Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Решение этой задачи имеет вид (см. и 8 гл. П1) ! соз пф, Ф(ф) =Ф„(!р) = $ . Л„= и', и =О. 1, 1 5(пи!р, Из (5.3) с учетом найденных значений Л, получаем уравнение для В(г): г%" + г)5' — пЧг = О. (5.6) Это уравнение Эйлера, и общее решение его может быть за- писано в виде Я(г)=Кл(г)=Сгг +С,г ", ПАЛО, )т (г)=С!+С,1пг, п=О. (5. 71 Ограниченными при 0<г<а решениями являются Я„(г)=С!г", п=О, 1, 2, ... Следовательно, получаем следующую систему решений уравнения Лапласа, ограниченных в круге 0<г<а: ( 5!П Лф Общее решение уравнения Лапласа в круге записывается в ви- де разложения по этим частным решениям; и (г, ф) = — '+ ~1~~ г" (А„соз пф+ В„з(п пф). (5.9) Л=! Для построения общего решения уравнения Лапласа вне круга 6 зал 5м 161 Решение этого уравнения должно быть периодично с периодом 2л: Ф (!р) = — Ф (<р+ 2л).
(5.5) (г)а) следует выбрать частные решения (5.2), ограниченные вне круга. Они имеют вид и„(г, «р)= (, ф1, п=О, 1, 2,, (5,10) (М«п лф 1 Следовательно, общее решение уравнения Лапласа вне круга, ограниченное на бесконечности, можно записать в виде и(г, «р) = — '+ т ! — (А„сох пф+В„з!па«р). (5.11) г! г!! 41 Перейдем теперь к решению краевых задач. Рассмотрим внутреннюю краевую задачу для круга: Ли=О, 0 г(а, (5. 12) р (и) = — и — + ()и(, = !' («р), (с«! + ! Р! Ф О.
дг (5.13) Решение задачи (5.12) — (5.13) можно записать в виде разло- жения (5.9), коэффициенты которого определяются из гранич- ного условия. Но вычисления оказываются проще, если реше- ние записать в виде и(г, «р)= — '+ э «,' (А„сизиф+В„з(ппф) при ()-ьО. л=.! (5.14) п=О, 1,2, Выпишем отдельно решения первой, второй и третьей краевых задач для уравнения Лапласа в круге.
1. Задача'Дирихле: и),,=1(«р), и(г, «р)= ' +~ ~ — ) (А„свзпф+В„з!ппф), 2 2а(~ а) 2~ (5.!6) 2. Задача Неймана: — =1(ф) ди дг г=а и(» «р)=~ ', (А„созпф+В„з!ппф)+С, (5.17) л=-! «62 Подставляя (5.14) в граничное условие (5.13), находим выражения для коэффициентов: 2«« еч А„= — 3!»(ф)созпфйр, В„= — !) Г" (ф)з(ппфаф, (5.15) 1 1 о о где С вЂ” произвольная постоянная. Напомним, что решение внутренней задачи Неймана существует только при условии юл '! У(ф) Ьр=О ю н определяется с точностью до произвольной постоянной. 3.
Треп!ья краевая задача: — +Ьц).= =!" (!р) ди дг ц(г ) = и' -)-~" г „,(А„сов п!р ! В„з!ппюр). (5.18) 2Ь й ~ (и-)-аа) а" ь=! ициенты в (5.18) — (5.18) определяются формулами (5.20) Тогда решение задачи (5.19) запишем в виде и, )(ю!'( ) Сю дюм!(г) ц(г гр) — 'о " + ю ' + 2 дю!~! (Ь) 2 Дюм) (в) д(а! (г) + Р,"„(А„созпюр+В,з!пп!р)+ 4~ й~, ! (ь) д„'"! (г) + (Си соз пг)! + Е)и 5!и пюр). 'Р л=! (5.2!) )63 Коэфф (5.15) . Решение внешних краевых задач проводится аналогично.
