Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 42
Текст из файла (страница 42)
лп; с«(х, с, !†т) = ~ ' — 51п — 51п — 5!и »о (1 †'»), ам( ли а е=! Можно доказать, что для непрерывной в области 51! функции 1(х, !), удовлетворяющей нулевым начальным и граничным условиям, формула (5.!0) действительно определяет классическое решение задачи (5.1) — (5.3). Определение.
Функция С«(х, $, 1), определяемая фор- мулой 1«(Х $ !) = 7 51П 51П 51П Ие ' % 1 2 . ллх . ллн лла ! е 1 называется функцией Грина, или функцией влияния мгновен- ного точечного импульса на отрезке. Напомним, что для начально-краевой задачи общего вида функция Грина была введена в гл. П1 (см. формулу (5.10)). Рассмотрим теперь, какой физический смысл имеет функ- ция Грина 6(х, $, 1), Пусть положительная функция 1,(х, 1) отлична от нуля в достаточно малой окрестности точки Мо(хо, !о): Го(х, 1) =О, х 4~ [хо — бх, хо+бх], 1~~ [1о — 60 1,+61), (5.!!) 15(х, Г)ФО, хе= [х,— 6.», х,+бх[, .'а=[!о — 65 !о+61], причем для любых 61 и бх «е+и о-!-о« дт '1 !оЯ, т)»Це(т=С, (5. 12) 1,— о! «,— 5« где С>0 — некоторая постоянная, которую мы определим ниже.
'! Смс Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А Г. Дифференциальные уравнении. Мц Наука, 1988. Функция р1а(х, 1) есть плотность внешней силы, приложенной к струне. Поскольку в нашем случае струна является однородной (коэффициент аа постоянен), то линейная плотность струны р также постоянна. Сила, приложенная к участку струны (ха — бх, ха+ бх], равна к,' бк ~бЯ=р ~ 16(9, 1)сгч, «,-бх а импульс 1 этой силы за время 61 представляется формулой гк-~М г,+6! «,тбх 1= З! Гб(т)( =р '~ (т ~ 16(9, т)6;. ! — б! г,— Ы к,— бх (5. 13) Сравнивая формулы (5.12) н (5.13), получаем, что постоянная в формуле (5.12) имеет вид С=— Решение иб(х, 1) задачи (5,1) — (5.3) с правой частью 16(х, 1) записывается через функцию Грина по формуле (5.10): ! иб(», 1)=~ ~С«(Х 9 ! т)Ы т)б(яг(т.
б О г,— б! «.— 6« где Г ен ~х,— бх, х,+бх), т' ен (1,— 61, 1,+61). Перейдем в формуле (5.!5) к пределу при бх- 0 и 61 -О, считая, что величина импульса 1 сохраняется. В результате, учитывая формулу (5,13), получим иа (х, 1) = ! пп иб (х,!) = 0 (х, ха, 1 — уа) — (5.16) бк 06! а й Функция ив(х, 1) описывает процесс колебания ограниченной струны с закрепленными концами, возбужденной мгновенным точечным импульсом мощности 1, приложенным в момент времени 1, в точке ха. Таким образом, из формулы (5.!6) вытекает, что функция Грина б(х, 9, 1) с физической точки зрения означает отклонение точки струны с координатой х в момент времени ! при возбуждении струны в начальный момент времени 1=О мгновенным точечным импульсом мощности 1=р в точке х=хв.
*! Смл Ильин В. А. Поз н я к Э. Г. Основы математического анализа. Ч 1. М: Наука, 1982. 264 Применяя к последней формуле теорему о среднем"', получим !.—;б! «,-б« иб(х, 1)=Сг(х, $', 1 — т*) ! 6(т ~ )6($, т)г(9, (5.15) й 6. ФОРМУЛА ГРИНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ В этом параграфе получим представление решения начально-краевой задачи для уравнения колебаний в ограниченной области через функцию Грина.
Напомним, что функция Грина б(М„ М, 1о †) может быть определена как регулярная обобщенная функция, являющаяся решением следующей начально-краевой задачи (см. 5 5 гл. 111): Рби=7мб+6(М Мо)6(Го Г) М 6= 0, Г >О, (6.1) сс — +~б~ =О, ',а~+ ~~~ ~0, (6.2) дп дл 3 б~...=О, б,~. 6=0, (6.3) где 1л=бгм(й вегас) и) — дш Функция Грина представима в виде ряда где ()с„)," и (со(М)), — собственные значения и ортонормированные собственные функции оператора йл (.п+ йрс' = О, а — + рс ! = О, ( а ( + ) 6( ~ О. дл ~ р (бил — иби) с()~'с(Г = ~ ( (б(.и — и1 б) Л'с(1-(- о Ь о й + ~ ~'(б[ — иб(М, Мо)б(го — 0)с(УФ. о о (6.8) 266 Рассмотрим следующую задачу для уравнения колебаний в ограниченной области: рии=)и+7(М, Е), М АР, г>О, (6.5) а — +Рсс! =Р(п, г)!лез, !а(+(Р! ФО (6.6) дл [и!~=о=<Р(М), ис!с=о=ф(М) ' (6.7) Будем считать, что задача (6.5) — (6.7) имеет решение.
