Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Его можно записать в виде 191 Следовательно, ранг собственного значения Х= 1 равен единице. Собственную функцию ца(Р) уравнения (7.25) нормируем. так, чтобы а ~ рч (Р), = ~ р, (Р) ) (Р) й5„. %ее Поскольку О е=- О, то в силу (7.27) Поэтому = ~ р (Р) ! (Р) д5ю (7.32) Теперь будем считать, что постоянная а определена соотношением (7.32). Тогда условие разрешимости (7.20) выполняется автоматически. Уравнение (7.23) разрешимо прн любой непрерывной функции 1(Р), но решение его неединственно и имеет вид Так как при М ~ О, д ! дяр й р из (7.34) получаем — д ! Я и (М) = — ~> ч (Р) — дЗр + дя й пмо 5 Величина а определяется соотношением (7.32). Таким образом, внешняя задача Дирихле при любой непрерывной функции имеет единственное классическое решение.
Проведенные рассуждения показывают, что справедливы следующие теоремы. Т е о р е м а 5.14. Внешняя задача Дирихле (7.21) имеет классическое решение при любой непрерь!вной функции 1. Теорем а 5,15. Внутренняя задача Неймана (7.17) имеет классическое решение при любой непрерывной функции удовлетворяю!цей условию (7.20) . 3 а м е ч а н и е. В этом параграфе изложен метод интегральных уравнений для краевых задач для уравнения Лапласа. Краевая задача для уравнения Пуассона рассматривается аналогично. !92 ч(Р) =ч(Р)+С, (7.33) где ч(Р) — некоторое решение уравнения (7.23), С вЂ” произвольная постоянная. Подставляя (7.33) в (7.22), получим решение внешней задачи Дирихле и (М) = — (~ у (Р) — — й5 — С;1; — дар+, (7.34) дп !. 'т' дпр ймр ' нмо ' Для примера рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Пуассона Ьи= — Рв0, и(а=7" (Р)~з.
Пусть У(М) — объемный потенциал с плотностью Р(Я): р (М) = — ~ ""'а. с Р (О) о (7.35) Вместо и(М) введем новую неизвестную функцию У(М) соот- ношением и (М) =(У(М)+У(М). Тогда из (7.35), учитывая свойства объемного потенциала, получаем краевую задачу для функции У(М): Ли=6 в О, (71 з =Р(РИ з, где (7.36) 1(Р) =1(~ ) г (~ )(Рез. У за«. ап Таким образом, задача (7.35) сведена к краевой задаче (7.36) для уравнения Лапласа, которая подробно рассмотрена ранее.
Аналогичным образом и другие краевые задачи для уравнения Пуассона сводятся к соответствующим краевым задачам для уравнения Лапласа. Глава )г7 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Уравнения в частных производных второго порядка параболического типа наиболее часто встречаются при рассмотрении процессов тепло- и массопереноса. В то же время при определенных условиях уравнения параболического типа используются для описания электромагнитных и других волновых процессов (приближение параболического уравнения).
В настоящей главе изучаются основные свойства уравнения параболического типа, для которого ставятся начально-краевая задача и задача Коши. $1. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ф 2 гл. 1 было получено уравнение теплопроводности и поставлена начально-краевая задача, описывающая процесс распространения тепла в области Р, Уравнение теплопроводности является типичным уравнением параболического типа.
Введем следующие определения. Назовем (и+1)-мерным открытым цилиндром Ог область вида От=Р Х (О Т1=((М 1):М~Р "'~(0* Т]). Область (1.!) (1.2) (1.3) 194 О =Р х [О, Т[=((М, 1): Ме Р, ге [О, Т[) назовем замкнутым (и+ 1) -мерным цилиндром, Р=РР5. Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности в случае трех пространственных переменных ставится следую- щим образом: р (М) и, = 6 19 (lг (М) ягаб и) + ! (М, 1), (М, 1) ~ О, и(М, 0) =~р(М), М а=Р, а(Р) — "+р(Р)и=И(Р, г) Р~ о, 14= [О, о), ди где р(М) =р(М)с(М) >О, р(М) — плотность, с(М) — удельная теп- лоемкость, й (М) > Π— коэффициент теплопроводностн, а (Р) > О, р (Р) > О, причем а (Р) + [) (Р) > О. Напомним (см. гл, 1), что задача (1.!) — (1.3) описывает не только процессы распространения тепла, но и явления диффузии, а также процессы распространения волн в приближении параболического уравнения и ряд других физических процессов.
Определение. Классическим решением начально-краевой задачи (1.1) — (!.3) называется функция и(М,1), непрерывная вместе с первыми производными по координатам в замкнутом цилиндре с1, имеющая непрерывные производные первого порядка по ! и второго порядка по М в открытом цилиндре Я, удовлетворяющая в Я уравнению (1.1), начальному условию (1.2) и граничному условию (1.3). Необходимым условием существования классического решения начально-краевой задачи (!.1) — (1.3) является условие согласования начального (1.2) и граничного (1.3) условий: а(Р) в +р(Р)~р(Р)=р(Р, 0), Ра= Я. В дальнейшем будут приведены достаточные условия гладкости коэффициентов уравнения и функций 1(М, 1), ~р(М), р(Р, !), при которых существует классическое решение задачи (1.1) — (!.3).
5 2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА Докажем следующее важное свойство классического решения уравнения теплопроводности. Т е о р е м а б.1 (принцип максимума). Решение однородного уравнения теплопроводности ри, = бк (й агаб и), (2. 1) непрерывное в замкнутом цилиндре 17т=хтХ[ОТ~, во внутренних точках этого цилиндра не может принимать значений больших, чем максимальное из начального и граничного значений. До к а з а т ел ь с т в о.