Для построения их решений следует использовать частные ре- шения (5.10). Подробнее рассмотрим краевую задачу внутри кольца а< <г<Ь. Для определенности выберем задачу Дирихле пи=О, а<г<Ь, (5.19) ц(г=а=~!(<р), ц!г=ь=!гю(ю(!), При построении решения внутри кольца нужно использовать весь набор радиальных функций (5.7). Но удобно при каждом и построить специальную систему фундаментальных решений )г„~" ( ), ЯР (г)) уравнения (5.6), удовлетворяющую следую- щим граничным условиям: Й„'~ (а) = О, )к ~ ! (Ь) = О, и = О, 1, ... В качестве таких решений можно взять функции )гю!" (г) =1п —, Яю' ' (г) =!и —.
в Подставляя (5.21) в граничное условие при г=а и учитывая (5.20), находим коэффициенты С, и Р.: 2м 2л 1 !' 1 Сп ~ рь(ф) соэгирдф, Ра = ~ 11(ф) 51п аф2(ф. При решении других краевых задач внутри кольца следует построить нужные радиальные функции, удовлетворяющие соответствующим однородным граничным условиям при г=а и г=Ь. 2. Краевая задача для уравнения Лапласа в прямоугольнике Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике также могут быть решены методом разделения переменных. Для определенности рассмотрим задачу Дирихле би = йОо б < х < а, О < у < Ь, (5. 22) (5.23) и !.-о =1Р,(У), и (, . = 1Р,(У), и ! о=о = ф1 (х), и ! 2 ь = ф, (х). (5.24) Задачу (5.22) — (5.24) разобьем на две задачи, каждая из кото- рых имеет однородные граничные условия по одной из пере- менных.
Пусть и(х, у)=и, (х, у)-';-и,(х, у), где и, и и, есть решения следующих задач в прямоугольнике: Ли1=0, био=О, ио!о=о= иь/о=о =О, и !.= = ф (у) и, !.=. = ф, (у). иь!.=о=иь!.=.=О, и,!д,о=ф,(х), и, ! ь=ь = ф, (х), Каждую из этих задач будем называть стандартной. Рассмотрим стандартную задачу для функции и,(х, у). Построим сначала решения уравнения Лапласа, представимые в виде и(х, у)=Х(х) г'(у) ч-:0 (5.25) и удовлетворяющие однородным граничным условиям по х: 164 Аналогичным образом коэффициенты А„и В, определяются из граничного условия при г=Ь: 2л 2в 1 1 А„=- — ~ ~2(ф) созафь(ф, В, = — ~ ~2(ф) 51ппфь(1р.
о и( =о=и(,,=0. Подставляя (5.25) в уравнение Лапласа и ные, получим уравнения для функций Х(х) и Х" +ЛХ=О. 0<х<а, — 0<у<у. Учитывая (5.26), получаем для Х(х) задачу ля Х" +ЛХ=О, 0<х<а, Х(0)=Х(а)=0, Х(х) жО, ) (5. 26 разделяя перемену(у): (5.27) (5.28) Штурма — Лиувил- решение которой имеет вид (см.
гл. 1П, й 8) Х= — Х„=з1п )/Л„х, Л„= ~ — ), а=1, 2, И При Л=Л, общее решение уравнения (5.28) запишем в виде г (У) = у„(у) =А зЬ ~Л„У+В й ЗАЛ„(5 — у). Заметим, что такой выбор фундаментальных решений уравнения (5.28) аналогичен построению функций Й„'" и )7Р в предыдущем пункте. Таким образом, построены частные решения уравнения Лапласа и, (х, у) = (А„зй ~/Л„у+ В„зй У Л„(Ь вЂ” у) ( айп ~л,, х. (5 29) л = 1, 2, ... Решение стандартной задачи для функции и, запишем в виде разложения по системе (5.29): оЬ ~/Л„Ь оо УЛо а л=! коэффициенты которого определяются из граничных условий й а В„.= — ( ф,(х) з1п'Р~1.„хах, А„= — ( фо(х) з1п у Л„хс(х.
