Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Второе слагаемое в левой части формулы (2,9) в случае граничных условий третьего рода имеет физический смысл энергии упругого закрепления. $ 3. устойчивость Решения С помощью интеграла энергии Е(2), введенного в предыдущем параграфе, можно доказать устойчивость в пространстве Ез(Т1) классического решения начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) по правой части уравнения и начальным условиям.
Напомним, что, как было показано в гл. 111 при рассмотрении общей схемы метода разделения переменных, задача с неоднородными граничными условиями всегда может быть сведена к задаче с однородными граничными условиями. Мы проведем доказательство теоремы устойчивости для одномерной начально-краевой задачи иа отрезке: ии = а'и„„.+)'(х, !), 0 <х<1, 0<1(Т, (3.1) и (х, О) = ф (х), и ~ (х, О) = ф (х), 0 < х < 1, (3.2) и (О, 1) = и (1, 1) = — О, 0 < ! ( Т, (3.3) где аз — постоянный коэффициент.
Напомним, что, когда задача (3.1), (3.2) является математической моделью задачи о продольных колебаниях упругого стержня, а'=й,(р, где р — линейная плотность стержня, Й,— коэффициент упругости. Т ео р е м а 7.2, Решение задачи (3.1) — (3 3) устойчиво в пространстве Ез по правой части и начальным данным. 266 Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим функцию (интеграл знер- гии) ! йуз (,') = — ~ (и'; + ааи'-) дх. (3.4) Для интеграла (3.4) выполнены условия дифференцируемости по параметру. Продифференцировав по параметру 1, получим 24747' = ~ (и ин+ а'и,и„,) с1х, (3.5) о С другой стороны, из формулы (3.4) вытекает, что Ци,Ц (')Г2 оУ(1).
Из неравенств (3.6) н (3.7) следует неравенство !У (1)!( У2 П1П интегрируя которое по ц получим ~ (1)(~(О) —, ' ') )(1П (т, 'к' 2,7 (3.7) (3.8) (3.9) Формулы (3.7) и (3.9) дают ПиД ((/2 о7(0)+ ) ЦП с(т. о (3. 10) ' Смн Ильи н В. А, Повн як Э Г. Основы математннеского анализа Ч. Ц М; Йаука, !982. 9 Зак зб1 287 где штрих означает производную по 1.
Второй интеграл в правой части формулы (3.5) проинтегрируем по частям, учитывая, что в силу граничных условий (3.3) подстановки обратятся в нуль. В результате, учитывая уравнение (3.!) „будем' иметь 24747' = ~ и,(ии — а'и„) с(х= ~ и,~(х, 1) с1х о о и, используя неравенство Кожи — Буняковского' >, получим 2~7 (е7') ( Ци,П П1П, (3.6) где норма в пространстве Ез(0, 1) определяется следующим образом: 'Ци(1)Ца=— ПиП'= ~ и'(х, 1)г(х, 1) О.
о Продифференцируем по Г квадрат нормы функции и(х, г): с Ии И' = ~ ио (х, Г) с1х о и применим неравенство Коши — Буняковского ИиИ вЂ” ИиИ = ( ии,г(х(ИиИ Ии[И. сц о Отсюда в силу неравенства (3. !0) получим неравенство — Ии!!(!!исИ <)сс2о7(0) +~ И[Ио(т, о которое после интегрирования от 0 до ! примет вид Исс(!)И(Ии(0)И-,'-$~ '-'оу(0)г+~ ~ Ис(т)И[(тг(О. (3.!1) о о Двойной интеграл ври ! ~(0, Т1 легко оценивается: с е с о ~ Иг(т)И[ЫО( игах Иг(т)И '! '! с(тЮ< гпах Ц(т)И вЂ” (3.!2) те[о.т! г [ те[о г! 2 о о О О Учтем теперь, что о7о(0) = — ~(и,"'(х, 0)+пои-',(х, 0))г(х= о = — Иис(0)И'+ — Исс„(0)Ио = 2 2 д2 о+а [ 2 2 2 и поэтому ,у (о) ~ ', « фИ + И р.И). Окончательно при ! ~ (О, Т! из неравенств (3.11) и (3.13) получаем ИиИ е- ИсрИ+«!грИ+а Иср„И) Т+ — гпах И)(г)И.
