Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Предположим, что классическое решение задачи (7.1), (7.2) для неоднородного уравнения колебаний с неоднородными начальными условиями существует. Возьмем на фазовой плоскости точку М и построим характеристический треугольник АВМ (рис. 7.7). Проинтегрируем уравнение (7.!) колебаний по этому треугольнику, предварительно умножив его на 1/2а. В результате получим — (и„— а'и„„) с(хг(г = йо длвм — а ! (и,й!+и„йх) = — ~ игг(я+ а(и (М) — и (В) — и(А) +и(М)) .и Л (7.23) Из (7.21) и (7.23) следует формула в и(М) = и(А) +и (В) 1 С ! + — ~ игг(х+ — ~ 7'(х, г) г(хс(!.
2 2а,~ 2а л а лвм Учитывая, что точки М, А, В имеют соответственно координаты (х, !), (х — а(, 0), (х+а1, 0), и используя начальные условия (7.2), окончательно получаем формулу для решения задачи (7.1), (7.2): и (х, !)= гр (х — аг) + гр (х + аг) + 2 « — 'аг г «+агг — «г — г)г (р ~Ц-,'- ~ ~ ) (й, т) г$йт. (7.24) « — а! о « — а(г — «) Заметим, что формула (7.24) представляет решение задачи (7.1), (7.2) в виде суммы решения двух задач.
Если положить в (7.24) г" (х, г) =— О, то формула (7.24) дает решение задачи для однородного уравнения колебаний и неоднородных начальных условий и совпадает с полученной в п. 2 ~ 7 формулой Даламбера (7.10). При <р(х) = — 0 и гр(х) =0 формула (7.24) представляет решение задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными условиями. В этом случае она совпадает с формулой (7.19), полученной из физических соображений. 6.
Существование и единственность решения Рассмотрим начально-краевую задачу для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными условиями на бесконечной прямой: ив=а'и„„+7(х, г), (х, !) еи(г=йг х 10, ), !7.25) и (х, 0) = О, и, (х, 0) = О, х ен Йг. )7.26) Решение задачи (7.25), (7.26) представляется формулой (7.24), в которой нужно положить гр(х) = — О, гр(х) = — 0: г «-~-а!с-«г и(х, !) = — ( ~ !'Я, т)байт. (7.27) 2а,) о « — агг — «г Теорем а 7.6.
Пусть функция !'(х, !) непрерывно дифференцируема в области ьг: ) (х, !)е=С<гг(11). Тогда классическое решение задачи (7.25), (7.25) существует, единственно и определяег ся формулой (7.27). вав Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя интеграл в правой части формулы (7.27) по х и по ц получим и,(х, 1) = — ~ (1(х+а(1 — т), т) — 7'(х — а(1 — т), т)) дт, 1 2а о и„,= — ~ (~'(к+а(1 — т), т) — /'(х — а (1 — т), т)) дт, 1 Г 2а а х+а1! — О х-~-а(г — х1 и,=- — ~ ~ ~ф, т)дй1 -(- — ' ~ — ~ ~ 7Д, т)дй~ дт=- х — а1! — х1 О х — а1! — х> .1 Г ==~ (а1(х+а(1 — т), т)+а1(х — а(1 — т), т))дт, (7.28) 2а О о и„= — (7 (х, 1) + ) (х, 1)) + + — Г1(1'(х+а(1 — т), т) — /'(х — а(1 — т), т))сХт, 2,) о ' причем штрих обозначает производную функции 1(х, 1) по первому аргументу.
Подставляя формулы (7.28) в уравнение (7.25) и начальные условия (7.26), получим, что функция и(х, 1), определяемая формулой (7.27), где функция 1(х, 1) удовлетворяет сформулированным в теореме условиям, является классическим решением задачи (7.25), (7.26). Из представления решения формулой (7.27) следует и его единственность. ° й 8. ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ ПРЯМОЙ 1. Задачи для однородного уравнения с однородными граничными условиями первого и второго рода Рассмотрим применение формулы Даламбера к решению задачи ча полуограниченной прямой в случае граничных условий первого и второго рода. Докажем следующую лемму.
Л е м ма 7.!. Если в задаче Коши (7.8), (7.4) начальные функции ~р(х) и ф(х) нечетны, то функция и(х, 1), представимая формулой Даламбера (7.10), обращается в нуль при х=О; если же функции ~р(х) и ф(х) четны, то производнач по х от функции и(х, 1) обращается в нуль при х=О. 281 Д он а з а тел ь с т в о. Положив в формуле Даламбера х= =О, получим ы и(0, 1)=- ~( ) Р( ) + [ ф(г)йг=О.
