Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Пусть ср(М) — основная функция, т. е. бесконечно диффс ренцируемая локальная функция. Носитель ее обозначим ало. Функция о как регулярная обобщенная функция имеет обобщенные производные всех порядков. Следовательно, бо есть обобщенная функция. Покажем, что 6(М* Мо) Мо~ 0. рассмотрим функционал 1срсхос(К, заданный на пространстве основных функций.
Согласно определению производныхобобщенных функций рС! 1 с() = — ' ~ Аорсы. 4и12мм, 4ЯС!мм, о о *' Об обобщенных функниях см., например: В л а д и м и р о в В. С. Уравнения математической физики. Мл Наука, 1988. 1ЗО Сделаем следующие замечания. Понятие фундаментального решения может быть введено для общего дифференциального оператора с.и, Фундаментальным решением оператора Ьи называется регулярная обобщенная функция*>, удовлетворяющая уравнению Преобразуем интеграл, стоящий в правой части равенства (1.10), используя третью формулу Грина (1.7): 1 ! ар 1 Г ~ 1 дгр д 1 '(Р = г ~ !р 1 "о Ф(М).
4л .) ймм 4л ()) (, В дл дл й,) 5 Область 0 можно выбрать достаточно большой так, что носи- тель 1)о функции ор расположен строго внутри 17. Тогда р!,=о, — '' =о. д~р ! Поэтому АФ"' = 'р(Мо) Мо ел 1-!. 1 .' 1 лмм, о Следовательно, из (1.10) получаем Ч'(М) А о(г = ор(Мо) Мо е= П. 4ллмм, Это соотношение и показывает, что ( 4лл ) ( ' о)' Аналогичным образом можно показать, что в двумерном слу- чае А( ! 1п ! )= — 6;(М,М,). 1 2л лмоь 1 1 Таким образом, построенные нами решения — и 1п— лмм, лмм, только числовым множителем отличаются от фундаментально- го решения в трехмерном и двумерном случаях, определенно- го соотношением (1.9).
Поэтому там, где это не вызывает за- труднений, сохраним за ними название «фундаментальное ре- шение уравнения Лапласа». Заметим также, что фундаментальное решение согласно (1.9) определено неоднозначно. Оно определено с точностью до решения однородного уравнения Ем=О. Поэтому, строго го- воря, фундаментальным решением уравнения Лапласа в трех- мерном случае является любая функция о, равная в (М Мо) = +п(М) 4л!1мм, где и(М) — гармоническая функция. Полезно отметить, что формально третью формулу Грина (1.4) можно получить следующим образом.
Пусть и(М) — ре- гулярная обобщенная функция. Применим в области й к и(М) 1 и о= вторую формулу Грина (1.2): 4ллмм 13! .! ~ 4кЦмм, 4пймм 1 К!1 ди д 1 = — (1) ! — — — и — — ) с(5, М„ен Р. (1.1 1) 4я У (, 1! дп дп Так как и(М)6(М, М,)Л'=и(М,), М, АР, то из (!.11) получаем 1 Г(1 ди д 1т 1 Раи Г( и )б~ 4к У(Я дп дп Л) 4п Я в о Строгим обоснованием этого метода и являются рассуждения, проведенные в начале этого параграфа при выводе третьей формулы Грина.
2. Основные свойства гармонических функций Используем формулы Грина для вывода основных свойств гармонических функций. 1, Если и — гармоническая в области Р функция, то ф — '," бай=О, (1.12) где 3 — любая гладкая замкнутая поверхность, целиком лежа- и(ая в области Р. Действительно, полагая о= 1 и применяя первую формулу Грина к функции и и о в области, ограниченной поверхностью Ю, сразу получим (1.12).
Формула (1.!2) иногда называется формулой Гаусса для гармонических функций. Ее можно интерпретировать как отсутствие источников внутри 5. Если Ьи= — 1(М), то ~ — бЗ= — ~ )(М)с()т, что можно интерпретировать как выражение для потока через границу области при наличии источников внутри области. 2. Теорема о среднем. Теорем а 5.1. Пусть и(М) — гармоническая в области Р функция. Тогда и (М,) = — ~ и (М) а5, Е а 1ЗЗ еде Х, — сфера радиуса а с центром в точке Мо, целиком лежаи(ая в области Р. Доказательство. Применим формулу (1.8) к шару Км с центром в точке Мо и поверхностью Х,: 1 о! 1тди д 1 и (М,) = у ( — ' — — и — — )! 4(5. 4п (,!1 дп дп 11 1 Поскольку то, принимая во внимание формулу (1.12), получим и (Мо) = ~ и (М) сЮ.
И Эта теорема утверждает, что значение гармонической функции в точке Мо равно среднему значению этой функции на любой сфере Х, с центром в Мо, если сфера Х, не выходит нз области гармоничности функции и. Заметим, что для гармонической функции, непрерывной в замкнутой области Р, формула среднего значения справедлива и тогда, когда сфера касается границы области Р. Действительно, пусть сфера Х~' радиуса ао касается поверхности 3. Формула среднего значения справедлива для любой сферы Х,' меньшего радиуса (а(ао): и (М,) = — ~ и(Р)д5.
1 4яао м, а Переходя в этой формуле к пределу прн а-~-ао и учитывая непрерывность и в замкнутой области Р, получим и(Мо)= ~ и(Р)Ю. 4яоо м, Ф Для случая двух переменных имеет место аналогичная тео- рема о среднем значении: и (М,)= ~ид1, с, где С,— окружность радиуса а с центром в Мо, лежащая в области гармоничности функции и (М) .
