Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тогда ~Р,(М)~ <2А ~ к'(х — Ц)'+ (у — ч)' к,д Введя полярную систему координат (р, ~р) с центром М', по- лучим 7~(М)~ <2А ~ ~ ~ ~ =8пА6<е. Р о о Следовательно, интеграл по 5, сходится равномерно относительно М в точке Мс и представляет собой непрерывную в точке Мь функцию. Поэтому потенциал простого слоя У(М) непрерывен в точках поверхности 5. Из приведенных рассуждений следует, что потенциал простого слоя с ограниченной плотностью непрерывен во всем пространстве.
° В двумерном случае доказательство непрерывности потенциала простого слоя проводится аналогично. 6. Поверхности Ляпунова Для существования потенциала двойного слоя на поверхности нужно наложить более жесткие требования на гладкость поверхности 5. Выделим класс поверхностей, называемых поверхностями Ляпунова. О и р е д е л е н и е.
Поверхность 5 называется поверхностью Ляпунова, если выполнены следующие условия. 1. В каждой точке поверхности 5 существует определенная нормаль (нли касательная плоскость). 2. Существует такое число д)0, что прямые, параллельные нормали в точке Р поверхности 5, пересекают не более одного гта причем г(х, у) — однозначная непрерывно диффереицируемая функция.
Получим оценки для функции г(х, у) и ее первых производных в указанной окрестности. Направляющие косинусы внешней нормали пр в точке Р поверхности 5 при р<р0 выражаются формулами сова= ', созр= у'1+.'+,' )/1,'+ гд 1 соз у =- у1+г,з+ -„-" Обозначим через пр' проекцию вектора пр иа плоскость (х, у), а через а' и р' — углы, образованные вектором пр' с осями х ну: соз а = соз а' з)п у, соз р = з(п а' з(п у. Так как в силу выбора системы координат г(Ма) =О, г (Ма) =О, г„(М,) =О, то ра можно выбрать достаточно малой так, что 1 ! сову = ) — при о(р,, 1+2 +зд Тогда )сова) ~(айну(А)см,р, (совр~ (А)смр. )г,~ =! " ((2 ~сова! (2Айщр сов т в силу условия 3.
Аналогично ~г ~ ( 2А)саум р. (6. 4) (6.5) (6.6) 174 раза часть поверхности 5, лежащую внутри сферы радиуса с( с центром в точке Р. 3 Угол у(М, Р) =(пхь пр) между нормалями в точках М и Р поверхности 5 удовлетворяет условию у(М, Р) (АРмр, где А, б=сопз1, А>0, 0(6~1. При этом точка М принадлежит части поверхности 5, нахо- дящейся внутри сферы радиуса й с центром в точке Р. Получим некоторые оценки, необходимые нам в дальней- шем. Пусть М0 — некоторая точка поверхности 5. Введем ло- кальную систему координат (х, у, г) с началом в точке Ма на- правив ось г вдоль внешней нормали в точке М,.
Плоскость (х, у) при этом совпадает с касательной плоскостью. В силу условия 2 существует такое р„ что уравнение поверхности 5 при р= у'х'+у'(р, может быть записано в виде г=г(х, у), Используя формулу Тейлора для функции х(х, у) в указанной окрестности Мы получим г(х, у) =г(0, О)+хг,(х, у)-!-уг„(х, у), где 0 < х < х, 0 < у < у. Отсюда находим ! г(х, у) ! <р (г„! +о )г„! < 4АВммр. Полученные оценки используются при изучении свойств поверхностных потенциалов. (6.7) дальнейших 6.
Существование и непрерывность прямых значений потенциала двойного слоя на поверхности Всюду в дальнейшем будем рассматривать поверхностные потенциалы только на поверхностях Ляпунова. Т ео р е м а 6.11. Потенциал двойного слоя 2 (6 8) нмя -= Адаме+ Ауме+ 4АРме баме (6.9) Следовательно, для точек Р поверхности 5 в окрестности точки М подынтегральная функция в (6.8) имеет оценку ~ (( б~~ (6.1 О) которая обеспечивает сходимость несобственного интеграла (6.8) в точках М поверхности 5. Оценка (6.10) справедлива для любой точки М, расположенной на поверхности 5. Поэтому 175 с ограниченной плотностью !т! (С на поверхности 5 существует, т.
