Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Полученная 6 оценка обеспечивает непрерывность интеграла У(М) в точке Р,, когда М стремится к Рл по нормали п,(Р,). Следовательно, функция У(М) непрерывна в точке Р,. ди Таким образом, разрывные свойства — согласно (6.20) дл, .определяются вторым слагаемым )Р'(М) Используя формулы (6.15), (6.16) для потенциала двойного слоя, из (6.20) получаем 11гп (М) = у (Ре)+%'; (Ре) = м Р мел дле =У(~ о)+)Р (Ро)+2пр( о) = (Ро) ~ + 2пр (Ре) ду 66 где ( — (Ре)) — прямое значение нормальной производной в точ(, дл, ке Р,.
Аналогичным образом д!е Г дн 66 1!ш — (М) = ~ — (Р,)' 2п„(Р,), м Р, меп дл дл„ Введем обозначения: ( (Р)) — внутреннее предельное значение д!е дл, др нормальной производной,,'потенциала простого слоя; ~ — (Р)~— ) внешнее предельное значение нормальной производной потенциала простого слоя.
Если поверхность незамкнутая, то внутренняя н внешняя стороны поверхности определяются выбором внешней нормали. Тогда разрывные свойства нормальной производной потенциала простого слоя можно описать следуюшими формулами: 180 ( — ) =( — ) +2лр(Р), ( — ) =- ( — ) — 2л1е(Р), (6.
21) (6.22) ( — ) — ( — ) = 4лр (Р). (6.23) $7. МЕТОД ННТЕГРАЛЪНЫХ УРАВНЕНИИ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Метод разделения переменных и метод функции Грина позволяют получить явное решение краевых задач только в случае областей простейшего вида. Сведение краевых за- 181 Формулы для производной по внутренней нормали отличаются от полученных лишь знаком у вторых слагаемых. Отметим, что при более жестких условиях на функцию н(Р) можно показать, что формулы (6.21) — (6,23) справедливы при любом способе стремления точки М к точке Р,~5 (за исключением направления, касательного к поверхности 5).
Заметим, что из формулы (6.16) можно получить для нормальной производной потенциала простого слоя выражение вида — (М)= — 1 р(Р) деЧ 1 11м р где ф — угол между нормалью пе(Ра) к поверхности 5 в точке Рм на которой находится точка М, и вектором йчр. На плоскости нормальная производная потенциала простого слоя также разрывна при переходе через кривую С, и формулы, определяющие величину разрыва, имеют вид ~,я ~ ~ аи ~о ( — ) — ( — ) =2лр(Р).
Рассмотренные свойства поверхностных потенциалов были получены при условии, что функции р(Р) и т(Р) являются ограниченными и непрерывными на поверхности 5 (или кривой С в двумерном случае). Это условие можно ослабить. Более детальные исследования показывают, что основные свойства поверхностных потенциалов сохраняются и в том случае, когда функции р(Р) и т(Р) квадратнчно интегрируемы на 5 (и(Р), т(Р)~(~(5)). При этом соответствующие поверхностные интегралы остаются гармоническими функциями вне 5, а полученные выражения для их предельных значений выполняются почти всюду на 5. дач при помощи поверхностных потенциалов к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода удобно для исследования разрешимости краевых задач. Метод интегральных уравнений дает также алгоритм численного решения краевых задач для достаточно широкого класса областей.
В этом параграфе метод интегральных уравнений применяется для исследования внутренних и внешних краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа в трехмерном случае. Получены интегральные уравнения для этих задач и изучены вопросы их разрешимости. 1. Основные свойства интегральных уравнений Интегральные уравнения широко применяются при исследовании краевых задач математической физики. В нашем курсе они будут использованы при изучении разрешимости краевых задач для уравнения Лапласа. В этом параграфе будут приведены (без доказательства) основные теоремы теории интегральных уравнений Фредгольма второго рода е>. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода (М) =- ) ~ К (М, ~) и (Ж г(т + 7 (М), й при этом будем считать, что 0 — конечная область размерности п.
Ядро К(М, ® предполагается вещественным. Функция К*(М, О) =КЯ, М) называется союзным ядром, а интегральное уравнение с союзным ядром и (М) = Л ') К (Я, М) о (О) с(т + д (М) (7,2) и называется союзным интегральным уравнением. В дальнейшем предполагается, что ядро К(М, Я) либо непрерывно яо совокупности аргументов, либо полярно, т. е. представимо в виде К(М О)= "(м')) ймо где а<п и функция Н(М, О) непрерывна. Если а(п/2, то ядро называется слабо полярным. Число Х называется собственным значением ядра К(М, Я), если существует нетривиальное решение однородного уравнения и (М) )~ ~ К(М Еп(ЕЬ . (7.3) *> Смл В в с илье на А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения.
Изл-во МГУ, 1989'.' 182 Нетривиальное решение уравнения (7.3) называется собственной функцией, соответствующей данному собственному значению Х. Вещественное, симметричное, непрерывное или полярное ядро, отличное от тождественного нуля, имеет по крайней мере хотя бы одно собственное значение. Множество собственных значений не более чем счетно и не имеет конечных точек сгущения. Если число собственных значений конечно, то ядро К(М, сг) является вырожденным.
