Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если же можно так выбрать функцию пс(М, 1), чтобы она удовлетворяла не только условию (6.13), но и однородному уравнению (6.11), то в этом случае г(М, 1) =0 и задача (6.11)— (6.13) сводится к задаче для однородного уравнения с неоднородными начальными условиями. й 7.
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕНЛОПРОВОДНОСТИ Перейдем к изучению начальной задачи для уравнения теплопроводностн в неограниченной области. Начнем с одномерного случая. 1. Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой Рассмотрим задачу Коши в одномерном случае на бесконечной прямой Йс для уравнения теплопроводности с 210 постоянными коэффициентами.
Введем обозначения: й=)2'Х Х (О, Т] и й=)с'Х[0, Т]. Задача Коши имеет вид и,=а2и„+7(х, 1), (х, 1)~ й, (7.1) и(х, 0)=<р(х), хан й'. (7.2) Дадим определение классического решения задачи (7.1), (7.2) . Определение. Классическим решением задачи (7.!), (7.2) называется функция и(х, 1), определенная и непрерывная вместе со вторыми производными по х и первыми производными по 1 в области й, удовлетворяющая уравнению (7.1) в этой области, непрерывная по 1 в области й и удовлетворяющая начальному условию (7.2).
2. Теорема единственности Теорема 6.8. Задача (7.1), (7.2) может иметь только одно классическое решение, ограниченное в области й. Дока з а тел ь ство. Предположим противное. Пусть и,(х,1) и и2(х, 1) — два классических ограниченных решения задачи (7.1), (7.2). Функции и, и и2 непрерывны и ограничены в области Й: ~и2( (М, й=1,2. Рассмотрим функцию в(х, 1), равную разности этих функций: в (х, 1) = и, (х, 1) — и2(х, 1). (7.3) Функция в(х, 1) непрерывна в области й, ограничена /в(х, 1) ) с (2М, удовлетворяет в области й однородному уравнению теплопроводности и однородному начальному условию и(х, 0) =О.
Однако применить к функции о(х,1) принцип максимума, подобно тому как это было сделано в $3, нельзя, поскольку в неограниченной по х области функция о(х,1) может нигде не принимать максимального значения. Чтобы воспользоваться принципом максимума, рассмотрим ограниченную по х область )х] <Е, где 7.)0 — вспомогательное число, которое будем затем неограниченно увеличивать. Обозначим й, =[ — Е, Е]х[0, Т] и й, = [ — 1„0]х(0, Т]. 211 Введем вспомогательную функцию (ее обычно называют барьером) в(х, 1)= — — +аз( . 4М !хз 1з (,2 Функция в(х,() непрерывна в области Йь и удовлетворяет в области ьйх однородному уравнению теплопроводности (что проверяется непосредственно). Кроме того, функции и(х,1) и в(х, 1) связаны следующими неравенствами: в(х, О) >!с (х, 0)/ =О, (7 4) в(4-1, 1)) 2М н)о(~Е, 1)!.
(7.5) В ограниченной области ь)х уже справедлив принцип максимума. Применяя принцип сравнения 1 к функциям — в(х,г), п(х, () и к функциям о(х,(), в(х,(), с учетом (7.4) и (7.5) получим — — ( — +аз() (о(х, !)( — ( — +аз(), (7.6) Зафиксируем точку (х,()яйх и перейдем в формуле (7.6) к ПРЕДЕЛУ ПРИ 1'.- о.
ТОГДа ПО ИЗВЕСтНОй ТЕОРЕМЕ аиаЛИЗа "> ПО- лучим !пп о(х, 1)=0. Отсюда в силу независимости функции о(х,() от Е и в силу произвольности точки (х, 1) получаем, что всюду в области Й функция о(х, 1) = — О. Поэтому всюду в области Й и,=им т. е. решение единственно. ° 3. Фундаментальное решение.