Нам нужно доказать, что если и(М, 0), и(Р, 1) М=тах Ма=0 Ре=Я, 1 е [О, Т) ' то и(М, !)( Ю, (М, !) ен!ч' . Доказательство будем вести методсм от противного. Пусть в некоторой внутренней точке цилиндра (М„1ь) ~ Ят функция и (М, 1) достигает своего максимального значения, большего ьй: и (М„ 4ь) ) Ю. Таким образом, и(М„Гь) =а+в, ГдЕ Е) О. Введем вспомогательную функцию 199 о(М, ()=и(М, гн-а(1,— 1), (2.2) где а)0 — постоянное число, которое мы определим в дальнейшем. Очевидно, о(М,, 1,)= 2+е и гпах ' ' ' ~(аЖ+аТ(с4+ —, (2.3) 1о(М, 0), о(Р, 1) 8 (М е 0 Р е= 5, 1 е (О, Т1 ) 2 ' если выбрать а так, чтобы аТ ( —.
е 2 Так как функция о(М, 1) непрерывна в замкнутом цилиндре Йт, то она должна в некоторой точке (М„1,) ~<7т достигать своего максимального значения. Очевидно, что о (М1 11) ~~" (Мо ~о) = ьК + е откуда следует, что точка (М|„11) — внутренняя точка цилиндра От, поскольку в силу (2.3) на границе цилиндра (гт (т. е. на границе области й и в начальный момент) максимальное значение функции о(М,1) не превосходит величины ь4ь+ —. 2 Итак, (М,, 1,) е(гт, т.
е. М,е11, 1, е(0, Т). Поскольку в точке (Мь1,) функция о(М,1) достигает своего максимального значения, то в этой точке выполняются условия максимума угасло(М„1,)=0, — (М,, 1,))0, Ьо(Мь 1,)(0. (2.4) д1 Заметим, что в формуле (2.4) при 1,(Т вЂ” (М,, 1,)=0, а при дв .дг 1,=Т вЂ” "' (М„1,))0. дг Из формул (2,2) и (2.4) следует, что ягади(Мь 1,)=0, — (Мь 1,))а) О, д1 (2.5) Ли(Мь 1,) (О.
Функция и(М,1) является решением уравнения (2.1), которое можно записать в следующем виде: ри = йаи+ дгаб й йгад и. (2. 6) Сравнивая (2.5) и (2.6) и учитывая, что по условию р(М) >О, й(М)>0, приходим к выводу, что в точке (Мь1,) уравнение (2.6) не выполняется. Полученное противоречие доказывает теорему. Следствия. 1) Для уравнения параболического типа имеет место прин. цип минимума. Теорема 62 (принцип минимума).
Решение однородного уравнения теплопроводности (2.1), непрерывное в замкнутом 196 цилиндре От, во внутренних точках этого цилиндра не может принимать значений меньших, чем минимальное из начального и граничного значений. Эта теорема сразу следует из доказанного принципа максимума, если учесть, что функция й(М, 1)= — и(М, 1) имеет максимальное значение там, где функция и(М,1) имеет минимальное значение, Из принципа максимума и минимума следует двухсторонняя оценка: гп(п ~ ' ' ' <и(М, Г)< 1и(М, 0), и(Р, 1) (Ма=0 РеЯ, Ге(0, Т) и(М, Г), и(Р, !) < гпах ( Ме0 Ре5, Ге=[0, Т) 2) Принцип сравнения 1. Теорема 6.3.
Если два решения уравнения теплопроводности (1.1), непрерывные в замкнутом цилиндре (гт, удовлетворяют условиям и,(М, 0) >и,(М, 0), Меп 0 (2.7) и (Р, Г)>и (Р, Г), Ре 8, .'~(0, Т), (2.8) иэ (М, Г) > иь (М, 1), (М, г) я 0т. (2.9) пго о(М, 0)>0, М~ ь, о (Р Г) > О, Р е 5, г е= (О, Т), применяя к функции о(М, 1) принцип минимума, получим о(М, Г)>0 (М, 1)еп "чт, откуда следует (2.9). 3) Принцип сравнения 2.
Т е о р е м а 6.4 Если два решения уравнения теплопровод- ности (1,1), непрерывные в замкнутом цилиндре Ят, удовлет- воряют условиям (и (М, О) — и,(М, О)( <е, Ме О, (ит(Р, () — и,(Р, г)! <г, РеЯ, 1е:-(О Т), 197 Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию о=и,— иь В силу линейности уравнения теплопроводности функция о удовлетворяет однородному уравнению (2.1), причем как классическое решение этого уравнения функция о(М,1) непрерывна в замкнутом цилиндре 0т.
Так как из условий (2.7) и (2.8) следует, что гпо (ит(М, !) — и,(М, !)! <е, (М, !) «= 1гт. Доказательство. Рассмотрим функции г,(М, Г) = — е, иа(М, Г) =и,(М, г) — и,(М, Г), гз(М, !)=е. Эти функции удовлетворяют однородному уравнению теплопроводности (2.1) и непрерывны в замкнутом цилиндре 5т. Применяя принцип сравнения ! к функциям и, и из и к функциям оз и оз, получим (2.10) и!(М' )~~па(М )~~па(М ) (М )« — 'чтч откуда следует (2.10). Заметим, что доказанный принцип максимума не противоречит существованию классического решения уравнения теплопроводности (2.1), равного постоянной. Физически принцип максимума для уравнения (2.1) означает отсутствие флуктуаций: температура тела во внутренней точке не может стать большей, чем температура тела в начальный момент или на границе тела при отсутствии источников (!(М) — = 0). Принцип максимума выполняется и для общего уравнения параболического типа, описывающего самые различные физические явления, а не только процессы распространения тепла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
