Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В результате получается выражение для функции Грина третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой: 6 (х, $, т)=6(х, $, т)+6(х, — $, т)— — 26 ') 6(х„— $ — гь г)е — "ча(т), а нли с учетом формулы (7.1б) о+ен — '"+ + ' — ач ба(х, 6, г)= т(е т'ч +е ""' — 2й~е " ' а(ч(. 2а ')г ти а Функцию Грина 6,(х, 6, т) можно записать также в следующем виде: ба(х, $, Г) =-6(х, $, 1)+6(х, — $, 1) — 2)т ~ 6(х, т1, ()е"и+а~тат). Последняя формула имеет наглядный физический смысл: для удовлетворения граничному условию третьего рода нужно поместить в точку х= — $ симметричный источник и добавить распределенные на отрицательной части действительной оси от — оо до — 6 непрерывно распределенные источники, мощность которых экспоненциально стремится к нулю при и — ао. С помощью построенной функции Грина ба(х, 5, ~) решение третьей начально-краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями треть.его рода: ит=ати„,+7(х, 1), (х, 1) ент)Е, и(х, 0)=ар(х), ха— : тх и„(0, 1) — тти(0, г)=0, Ге= [О, Т) 236 может быть записано в виде и (х, 1) = ~ 6, (х, $, г) ф ($) Ы$+ '! ~ Оа (х, й, 1 — т) 7' ($, т) с($ с(т.
о о о 3. Краевой режим где С)0 — некоторая постоянная. Решение задачи (11.31) — (11.34) можно получить, используя интегральное преобразование Фурье с ядром з!пях. Мы используем для решения задачи метод преобразования Лапласа *1. Пусть для функции !х(1) и решения и(х, !) задачи (11.31)— (11.34) выполнены условия существования преобразования Лапласа. Рассмотрим преобразование Лапласа по переменной от функции и(х,(), обозначив ее изображение через У(х, р): У (х, р) = ~ е — а'и (х, 7) с0.
(11.35) Для классического решения выполнены условия дифференци- рования под знаком интеграла (11.35). Поэтому получим Э У„(х, р) =~ е — Ыи„(х, 1)с(С о Изображение функции 1х(1) обозначим через йе'(р): р(1) + ау(р). Используя теорему об изображении производной и учитывая начальное условие (11.33), получим и, (х, 1) '=, рУ (х, р) — и (х, 0) = рУ (х, р). Таким образом, в пространстве изображений (11.31)— (11.34) соответствует следующая краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения: *~ См; Свешников А. Г., Тихонов А.
Н Теории функций комплексной переменной Мх Наука, 1979. 237 Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности с однородным начальным условием и неоднородным граничным условием Дирихле: и,=ааи„„, (х, 1) ~11+, (11.31) и (х, 0) = О, х ен 1!+, (11. 32) и(0, 1)=!х(7), 1)0, (х(0)=0, (11.33) (и(х, 1)((С, (х, 1)енаа+, (11.34) ю'(0, 1)=1, т>0, ! Ю (х, 1) ! ( М, (х, !) бх й+.
Заметим, что, поскольку в задаче для определения функции Яг не выполнены условия согласования начального и граничного условий, эта функция не является классическим решением: в окрестности точки х=0, 1=0 она не обладает свойством непрерывности по совокупности переменных х, б Введем функцию о(х, !)=1 — Р7(х, 1), Очевидно, эта функция может быть определена как не классическое решение начально- краевой задачи: о, =а'о„„(х, Г) ен(1+, о(х, 0)=1, х~ й+, о(0, 1)=-О, Г~)0, (о(х, !)!(М, (х, 1) енйч, Сделав в первом интеграле в правой части формулы (11.41) замену г=, а во втором — замену г=, после преоб- $ — х 3+х 2а ~/Г 2 У7' разований получим Х ъа'т о (х, г) = —, ~ е '*е(г.
2 у'я о Отсюда Ю )Р'(х, !)=! — о(х, !)== ~ е — "йг 2 ~/л 2ат! к* — Ж'(х, ~) = — е 2 р'„— ~з~г (1! .43) Из фврмул (!1.40) и (11.43) окончательно получим формулу, выражающую решение начально-краевой задачи (11.31)— (11.34): Решение этой задачи выписывается через функцию Грина по формуле (11.21): ю (к-$)' ю (х-ям о(х, !)= ~е "' еф — ~е "' ~$. (11.42) о о А х ( апач~ — и Р (т) 24ря,) )зд о Изложенный прием построения начально-краевой задачи с неоднородным граничным условием в виде интеграла Дюамеля (11.41) является частным случаем общего метода решения данного класса линейных начально-краевых задач, известного под названием принципа Дюамеля.