е. является сходящимся несобственным интегралом при Ме-=5. В этом случае этот сходящийся несобственный интеграл называется прямым значением потенциала двойного слоя на 5. Доказательство. Пусть М вЂ” произвольная точка 5. Оценим подынтегральную функцию в окрестности точки М. Введем локальную систему координат, как это было сделано выше. Пусть точка Р имеет координаты (с, т1, ь).
Тогда сов <р = сова + сов (3 + соз у. $ и мя ~ме Отсюда, учитывая оценки (6.4) — (6.7). получаем (соэ<р! < !сова!+(созЩ+ < ~ме эта оценка обеспечивает равномерную по М~5 сходимость интеграла (6.8) в любой точке Ма~5 и его непрерывность на поверхности 5. Итак, существует прямое значение потенциала двойного слоя, и это прямое значение непрерывно как функция точек поверхности 5.
ф На плоскости потенциал двойного слоя существует в точках кривых Ляпунова, которые определяются условиями, аналогичными условиям 1 — 3 для поверхности. 7. Разрыв потенциала двойного слоя Выше была доказана сходимость несобственного интеграла (6.8) в точках поверхности, но не равномерная сходимость зтого несобственного интеграла по параметру в пространстве.
При получении оценок (6.9), (6.10) существенным было условие, что точка М лежит на поверхности 5. Для точки МЙ 5 даже при се достаточной близости к точке Мсеп5 полученные оценки не имеют места. Позтому интеграл (6.8) не является равномерно сходящимся по параметру МгК5 в точке М,еп5. Тем самым нельзя утверждать, что, так же как и потенциал простого слоя, потенциал двойного слоя является непрерывной функцией во всем пространстве.
В отличие от потенциала простого слоя потенциал двойного слоя претерпевает разрыв при переходе через поверхность. Покажем зто и определим величину разрыва. Рассмотрим сначала потенциал двойного слоя с постоянной плотностью то=сопз1: 1" (М) = то ~ 1(5г. Р дл 7см7 (6.11) , Ьудем считать, что поверхность 5 замкнутая. Тогда интеграл (6.11) легко вычисляется.
Для вычисления его применим третью формулу Грина, положив в ней и=— тм Тогда получим 4пто М ~О, д 1 15 2, М (6.12) ~м О, М е= О, (М ф О+ 5). Ж',(Р,)= 1пп К(М), М~ 0, М РЕЬ 176 Введем следующие обозначения: У(Р,) — значение потенциала двойного слоя, когда точка Р, лежит на поверхности 5 (Рог=5), т. е. прямое значение потенциала в точке Р;, ЧУ,(Рс) — предельное значение потенциала (г'(М) в точке Р, на поверхности изнутри, т. е. )г',(Р,) — предельное значение потенциала Ф' в точке Р, на поверхности снаружи: Ж',(Р,) = 1!гп Ж'(М), М ен У1,. и Р,ез Потенциала двойного слоя с постоянной плотностью т, согласно !612) является кусочно-постоянной функцией. Формулу (612) можно переписать в виде йг; (М) =-)Р (М)+2пчо )Р, (М) -- )Г' (М) — 2пч,.
(6. 13) Рассмотрим теперь потенциал двойного слоя с непрерывной плотностью ч(Р) и покажем, что для него справедливы формулы, аналогичные (6.13). Пусть Р, — произвольная точка поверхности 5. Потенциал двойного слоя с плотностью т(Р) представим в виде )Р'(М)=~т(Р) „~ Н5=-У(М)+)г'(М)= УР =~[ (Р) — ~(Р)[ ',, г(5+~ (Р) ~ Й5.
(6.!4) П,иг Второе слагаемое и'(М) представляет собой потенциал двойного слоя с постоянной плотностью ч(Р,), свойства которого нам уже известны. Докажем, что первое слагаемое У(М) есть функция, непрерывная в точке Р, Для этого достаточно доказать равномерную сходимость по параметру М интеграла У(М) в точке Р,.
Возьмем произвольное е)0. Из непрерывности пункции т(Р) в точке Ра следует, что для любого е~0 сущетвует такая окрестность К, точки Р, на поверхности 5, что [т(Р) — ч(Р,)[ (а при Р е= К,. Оценим интеграл по К,: ~ ~ [ч(Р) т(Ро)[ г к, к, В силу (6.12) при достаточно малом К, д5(В при всех М. 112 к, Поэтому получаем [ ( ) '(Ро)[ ~~! ~~ еВ 11.чн к, что означает равномерную сходимость интеграла У(М) в точке Р,. Значит, функция У(М) непрерывна в точке Р,. Таким образом, разрывные свойства потенциала двойного слоя К(М) в точке Р, согласно (6.14) определяются вторым слагаемым Ф(М).