3. Гармоническая в области Р функция имеет внутри Р производные всех порядков, 133 Это утверждение непосредственно следует из третьей формулы Грина (1.8), так как при Моен0 поверхностные интегралы являются собственными и их можно дифференцировать по 'координатам точки М, любое число раз. Заметим, что из этой же формулы (1.8) следует, что гармоническая функция во всех внутренних точках области аналитична, т.
е. разлагается в сходящийся степенной ряд в окрестности любой внутренней точки Мо. При этом радиус сходимости соответствующего ряда не меньше, чем расстояние точки Мо до границы 5 области О. 4. Принцип максимума. Т ео р е м а 5.2 Гармоническая в области В функция и(М), непрерывная в замкнутой области 1З, достигает своих максимальных и минимальных значений на границе 5 области О.
Доказательство, Так как функция и(М) непрерывна в замкнутой области К то она достигает своего максимального значения в этой замкнутой области. Докажем, что это максимальное значение достигается функцией и(М) на поверхности 5. Предположим противное. Пусть функция и(М) достигает своего максимального значения в некоторой внутренней точке Мо области 0: ио = шах и (М) = и (М,) ) и (М), о М вЂ” любая точка области Г1.
Окружим точку Мо сферой Хр' радиуса р, целиком лежащей в области О, и применим теорему о среднем: и(МР)= — гб и(Р)с(5( 1~ и(Мо)й5= 4про Р 4пр' „т хм~ м, Р = и (Мо) 1~ '15 = и (Мо). 4пр',Т м~ Р Написанная цепочка соотношений верна только в случае, если и (Р) ( м, — = и (М,). а Действительно, так как крайние элементы цепочки равны, то ~ и(Р) с(5.=-4пр'и (Мо), хме Р Если теперь предположить, что хотя бы в одной точке Р, сфеРы Хром' и(ро) . и (М,), то зто неравенство, в силу непрерывности и(М), будет иметь 134 место и в некоторой окрестности точки Р, на сфере Хр'„откуда ~ и(Р)й5(4пр'и(М ), хме ь что приводит к противоречию.
Следовательно, всюду на сфере ~м. и (Р) = — и (М,). Поскольку р произвольно, то его можно выбрать так, чтобы сфера Хр' касалась поверхности 5. Точку касания обозначим М*, В точке М* и достигается максимальное значение иь= =и(Ма). Применяя проведенные рассуждения к гармонической функции о= — и, докажем достижение на поверхности 5 минимального значения. ° Замечание. Формулировку принципа максимума можно усилить. Покажем, что если непрерывная в замкнутой области Р гармоническая функция и(М) достигает своего максимального значения в некоторой внутренней точке Мь области Р, то она равна постоянной.
Из проведенных рассуждений следует, что функция и(М) равна и, не только на сфере Хь', но и, в силу произвольности р, всюду внутри шара Кр', ограниченного этой сферой. Возьмем произвольную точку М области Р. Соединим точки М, и М кривой С, целиком лежащей в области Р. Обозначим наименьшее расстояние точек С от поверхности 5 через Н, а длину кривой С вЂ” через й Пусть точка М, является последней точкой пересечения кривой С и сферы Хг'. Поскольку и(М,)=и(Мь), то, повторяя проведенные рассуждения, получим, что всюду внутри шара Кг' радиуса й с центром в М, функция и постоянна и равна и(М,).
Взяв на кривой С точку Мь являющуюся последней точкой пересечения кривой С и сферы Хл', и продолжая данный процесс, в результате конечного числа шагов, которое не более (/й, получим, что внутри шара, которому принадлежит точка М, функция и постоянна и равна и(Мь)=иь. В силу произвольности точки М и непрерывности функции и в замкнутой области 0 заключаем, что и= — и(Мь) = =иь всюду в замкнутой области Р. Таким образом, из всех гармонических функций, непрерывных в Р, только постоянная может достигать своего максимального значения во внутренних точках области.
Аналогичное утверждение можно доказать и относительно минимального значения. Таким образом, формулировку принципа максимума можно усилить и сформулировать его так: гармоническая в области Р функция, отличная от постоянной, непрерывная в замкнутой области б, достигает своих максимальных и минимальных значений только на границе 5 области Р. ~ав Доказанное свойство гармонических функций чрезвычайно важно, и мы неоднократно будем его использовать. Укажем одно следствие из принципа максимума: если две гармонические в х) функции и(М) и в(М) непрерывны в замкнутой области Тз и и)5<и(5, то всюду внутри области и(М) (п(М).
Доказательство этого утверждения, носящего название принципа сравнения, очевидно. й 2. ВНУТРЕННИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА Для выделения единственного решения уравнения Лапласа на границе области нужно задать дополнительные условия. В нашем курсе будут рассмотрены линейные задачи, В этом случае граничные условия чаще всего рассматриваются следующих трех видов: 1) и)э=1(Риз — пеРвое кРаевое Условие, или Условие ДиРихле; ди ~ ) — ~ =)(Р)~з — второе краевое условие, илн условие Неймана; дл ~з ди 3) — +Ь(Р)и~э=1(Р)Ь вЂ” третье краевое условие.
дл В дальнейшем, если это не оговорено особо, будем считать, что входящая в эти соотношения функция ((Р), заданная на поверхности 5, является непрерывной на 5 функцией. Также будем рассматривать в области Р неоднородное уравнение Ьи= — Р(М) с непрерывной в области 0 правой частью Р(М). Последовательное изучение краевых задач начнем со случая, когда область О, в которой определяется решение, конечна. Такие задачи называются внутренними краевыми задачами. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