4. Неоднородное граничное условие второго рода Кратко остановимся на начально-краевой задаче для однородного уравнения теплопроводности иа полубесконечной прямой с неоднородным граничным условием второго рода и, =а'и„„(х, 1) еи й<ь, и (х, 0) = О, х е= 114, Построим решение данной задачи, исходя из физических соображений, а затем проверим удовлетворение его требуемым условиям. Граничное условие означает, что задан поток тепла, втекающего в стержень через сечение х=О„причем плотность потока в силу закона Ньютона определяется выражением — Фи,(0, г) = — ит(Г), где А — коэффициент теплопроводности, связанный с коэффициентом темнературопроводности а' соотношением й=а'р.
Поэтому в силу принципа суперпозиции, воспользовавшись выражением (11.27) для функции Грина 02(х,~,г) полуограниченного стержня при 5=0, можно записать решение поставленной задачи в виде и(х, 1)= — а'~б,(х, О, ~ — т)ч(т)дт= о а р ы*и — > ч (т)1 = —,~е Йт. о Очевидно, что это выражение удовлетворяет в области й+ однородному уравнению и нулевым начальным условиям. Проверим выполнение граничного условия: и х Г 4аи М ч(т) 2а У'я Н вЂ” т) о 240 и,(х, г)=- — ~ е Рч (~ — — ) е$. х ы~з откуда, переходя к пределу при х-+-О, находим 1пн и„(х, 1) = = ~ е -Ри Я й е у (1).
2 о к а " ' '1"1 На строгом обосновании проведенных здесь формальных рассмотрений останавливаться не будем. й 12. ФОРМУЛА ГРИНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ При изучении уравнения Лапласа широко использовались формулы Грина. В частности, при выводе представлений решения краевых задач через соответствующую функцию Грина мы опирались на третью формулу Грина. В этом параграфе показано, что аналогичные идеи можно применять и при изучении уравнения тенлопроводности, и единообразным методом получены формулы, представляющие решения начально-краевых задач для уравнения теплопроводности через соответствующие функции Грина.
Выведем для уравнения теплопроводности формулу, аналоичную третьей формуле Грина. Для вывода используем форальный метод, указанный в конце п. 1 5 1 гл. Ъ'. Прежде всего заметим, что фундаментальное решение уравния теплопроводности О ' ' ~(2аУ~ — тз О, 1<т . переменным 1,1 и т удовлетворяет уравнению — '— ' = а' Аф, + б (М, Я) 6 (à — т). Пусть и(Я, т) — решение неоднородного уравнения —" =~'А~+/(Р, ), %, ) 11 дт (12.1) (12. 2) Умножим (12.1) на иЯ,т), (!2.2) на 64(М, 1'1, 1 — т), вычтем одно из другого и проинтегрируем по области й и по т от О до аа: 241 Сделав в данном интеграле замену переменной интегрирования х Й$3л пол) чим 2а у'~ — т' 4а Π— т) Л ~ ~бо — +и — '~ с()го(т=ао д! д! (бойи — и дсбо) с()со(т+ ди д0в до дт оп о о с + ~ ~ б / с()' сот — и (М, г) .
н О (12.4) Поскольку ~ ~бо — +и — '~ о(т=~ — (бои)о(т= =бо(М Р ! — т)и(Я т)!~=-о= — бо(М, Я, Г)и(Я, О) (учтено, это б,(М, Ю, ! — т)1,,=0), из (12.4) имеем и(М, Г) =~бо(М, Я, Г) и(Я, 0)с(!'а+ о +а ')~))бо(М () à — т) — —" — бо(М 4~ ! — т)~ "зео(т+ ди д до дсса о з ! +~~б,(М, (), à — ))((), )Лг, (. (12.5) о о Формула (12.5) аналогична третьей формуле Грина для оператора Лапласа. Будем называть ее формулой Грина для уравнения теплопроводности.
Покажем, что, используя (12.5), можно, аналогично тому как это сделано для уравнения Лапласа, ввести функцию Грина для уравнения теплопроводности и получить интегральное представление решения начально-краевой задачи. Пусть о(1;1,т) — решение однородного уравнения дс — =аорто, Ме0, т<Г, дт (12.6) удовлетворяющее условию и 1,=с=0. 242 +~~(б,~ — 5(М, ®5(à —.))Л (.. (!2.3) о о Используя вторую формулу Грина, свойства 6-функции и учитывая, что б, = 0 при т ) с, из (12. 3) получаем ~~ ~бо — +и — '~ о('всс!т=ао ~ф (бо — — и — '~ оЬо(т+ о о н 3 Заметим, что функция и прн этом будет зависеть только от разности 1 — т: о=п(Я, 1 — т), н, следовательно, по переменной 1 она удовлетворяет уравнению теплопроводности — "=а'Ло, Я ~Р, 1)т дг 0 = ~п(я, 1)и(Я, 0)~Л/~ — , 'ао~ ~ ~п —" — и — 1с(з~(т-)- до до о о з +К ~(У (.