Перейдем к пределу в (6.14) при М- Р,. Сохраняя прежние обозначения и используя свойства потенциала с постоянной плотностью„получим йУ~(Ро)=7(Ро)+К(ро) = 7(Ро)+ ~'(Ро)+2лт(Ро) = Ю'(Р )+2лт(Г,), У~,(Р,) = 7(Р,)+УР,(Р ) =,7(Р,)+Ф (Р,) — 2ооо (Р,) = = %' (Р) — 2лт (Ро) Ю'; (Р) =В'(Р)+2лт(Р), (6.15) К, (Р) =)г'(Р) — 2лт(Р), %'; (Р) — Ф,(Р) =.4ли (Р). (6.16) (6. 17) Последняя формула определяет величину скачка потенциала двойного слоя при переходе точки М через поверхность 5 в гочке Р.
Заметим, что в случае переменной плотности т(Р) при т(Р,) =О скачок потенциала двойного слоя в точке Р, оказывается равным нулю. Если поверхность 5 не является замкнутой, то поступим следующим образом. Дополним 5 поверхностью 5* так, чтобы 5()5о была замкнутой поверхностью Ляпунова. На 5* плотность и(Р) доопределим нулем. Ясно, что проведенные выше рассуждения справедливы во всех точках непрерывности функции т(Р).
Поэтому формулы (6.15) — (6.17) справедливы во всех точках поверхности 5, кроме ее края. На плоскости потенциал двойного слоя исследуется аналогично, Окончательные формулы, определяющие разрыв потенциала двойного слоя при переходе через кривую С, имеют вид Ю'; (Р) =- )(7 (Р) + лт (Р), К, (Р) =- В'(Р) — лт (Р), К; (Р) — %', (Р) = 2лт (Р). ггв где Ф(Ро) = /(Ро) + Ф (Р,) — прямое значение К (М) в точке Ро псверхности 5, Таким образом, потенциал двойного слоя при переходе через поверхность претерпевает разрыв, и величина этого разрыва определяется формулами 8. Разрыв нормальной производной потенциала простого слоя Потенциал простого слоя вне поверхности 5 имеет производные всех порядков.
Исследуем поведение нормальной производной потенциала простого слоя при переходе через поверхность 5. Плотность р(Р) потенциала будем считать непрерывной на поверхности функцией. Пусть Р, — произвольная точка поверхности 5, п,(Р,) внешняя единичная нормаль в точке Р,. Рассмотрим производную потенциала простого слоя Г(М) по направлению п,(Р,): д)' (М) = и, (Ро) ягабм У (М) = дл, = '] р(Р)пе(Ра) Кгабм 4(5р 1 )~мр (6.18) (г'(М) = — ][р(Р) — Н5р, д 1 дар )Гир свойства которого уже исследованы.
Поэтому — (М) = ~ р(Р) [п,(Р) — п,(Р,)] дгабр сБ+ дл,,) )'зг з +Му(М) =У(М)+йу(М), Покажем, что функция з'(М) непрерывна в точке Р,. Лля этого оценим подынтегральную функцию в окрестности точки Р;. 1 ~ = / р (Р) [и, (Р) — и, (Ро)] ягабр ~ < мр 179 и исследуем ее поведение при М- Р,. Подробно разберем только тот случай, когда точна М стремится к точке Р, по направлению нормали п,(Р„). Учитывая, что функция Рмр зависит лишь от разности координат точек М и Р, формулу (6.18) можно переписать в виде — (М) = — 1 р(Р) п,(Р,) йгабр Й5 = дл, ! йяр 1 = ~ р (Р) [пе (Р) — пе (Ро)] дгаг)р — !(5 — '] р (Р) пе (Р) ягабр — г(5 ! (6.! 9) 1 !1 так как ягабм ~ — — — ягабр г ], где п,(Р) — внешняя еди)~м~ н.н ! ничная нормаль к поверхности в точке Р. Второе слагаемое в (6.19) есть потенциал двойного слоя с плотностью р(Р): (С (п,(Р) — п,(Р)! лМР так как !р! (с Поскольку !Пе(~ ) Пе(16)! =1Р(не(Р) Пе(! 6))(не( ) Пе(! 6)) = т ! = рР2 — 2 сову = 2(з!и— 2 где у — угол между нормалями в точках Р и Р„то ! '" 2 ( тС АСНАР ~РМ ~РМ ~РМ так как для поверхности Ляпунова у(АРРР,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