Интеграл Пуассона Для решения задачи (7.1), (7.2) применим метод разделения переменных. Сначала найдем нетривиальное ограниченное решение в(х, 1) однородного уравнения и,=а'и (7.7) представимое в виде произведения в (х, 1) = Х (х) Т (1) ~ О, Подставляя в(х,() в (7.7), получим Х" (х) т' (1) — = — )., Х (х) азг (1) *~ Смх Ильи н В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 1. Мх Наука, 1982. 212 Х" (х)+ЛХ(х)=0, х сии', (Х (х) (( М, где М)0 — некоторая постоянная.
Общее решение уравнения (7.8) имеет вид 7 (!) =Ае--агег (7.9) (7.10) где А — некоторая постоянная, и из ограниченности решения следует )хеЛ) О, а общее решение задачи (7.9), (7.10) записывается в виде Х(х)=С,е' г'""+С,е '" ", где С, и Ср — некоторые постоянные и 1шЛ=О. Отсюда следует, что Л вЂ” вещественное и Л) О. Положим для удобства Л=йз и предположим, что параметр й меняется непрерывным образом от — оо до +со: ее='11'. Тогда ограниченные решения задачи (7.9), (7.10) имеют вид емк ь~ р1 Отметим, что спектр задачи (7.9), (7.10) непрерывный.
Из уравнения (7.8) получим т(г) =с(й) и, окончательно, функция ш(х,() представима в виде ш (х 1) С (ь) е — амч+мк Построим теперь решение задачи Коши (7.7), (7.2) как супер- позицию частных ограниченных решений ге(х, 1) уравнения (7.7). При этом, поскольку параметр й меняется непрерывным образом, вместо суммы нужно взять интеграл и(х, Г)= ~ С(й)е — аь ~+юхеУг (7. 11) Если этот несобственный интеграл, зависящий от параметров х и г, сходится при (х, 1)еий к непрерывной функции и(х, Г) и существуют ее частные производные, входящие в уравнение (7.?), которые можно вычислить путем дифференцирования под знаком интеграла (7.11), то функция и(х, 1), представимая в виде интеграла (?.!1), удовлетворяет уравнению (7.7).
Чтобы функция и(х, 1) (7.11) удовлетворяла начальному условию (7.2), должно выполняться соотношение где Л вЂ” параметр разделения. Отсюда для функции Т (1) получим уравнение Т'+ аеЛТ = О, (7.8) а для функции Х(х) — следующую задачу на собственные значения: >р(х) = 1 С(/г) е>"'>1>т, из которого определяется функция С(й).
Это соотношение, очевидно, представляет собой разложение заданной функции гр(х) в интеграл Фурье. Используя формулу обратного преобразования Фурье*>, по- лучим С(/г) = — ~ >р(9) е — гаЩ 2л (7.12) Подставим формулу (7.12) в (7.11) и поменяем порядок интег- рирования. В результате получим и(х, г)= ~ ~ ~ е "а'+'а<' ч>Ы~ гр(9)с(9.
(7.13) , 2л Вычислим интеграл в правой части формулы (7.!4). Рассмотрим интеграл 7(и) = ) е "*а*+гав>()г. Продифференцируем интеграл 7(р) по параметру р и проинтег- рируем по частям: — ( >не — и'и'+>аа е(Ь = — ~ егьа г(е — *а' = Е(> .) 2аз Ю вЂ” е>аа — че ~ + ' ( гре — а+>аа с(>т Р 7(р) 2аз ) 2аз ,) 2аз В результате для функции ! (б) получается дифференциальное уравнение первого порядка — + — 7=0, гф 2>зз общее решение которого имеет вид *' См: Ильин В. А., Повии к Э. Г. Основы математического анализа Ч 2 2-е изд.
