "+ ЛхЛ1+1 Ох'л+! Ел3Р +!п(п+1) — и!(и!+1)1 " =О. (4.15) Умножим (4.15) на (1 — х')™! .О)л1т! л ОХ ЬХл1"! 1!2 то из доказанной теоремы вытекает замкнутость системы присоединенных функций Лежандра.
Из следствия 1 непосредственно вытекает С л е д с т в и е 2. Система присоединенных функций Лежандра при каждом !п исчерпывает все собственные функции задачи Штурма — Лиувилля (4.5). В силу общих свойств собственных функций, для присоединенных функций Лежандра имеет место теорема разложимости Стеклова. Теорема 4.6. Всякая функция !(х), дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке ( — 1, !! и обращающаяся в нуль на его концах !( — 1) =!(1) =О, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по присоединеннь!м функциям Лежандра (тФО): +!п(п+1) — т(т+1)](1 — х') " = 0 охт т — 1, подста- и, поменяв в последнем равенстве индекс т на вим результат в интеграл в правой части (4.14): 1 М„т = ~ (п (п+ 1) — т (т — 1) ] (1 — х')" ' Ихл' ~ -1 = '!и (и + 1) — т (т — ! ) ] !Ч Так как п(и+ 1) — т(т — !)=(и+т) (и — т+1), то Ф„=(п+т) (п — т+1) д!, =(и-1- т) (и — т+!) (и+ т — 1)(и — т+ 2) Ф„ = (и + т) (и — т+ 1) (и + т — 1) (и — т+ 2)...
(и+ 1) ийлт а поскольку (и+т)(п — т+1)(и+т — 1)(и — т+2)... (и+1) п= = !(и+т) (и+т — 1)... (и+!)]'!(п — т+1) (и — т+2)... и]= (л+ т)! и! (л+ т)! и! (л — т)! (л — т)! то (л+ т) ! лт лО. (л — т) ! Учитывая, наконец, что й.,=!!РЛ = окончательно получим г! !~~'= 2л+ ! (л+ т)! (л — т) ! а з. сфпричпскип функции (5.1) (5.2) (5.3) !1а Перейдем теперь к изучению специальных функ- ций от нескольких переменных. Начнем со сферических функ- ций. Рассмотрим следующую задачу Штурма — Лиувилля на единичной сфере: Лб )'+ Лу = О, О < б < и, О ~ <(р <~ 2Д, )х(д, ср) =)'(д, <р+2и), !)х(0, !р)] < оо, !У(и, <р)! < оо, Ф" +тФ=О, Ф Ор) = Ф Ор + 2п), (5.5) которая имеет нетривиальное решение при т=тз вида Ф„(ср)=е'"'~, т=О, ~ 1, Для функции 6(6) получаем задачу — (з!об — ) + (Л вЂ” — ) В=О, 0(0(п, ( В (0) , '( оо, ( 44 (и) ( ( со. (5.6) Если сделать замену х=созб и у(х) =у(созб)=В(6), то задача (5.6) принимает вид дд ! т~ — ~(1 — х') — ~+ ~Х вЂ” ( у=О, — 1(х(1.
дх Их~ 1 — хг) (у(~1И( (5.7) Сравнивая (5.7) с (4.6), мы видим, что задача (5.7) является задачей Штурма †Лиувил для присоединенных функций Ле- жандра. Поэтому собственные значения имеют вид Х„=п(п+1), а собственные функции 9„„,(Ь) =у„(соз Ь) = Р! 1(сов О), причем гп (и. Выпишем систему сферических функций п-го порядка: У1 ' (О, ф = Рм™ (соз 0) е' ч ( — и ( т ( п). (5.8) Собственные функции задачи (5.5) можно записать в тригоно- метрическом виде: 114 где А„— угловая часть оператора Лапласа в сферической системе координат, имеющая вид 1 д 1. д 1 1 д~ Ле = — (з!пб — )+ Мпд дд (, дд,) Мпзд дф' О п р е д е л е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