2 2а,) Продифференцировав формулу Даламбера по х и положив х= =О, получим и„(0, 1)= Р )+Р ( ) + (ф(ар) — ф( — а1))=0, 2 2а поскольку нроизводная четной функции есть функция нечетная. ° 3 а и е ч а н и е. Подчеркнем, что утверждение леммы справедливо для любых функций и(х, 1), представимых формулой Даламбера, а не только для классических решений задачи Коши (7.3), (7,4). Рассмотрим на полупрямой )сь=[0, со) начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний с однородными граничными условиями Дирихле: и„=а'и„„, (Х, 1) ~ Йе=)Х4гС(0, со), (8.1) и (х, 0) = юр(х), и,(х, 0) = ф (х), х ен $Г, (8.2) и(6, 1) =-О, 1~ [0, оо). (8.3) Продолжим функции ~р(х) и ф(х) нечетным образом на всю бесконечную прямую: ср(х)х)Ор()Р(х)х)0(84) — <р( — х), х(0, [ — ф( — х), х(0. Тогда функция х-'-м и(х, 1) — ~'( ' )+р'(" ~ + [ $,(г)г(г (8.5) 2 2а .) к — ы при х) 0 является решением задачи (8.1) — (8.3).
В самом деле, функция (8.5), очевидно, удовлетворяет однородному волновому уравнению, краевому условию она удовлетворяет в силу доказанной леммы. Выполнение начальных условий проверяется непосредственно. Перепишем формулу (8,5), выражая функции ~р, и ф, через функции ф и ~р по формуле (8.4). Если выполнены неравенства х+а1)х — а1)0, то <р,(х-+-а1) =~р(х~ а1) и ф,(х ~ а1) =ф(х.+- ~ а1).
Если х — а1(0, то ~р,(х — а1) = — ~р(аг — х) и ф, (х— — аг)= — ф(а1 — х). Поэтому формула (8,5) принимает вид и(х, 1)= 282 р (к + аг) + ~р (х — аг) ( ф (х+ а!1 — ~р (аг — х) г + ф(г) Йг, 2а,) при 0<(< —, х)0, а (8.6) «-аа к — а! + [ кР(г)й, при,') —, х>0. 2а,) а1 — к и„=а'икк, (х, Г) ~РЧ, и (х, 0) = ~р (х), и,(х, 0) = «р (х), х ен К+, (8.7) (8.8) и (О, () = О, Г е [О, оо) (8.9) Продолжая начальные функции ~р(х) и ф(х) четным образом: ~р,(х)= ( ' ' ф,(х)= ( ' ' (8.!0) ( ср( — х), х<0, ( ф( — х), х<0, запишем решение задачи (8.?) — (8.9) через функции ~рг(х) и фг(х) с помощью формулы Даламбера при х)0: «+а« и(х, () — Р'( + 1+~'( 1+ — ( кР,(г)с(г. (8.11) 2 2а,) к — а1 Используя (8.10), формулу (8.11) можно переписать в терми- нах функций ~р(х) и ф(х) следующим образом: 282 3 а меч ание 1.
Отметим, что при 0<(< — возмущеа нне, вышедшее из точки х в момент (=-О, не успевает достичь границы, влияние граничного условия не сказывается на характере решения н формула (8.6) совпадает с формулой Даламбек ра. Прн () — возникает отраженная от границы волна, ното- а рая, интерферируя с определенными начальными условиями бегущими волнами, формирует решение. Замечание 2. В зависимости от гладкости начальных функ ций гр(х) и «р(х) функция и(х, (), определяемая формулой (8.6), может представлять как классическое, так и менее гладкое решение. В случае, если функция и(х, () представляет классическое решение, функции у (х) и кР (х) кроме условий гладкости у ен С'г' (К+), ар ~ С' ' (К ) должны также удовлетворять условию согласования начальных и граничного условий ф(0)=ар(0)=0.
Соответственно нужно доопределить нулем при х=О и функции гр,(х) и ф,(х) в формулах (8.4). Рассмотрим теперь на полупрямой )сР начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний с однородными граничными условиями Неймана: и(х, !) = к+а! ~р(х-~-а!)+~р(х — аМ) + ! ( „) 1 ) х 2 2а,) к — аа х-~-а! а! — к ~р(х -~-ах) +<р(а! — х) + ! ( (' + (' 2 !) —, х)0, а (8. 12) При этом граничное условие (8.9) удовлетворяется в силу доказанной леммы. Отметим, что для решения и(х, !) задачи (8.7) — (8.9) остаются в силе замечания 1 и 2, сделанные по поводу решения задачи (8.1) — (8.3).
2. Распространение краевого режима Рассмотрим начально-краевую задачу на полу- прямой К для однородного уравнения колебаний с однороднымн начальными и неоднородным граничным условиями: ии=а'и„„, (х, !) еп()ы (8. 13) и(х, 0)=0, и,(х, 0)=0, хе=К (8.14) и(0, !)=Р(!), (а=[0, оо), (8.15) где а — вещественный постоянный коэффициент. Поскольку в силу однородности уравнения (8.13) и начальных условий (8.14) единственной причиной возмущения янляется определяемый функцией )х(!) краевой режим, то решение будем искать в виде правой бегущей волны и(х, !)=Г(х — а!), где 1 — некоторая достаточно гладкая функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