(5.31) о.) а о о Таким образом, решение стандартной задачи для и,(х, у) дается формулами (5.30), (5.31). Аналогичным образом решается стандартная задача для функции и,(х, у). Решение ее имеет внд '" ~н ~/л„' " ь ~/л„ л=! где Л„= ( — ), 165 0„= — 1 ~р, (у) з(п ЗГ~.„уду, С„= =1 <р., (у) з)п')/~.„ус(у.
ь,) ь,) Итак, решение задачи (5.22) — (5.24) имеет вид и = и„(х, у) + и„(х, у), й 6. ОСНОВЪ| ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА В этом параграфе рассматриваются интегралы специального вида, называемые потенциалами, и исследуются их основные свойства. 1. Объемный потенциал Рассмотрим сначала трехмерный случай. Пусть в ограниченной области Р задана функция р(М). Интеграл г (М) = ~ л г(" е ~М6 О (б,!) называется объемным потенциалом.
Как было отмечено ранее, функция 1/Рис представляет собой определенный во всех точках МФЯ потенциал единичного точечного заряда, сосредоточенного в точке Я. Если в области 0 непрерывно распределен заряд с объемной плотностью р(Я), то в силу принципа суперпозиции естественно полагать, что потенциал, создаваемый данным распределением объемного заряда, выражается интегралом (5.1). Функция р называется плотностью потенциала. 166 где функции и, и и, определяются формулами (5.30) и (5.32) соответственно. Таким же образом может быть решена краевая задача для уравнения Лапласа в прямоугольнике с другими граничными условиями. Осторожность нужно проявлять при решении задачи Неймана, поскольку при редукции ее к стандартным задачам может появиться задача, которая не имеет решения, В этом случае исходную задачу заменой неизвестной функции можно свести к задаче для неоднородного уравнения с однородными граничными условиями.
Схема решения такой задачи изложена в гл. 111, э 7. 3 а м е ч а н и е. Решения краевых задач для уравнения Лапласа в случае круга, кольца и прямоугольника выписаны в виде рядов. Мы не будем исследовать сходимость этих рядов. Отметим только, что при достаточной гладкости граничных функций эти ряды сходятся и дают классическое решение соответствующих краевых задач. Будем рассматривать объемный потенциал как обобщенную функцию и покажем, что при любой интегрируемой с квадратом функции р он является обобщенным решением уравнения Пуассона Л Р= — 4пр. Для доказательства этого заметим, что объемный потенциал можно рассматривать как свертку финитной обобщенной функ- ции р и фундаментального решения 1я оператора Лапласа е> Р(М) =~ — сП/,= — ° р.
г р(я) 1 яма я о Используя правило дифференцирования свертки и учитывая, что Л вЂ” = — 4пб(М, Я), ~ма получим Л$' = Л ! — е р ) = ( Л вЂ” ( * р = — 4п (б * р) .=- — 4пр. !7 ~~ При более жестких требованиях на функцию р объемный потенциал представляет собой классическую функцию, обладающую определенными свойствами гладкости. В частности, если р — классическая ограниченная и интегрируемая функция, то объемный потенциал является непрерывно дифференцируемой функцией во всем пространстве. Если же плотность р непрерывна вместе с первыми производными, то объемный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона ЛР = — 4яр.
во всех точках непрерывной дифференцнруемости р. На плоскости объемным (или логарифмическим) потенциалом называется интеграл вида р(М)=1р(Е!и — ' Ь,. ~ме О При тех же требованиях относительно р он является решением уравнения Л'к'= — 2пр. 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра Напомним некоторые необходимые в дальнейшем сведения о несобственных интегралах второго рода, зависящих от параметра. ' См: Владимиров В С. Уравнения математической физики. М: Наука, !988 167 Будем рассматривать несобственные интегралы вида )г(М)= ~ Р(М, ф~Я) с(то, (6.2) где г(М, Я) — функция, неограниченная при М=Я и непрерывная по М, а )(Я) — ограниченная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