(! 2.7). о и Складывая (12.5) и (12.7) и вводя обозначение 6(М, а, à — т) =60(М, а ~ — т)+и, получим соотношение и (М, Г) = ~ 6 (М, Я, 1) и ф, 0) с(1'+ и +по~1~1 (6(М, Я, с — т) — — и — 6(М, 1~, с — т)~ с(зс(т-)- до до о з с +~~6(М, Я, 1 — т)7(Я, т)с(Ъ'с(т. (12.8) о о Из формулы (12.8) можно получить интегральные представления решений начально-краевых задач. Для этого функцию и выберем так, чтобы функция 6 удовлетворяла нулевому граничному условию сс — +р6)э=О, !сс)+ !(3)чьО. до дп Тогда для решения начально-краевой задачи с граничным условием Дирихле (а=О, р=1) получаем формулу и (М, () = ~ 6 (М, 6, г) и (с), 0) с()г— — ао~ ф и (Р, т) — (М, Р, à — т)с(хат+ да до, о з 243 и условию п(~=,=0.
Умножим (12.6) на иЯ, т), (12.2) на пЯ,т), вычтем одно. из другого, проинтегрируем по области 0 н по т от 0 до оо и проведем преобразования, аналогичные только что сделанным. Тогда получим з + ~ ~ 6 (М, 6, ! — т) ~ (Я, т) дР г(т. (12. 10) Для решения начально-краевой задачи с граничным условием третьего рода (а=!, р=й(Р)) и (М, 1) = ~ 6 (М, Я, Г) и Я, О) г('т'+ о +а'~$ 6(М, Р, à — т) 1 —" + Ли~ г(зйт+ 1 да +Д6(М, С 1 — )1(Я, т)Л д . (12.! !) Функция Грина 6(М, Я, 1 — т) для всех трех граничных условий определяется единообразно. О п р е д е л е н и е.
Функция 6 (М, Я, 2 — т) называется функцией Грина уравнения теплопроводности, если она удовлетворяет условиям: 1) 6(М, 6, г' — т)= ',е "*" ' +и, (2а ')/0 — т) и) где о удовлетворяет однородному уравнению о,=а'Ло н нулевому начальному условию о)~=,=0; 2) и — +р6(а=0, дб дп )а) + (Р)за 0.
Функция Грина определена при 1)т, при Г(т она доопределяется нулем. Заметим, что при таком подходе функция 6(М, Я, ! — т) вводится и определяется аналогично тому, как это сделано для уравнения Лапласа. Отметим также, что функция 6 является решением следующей начально-краевой задачи: 244 +К6(М, Ю вЂ” )1(Ю )аУ (12.9) о о .Для решения начально-краевой задачи с граничным условием Неймана (а=!, р=0) ,и (М, Г)=~ 6 (М, Я, Г) и(Я, О) г(г'+а4~ $6(М, Р, à — т) —" дз г(т+ да — = ао Лб + 6 (М, Я) 6 (т — т), д~ а — (М, Р, 1 — т)+рб(раз=О, )а)+ )й(ФО, дп дрр 6 (М, Я, / — т) ( ~ ~, = О. Отсюда следует, что в силу единственности решения так определенная функция Грина совпадает с функцией Грина, введенной ранее другим способом. Отдельно выпишем выражения для решения одномерной задачи: и,=а'и„+)", 0<х<1, 1)0, иЬ=о=ср(х), а,и,— ~,и!„=о=рг(Г), !а,(+!(ЦчьО и,и„+()ои)„=~=р,((), (ао! +1Ро~~О. Для задачи Дирихле (а,=а,=О, р,= — 1, ро=1): и (х, Г) = ~ б, (х, $, 1) <р Я) ~$+ ~ ~ б, (х, $, ( — т) 1 Я, т) оф дт— о о — ао ~ (ро(т) ' (х, Е, ( — т) — 1оо(т) — '(х, О, à — т)~ с(т, (!2.12) д$ * д5 о где 6,(х, $, г) — функция Грина задачи Дирихле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