Чтобы выразить это решение через функцию Грина б, используем формальный метод, примененный для уравнения теплопроводности в 5 12 гл. Ъ'1. Умножим уравнение (6.5) на б(М„М, (о — 1), а уравнение (6.1) на и(М, () Вычитая одно соотношение из другого и интегрируя по Менс) и 1~[0, о), получим Учитывая (6.3), преобразуем интеграл, интегрируя по частям: ~ (6(Мо, М, Го — 1)ии — и6и(М„М, ! — «) г(Г= о и = ~ (6ии — п6и) г(1=6(Мо М- !о — ')ие(М, !)!'=и о о=о — и(М, Г)6,(Мо, М, Го — !)!'=и= «=-о = — 6(М„М, Го)и,(М, О)+и(М, 0)6,(М„М, ! ). (6.9) Интеграл в правой части (6.8) преобразуем, используя вторую формулу Грина: ~ ~ (67.и — иь6) г%Й + ~ ~ (16 — иб (М, Ме) б ( ге — Г)) г()ге(! = о и е о и и =~ ~ л ~6 — и — и ' е(зг(Г+~ ~~6<1*ег(à — и (М, Го).
(6.10) о 5 о о Подставляя (6.9) и (6.10) в (6.8) и учитывая, что 6~(Мо М, Го — !)!е=о= — 6..(Мо М Го — Г)(~=о, получим и(Мо, !о) =~ ~6(Мо, М, Го — !) 7(М, Г) г(г'е(г'+ о о +~ фй (6(М„Р г,— г) — '" (Р, !) — (Р,.) '~ (М,, Р, 1,— !)~ х о з х аЪЙ + ) р (М) (6 (Мо, М, 'о) и, (М, О) + и (М, О) 6и (Мо М гоИ г('е' (6. 1! ) Из формулы (6.11) легко получаются представления решения задачи (6.5) — (6.7) . Выпишем решения для граничных условий первого, второго н третьего рода отдельно. Для граничных условий Дирихле (а=0, р=!): и ! з = р (Р, Г) ! газ, 6, ! з = О.
Поэтому решение имеет вид е и (М, !) = ~ ~6 (М, Я, ! — т) 1'(Я, т) с('о'е(т— о 266 — 1 1 л)г — (М, Р, 1 — ) о(зо(т+ дб, дл +~р(б,(м, а г)фД+р(б)б, (м, б,г)) (р. Р Для граничных условий Неймана (ог= 1, р= О): ди дб, — =1г(Р, 1)(рез, — ' =О. дл 1з дл Решение задачи (6.5) — (6.7) имеет вид и(М, Г)=~ '1 б,(М, 9, à — т) 1'(Я, т)о(р'о(т+ о Ь (6.12) + 1 1 й(Р)б (М, Р, 1 — ) (г(Р, т) г(зо(т+ о з + ~ Р(бг(М Ю~ Г)Ф(Э+<Р(Р)бог(М 0 Г))о()г ° о (6.13) В случае граничных условий третьего рода (а = 1, р =Ь): дл — + йи (з = р (Р, 1П лез, — '+ )гб, (з = О, дог = дл дл и решение задачи (6.5) — (6.7) представимо в виде и (М, 1) = ~ ~ бг (М, Я, à — т) 1гф, т) о(о'о(т+- о Ь + ~ фй(Р) б,(М, Р, 1 — т) р(Р, т) оЬг1т+ о з +~рИФ)бг(М, Я, ')+р(Фбгг(М, ~, ')а'. (6.14) и $7.
УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ НА НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПРЯМОЙ 1. Постановка задачи с начальными условиями для неограниченной струны 267 При математическом описании любого физического процесса прежде всего необходимо поставить задачу, т. е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. В том случае, когда физическая задача сводится к уравнению в частных производных, для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия.
В случае простейшей задачи, описывающей процесс поперечных колебаний струны, для однозначного определения решения к уравнению колебаний нужно еще добавить начальные и граничные условия. Отметим, что если точка струны с координатой х достаточно удалена от границы, то влияние граничных условий сказывается в точке х через достаточно большой промежуток времени. Поэтому если нас интересует явление в течение малого промежутка времени, то вместо полной задачи можно рассматривать задачу с начальными условиями для неограниченной струны.
Эта задача ставится следующим образом: ии — — а'и,„+1(х, 1), (х, г) ~(1, (7.1) и (х, 0) = ср(х), и,(.х, 0) =- ф (х), х еп й', (7.2) где а' — постоянный коэффициент, а область 11 имеет вид (з= =К'Х (О, со), Я=К'Х (О, оо). Напомним определение классического решения, О п р е д е л е н и е. Классическим решением задачи с начальными условиями (7.1), (7.2) называется функция и(х, г), непрерывная вместе со своими первыми производными по 1 в замкнутой области Й, имеющая непрерывные производные второго порядка в открытой области 11, удовлетворяющая в Р уравнению (7.1) и при г- 0 начальным условиям (7.2). Учитывая линейность задачи (7.1), (7.2), можно провести ее редукцию и представить решение и(х,() задачи в виде суммы решений двух задач: и(х, 1)= — иг(х, г)+из(х, Г), где и, (х,г) — решение задачи Коши для однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными условиями, из(х, Г) — решение задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными условиями.
2. Формула Даламбера Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения колебаний: и и = а'и„„(х, 1) еп 11, (7. 31 и (х, 0) =.~р(х), и,(х, 0) = ф (х), х ~ К'. (7 ХО Предположим, что существует классическое решение задачи (7.3), (7.4). Преобразуем уравнение колебаний (7.3) к каноническому виду, содержащему смешанную производную (см. гл П). Уравнение характеристик уравнения (7.3) имеет вид двв (7.6) (?.8) 269 (с(х)* — а' (й)2 = 0 и распадается на два уравнения: 2(х — а22г = О, 2(х+ а22г = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