Последнее неравенство означает устойчивость решения задачи (9.1) — (9.3) по правой части и начальным функциям: для любого е 0 найдутся такие положительные постоянные б; )0 г'=1, 2, 3, 4, что если выполняются неравенства ИсрИ <б„ИсрИ ~ бо, Ичг,И ~ бо и гпах Иг(Г)И(бо, то Игс(!)И (е при ге= (О, Тг. сего,г! 258 й 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ (4.
4) Рассмотрим начально-краевую задачу для однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными и однородными граничными условиями. Формальная схема решения этой задачи методом Фурье была разобрана в гл. 111. Для доказательства теоремы существования решения надо установить, что полученное формальное представление решения в виде ряда Фурье с коэффициентами, определяемыми через начальные данные, при соответствующих условиях, накладываемых на начальные данные, действительно является классическим решением рассматриваемой задачи. Доказательство проведем для простейшего одномерного случая.
Рассмотрим начально-краевую задачу, описывающую свободные колебания ограниченной струны с закрепленными концами (см. гл. 1): и~ — — аьи„„, (х, Г) ~ (ч = (О, 1) К (О, со), (4.1) и (х, 0) = ~р (х), и,(х, 0) = ф (х), х ~ (О, !], (4.2) и(0, 1)=0, и(1, Г)=0, Г ~(0, со).
(4.3) Будем искать классическое решение задачи (4.1) — (4.3), для существования которого необходимо выполнение условия согласования начального и граничных условий: р(О) = р(1) = р(0)=ф(1) =О. Формальное решение задачи (4.!) — (4.3), построенное по методу Фурье, имеет вид и(х, 1)= р !а„созв„1+ — "з(по>„1~ з1п'РГ~.„х, Ьь нь (4.6) 259 где а„= —, Х„= ~ — ), а„= ~р„= — ~ ср Я) гйп )/1.„$с$, (4.5) о ! оь = фи == ~ ф (й) з1п Ъ ти $ай. о Т ео р ем а 7.3.
Пусть начальные функции задачи (4.7)— (4.3) удовлетворяют условиям: функция ~р(х) дважды непре- рывно дифференцируема на отрезке [О, !! и имеет на нем ку- сочно-непрерывную третью производную, функция ф(х) непре- рывно дифференцируема на отрезке (О, 1) и имеет на нем ку- сочно-непрерывную вторую производную, ср(0) = !р (1) = (р"(0) = (р"(1) = О, !Р (О) = !Р(1) = О. (4.7) Тогда существует классическое решение задачи (4.1) — (4.3), представленное формулой (4.4) с коэффициентами (4.5) и ('4.б).
До к а з а тел ь с т во. Нужно доказать: а) непрерывность функции и(к, 1), представимой рядом (4.4), и ее первой производной и!(х, 1) в замкнутой области !г! и непрерывное примыкание их к заданным начальным (4.2) и граничным (4.3) условиям; б) существование вторых частных производных функции и(х,1) н справедливость уравнения (4.!) в открытой области (г!. Для доказательства сформулированных положений воспользуемся обобщенным принципом суперпозиции и известными свойствами равномерно сходящихся рядов по тригонометрическим функциям, приведенным в гл. ч'! при доказательстве существования решения одномерного уравнения теплопроводности.
Докажем положения, сформулированные в п. а). Для этого достаточно доказать равномерную сходимость в замкнутой области ьг! ряда (4.4) и ряда, полученного формальным дифференцированием (4.4) по 1: (4.8) (4.9) 260 на%! ь„ — и ~ — а„япы„1+ —" созе!„1ь яп)т ) „х. ч!а л=! Мажораитным для ряда (4.4) будет ряд ~~!~~ ( )а„! + — !Ь„! ), л=! а для ряда (4.8) — ряд ОО )Г (а! /а !+ !Ь ~) (4.(0) и=! которые сходятся ири условиях, наложенных на функции ср(х) н !Р(х) с учетом (4.5) и (4.6), в силу свойств рядов Фурье (см. гл.
Ъ'!, $4). Следовательно, ряды (4.4) и (4.8) в замкнутой области !г! сходятся равномерно и определяют в этой области непрерывные функции и(х, 1) н и!(х, 1). Так как при 1=0 ряды (4.4) и (4.8) с учетом (4.5) н (4.6) переходят в тригонометри- ческие ряды Фурье на отрезке (О, 1) для функций !р(х) и !р(х), удовлетворяющих условию разложимости в ряд Фурье, то при 1- 0 функция и(х, 1) удовлетворяет начальным условиям (4.2).