Рангом собственного значения называется максимальное число линейно независимых собственных функций, соответствующих этому собственному значению. Ранг собственного значения конечен. Вопросы разрешимости неоднородного интегрального уравнения решаются теоремами Фредгольма. Первая теорема Фредгольма.
Если )с не является собственным значением ядра К(М, ® (т. е. однородное уравнение (7.о) имеет только тривиальное решение), то неоднородное уравнение (7.1) и союзное ему уравнение ('7.2) имеют и при этом единственньсе решения при любьсх непрерывньсх правьсх частях. Вторая теорема Фредгольма, Если)с является собственным значением ядра К1М, с С), то оно будет и собственным значением союзного ядра, и ранги их одинаковы.
Т р е т ь я т е о р е м а Ф р е д г о л ь м а. Если Х является собственным значением ядра К(М, Щ, то неоднородное уравне.ние (7.1) либо не имеет решения, либо решение его существует, но неединственио. Для разрешимости уравнения (7.1) необходимо и достаточно, чтобы правая часть ) (М) уравнения была ортогональна всем собттвенньсм функциям союзного ядра, соответствующим данному значению )с.
Заметим, что теоремы Фредгольма справедливы и в том случае, если интегральное уравнение рассматривать в пространстве Ет(11)- Напомним енсе теорему Гильберта — Шмидта, справедливую для случая непрерывного или слабо полярного ядра. Теорема Г ил ьбер та — Шмидта. Функция 1(М), истокообразно представимая при помощи ядра К(М, 1г), т. е. представимая в виде разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся в О ряд по собственным функциям данного ядра. Л о к а з а т е л ь с т в о приведенных выше теорем можно найти в руководстве по теории интегральных уравнений* >.
' См., например: В а с и лье в а А. Б., Тихонов Н. А Интегральные уравнения. Ивд-во МГУ, 1989; В л а д и м и р о в В. С, Уравнения математической финики. Мл Наука, 1988. 183 2. Интегральное уравнение для внутренней задачи Дирихле Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле пи=.О в О, (7. 4) Будем считать, что 5 — поверхность Ляпунова, а функция Г(Р) непрерывна на 5. Решение задачи (7.4) будем искать в виде потенциала двойного слоя: и (М) =- — ~ т (Р) г(5р, дл и р (7.5) и(М) =1(Ро) Ро е= 5 ров з причем точка Ме-=0 стремится к граничной точке Р поверхности 5 изнутри области гУ.
При этом, чтобы получить решение, непрерывное в замкнутой области 1У, необходимо в качестве граничных значений искомого решения на поверхности 5 принять предельные значения и;(Р,) потенциала двойного слоя (7.5) изнутри области. Из условия (7.6), учитывая свойства потенциала двойного слоя (см. формулу (6.15)), получаем — ~. т(Р) ~(5р+2пт(Ро) =-1(Ро) Рос-=5 П 7) длр Ррр 3 (7.6) Перепишем (7.7) в виде (Р,) — Х т (Р) <(5р =- 1(Ро) Ро е=- 5. (7.8) 2л т дл йрр 2л 3 р Рро Соотношение (7.8) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода с полярным ядром относительно неизвестной плотности т(Р), причем в силу оценки (6.9), полученной в предыдущем параграфе, для ядра уравнения (7.8) имеет место оценка (К(Р, Р)( <, б) О, РР~ обеспечивающая сходимость интеграла. 184 где по-прежнему ядро интегрального представления (7.5) является производной фундаментального решения по внешней нормали пр к поверхности 5.
При любой непрерывной плотности т функция (7.5) удовлетворяет уравнению Лапласа всюду в О. Плотность т(Р) определим так, чтобы на поверхности 5 функция (7.5) непрерывно примыкала к граничному условию Если сушествует решение м(Р) уравнения (7.8), то, подставляя его в формулу (7.6), получим классическое решение внутренней задачи Дирихле. Таким образом, вопрос о разрешимости внутренней задачи Дирихле (7.4) сводится к вопросу о разрешимости интегрального уравнения (7.8). Покажем, что уравнение (7.8) имеет и прн этом единственное решение при любой непрерывной функции ). Для уравнений Фредгольма с полярным ядром справедлива теория Фредгольма.
Поэтому, согласно первой теореме Фредгольма, для доказательства однозначной разрешимости уравнения (7.8) достаточно показать, что однородное уравнение (' 0) ~1т(' ) 1~ЯР 1 . д 1 2п длр !барр 5 Р Рре (7.9) имеет только тривиальное решение. Согласно второй теореме Фредгольма исходное и союзное интегральное уравнение р (Ро) — — 1~ р(Р) г(ЯР =0 (7 10) 2п дрр йрр ) (М)=~р,(Р) ~МР (7.11) Функция У(М) является гармонической функцией как в Т1ь так и в О, и равномерно стремится к нулю в бесконечности. Вычислим предельное значение нормальной производной функции г'(М) на Я.
Согласно (6.22) ( — ) =~1Рр(Р) д1' д ! 2про (Ро) Ро е=- Я. дле,) е дар Ррр 5 Поскольку рс(Р) есть решение уравнения (7,!0), ( ) =ОнаЯ. Таким образом, функция )г(М) является решением внешней од- нородной задачи Неймана Л$'=0 в О, 1Вз имеют одни и те же собственные значения, и ранги их одинаковы. В данном случае легче исследовать уравнение (7.!0). Покажем, что уравнение (7.!0) имеет только тривиальное решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