М: Наука, >980 214 Обозначим внутренний интеграл в правой части формулы (7.13) следующим образом; 6(х, $, 1) = — ( е — в*а*>+>вы — 1> гй. (7. 14) 2л,) аз 7(р)=Се Определим"'постоянную С из соотношения С=7 (О) = ~ е ""л*Ы= — ( е — '*4(г= —" Сл а и окончательно получим а* 7 (ИИ) ~ Š— ач-.+ИЗ,14 Р " 4о' (7. 15) м — Ыч 6(х, $, 1)= е 4ч (7.16) 2а ')/Ы Определение. Функцию 6(х,й, 1), определяемую формулой (7.15), будем называть фундаментальным решением уравнения теплопроводности в одномерном случае.
Из формулы (7.13) вытекает, что формальное решение задачи Коши (7.7), (7.2), (7.3) представляется формулой и(х, 1) = ) 6(х, $, 1)лр(с)слй. (7. 17) Представление решения задачи Коши в виде интеграла (7.17) обычно называют интегралом Пуассона. 4. Свойства фундаментального решения 1) Из формулы (7.1б) следует, что функция 6(х, $, 1) определена при 1>0 и положительна: 6 (х, 9, 1) > О. 2) Непосредственной проверкой легко установить, что функция 6(х,9,1) по переменным х и 1 удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности при 1>0: 6,(х, $, 1)=аз6„„(х, $, 1), (х, 1) е 11, $ я 1т'.
3) Известно, что разложение дельта-функции в интеграл Фурье имеет вид "> 6(х, $) = — 1 е'лм — мсУг. 2п .) '~ Смн В л а д и м и р о в В. С Уравнения математической физики. 4-е изд. Мк Наука, 198!. 215 Сравнивая формулы (7. 14) и (7. 15) и полагая а = а '1/г„р = х — $, ИЛ4ЕЕМ Поэтому из формулы (7.14) следует, что 6(х, $, О) =6(х, Ц. Это позволяет дать следующее определение фундаментального решения.
Оп р ед елен и е. Фундаментальным решением 6(х, 9,1) уравнения теплопроводности в одномерном случае называется решение задачи Коши 6,е аа6х„(х, 1) ен 11, $ен К', 6(х, еь, О) =6(х, й), х ~ К', $.:-К', непрерывное всюду в области Й, за исключением точки (9, О) (т. е. х=й, 1=0). Из этого определения следует, что функция 6(х, 9,1) является регулярной обобщенной функцией м. 4) Из формулы (7.17) следует, что функция 6(х, $, 1) с физической точки зрения представляет собой температуру в точке х в момент времени 1, если в начальный момент 1=0 в точке $ мгновенно выделяется некоторое количество тепла д>0. Проинтегрировав функцию 6(х,$,1) по х от †до оо, используя замену х — к а= 2о ')/1 получим '1 6 (х, $, 1) дх = 1.
(7.18У Физический смысл формулы (7.18) заключается в том, что количество тепла, находящегося на бесконечной прямой х~К' в последующие моменты времени 1>0, не изменяется с течением времени, Действительно, количество тепла, находящееся в момент 1>0 на оси хенК', равно д=ср 1 6(х, $, 1)с1х=ср=р, где с=-сопз1 — удельная теплоемкость, р=сопз1 — линейная плотность бесконечной прямой. Точечный источник, находящийся в точке и, в начальный момент 1=0 выделяет количество тепла д=ср=р. Изобразим график функции 6(х, $,1) для различных значений 1 (рис.
6.1). Величина площади фигуры, расположенной между кривой и осью х, умноженная на ср=р, равна количе- "1 См: В л а л и м и р о а В. С, Уравнения математической физики Мл Наука, 1988. 216 ству тепла, подведенному к бесконечной прямой в начальный момент. Для малых значений 1)0 почти все тепло сосредоточено в малой окрестности точки $. В начальный момент времени 1=0 все количество тепла сосредоточено в точке с. В точке Е(х, Т, 1) х=с получаем 6,$, )— Таким образом, температура в точке $, где в начальный момент происходит мгновенное выделение тепла (действует мгновенный точечный источник), для малых 1 неограниченно велика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