Поскольку все собственные функции з!п~)„х удовлетво- ряют однородным граничным условиям (4.3), то при х- 0 и х — 1 функция и(х, 1) удовлетворяет этим условиям. Для доказательства положений п. б) докажем равномерную сходимость в области Й! рядов, полученных путем формального почленного дифференцирования ряда (4.4) дважды по ~: ( Х ~ ° ° " -) па 1з в-в, / — ) ~' п' ( а„ созе!„1 + †" яп а!„Г) яп у' 1,„ х (4. 1 1) ~ь, л=! и дважды по х: Ю ) Е'~ ") ~2 вч / — ) ~'а' (а„соз!6,1+ — "з!па!„1) яп'У')„х, (4.!2) !Ол и=.! Рядам (4.11), (4.12) с точностью до множителя соответствует общий мажорантный ряд Ч~~ ~и' ( !а„! + — !Ь„! ), л=! который сходится в силу условий, наложенных на функции ~(х) и !р(х) с учком формул (4.5) и (4.6), и свойств рядов Фурье (см.
гл. Ъ'1). Значит, ряды (4.11) и (4,12) в открытой области 11! сходятся равномерно, и поскольку каждый член ряда (4.4) удовлетворяет уравнению (4.1), то в силу обобщенного принципа суперпозиции (см. гл. Ч1, ф 4) функция и(х, 1) удовлетворяет уравнению (4.1) в открытой области 11!.
Отметим, что условия (4.7) обеспечивают непрерывность и периодичность нечетных продолжений начальных функций !Р(х) и !Г(х) и второй производной продолжения функции !6(х). Непрерывность первой производной при нечетном продолжении получается автоматически. ° 3 а м е ч а н и е. Отметим, что ари доказательстве теоремы 7.3 на функции !Р(х) и !р(х) наложены достаточно жесткие условия, в частности, выходящие за рамки условий согласования. Эти условия связаны лишь с методом доказательства и могут быть значительно ослаблены. й 6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ Воспроизведем общую схему метода разделения переменных для решения начально-краевой задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными и граничными условиями. Для простоты будем рассматривать одномерную задачу для вынужденных колебаний ограниченной струны с закрепленными концами: ии,—— а'и„„+Г(х, !), (х, !) ~й!, (5.1) 26! и (х, 0) = О, и, (х, О) = О, х ~ 10, 1), (5.2) и (О, 1) = О, и (1, 1) = О, 1 ~ 1О, оо ), (5.3) Предположим, что существует классическое решение задачи (5.1) — (5.3).
Функция и(х, 1) при каждом фиксированном 1 разлагается в ряд и(х, 1)= ~) п„(Г)5!п х, (5.4) где коэффициенты разложения и„(1) определяются ! и„(1)=- — ( и(Е, 1)5!и — 'Яп Цс$, и=!, 2,... о формулой (5.5) Поскольку функция и(х, 1) является классическим решением задачи (5.1) — (5.3), то для интеграла (5.5) выполняются условия дифференцируемости по параметру под знаком интеграла и (5.7) где 1'„(1) — — — у )($, 1)5!п — Щ 1 о Интеграл в формуле (5.7) проинтегрируем два раза по частям с учетом граничных условий (5,3). Тогда, учитывая начальные условия (5.2) и формулу (5.6), для коэффициентов и„(1) получаем следующую задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения: и„"(1)+в„'и (1)=1,(1), 1~(0, оо), (5.8) и„(0) =О, и„'(0) = О, где 262 ипп (г) = — — 5!и — Щ й=1, 2.
(5.6) и ! 1 616 о 2 . яа Умножим уравнение (5.1) на — 5!п — х и проинтегрируем по х от 0 до 1. В результате получим 1 и„"(1) = а' — ~ п„„(х, 1) 5! и — хг(х+1„(1), о Решение задачи (5.8) можно записать с помощью импульсной функции *' и„(1) = — ~ Г„(т) 5!п ш„(! — т) с(т. 1 !' (5.9) ыл о Подставляя коэффициенты (5.9) в ряд (5.4) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим 1 и ( — 1) = ~ ~ 0 (х. $, à — )1($, т) Ф(т, о о (5.10) где 2 . Ллх .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
