Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Функция 6(х,$, 1 — т) есть температура бесконечной прямой в точке х в момент времени 1)т при возбуждении в момент времени т точечным источником мощности д=ср в точке х=а. Поэтому ясно, что функция 6(х, $, 1 — т) удовлетворяет уравнению 6 =а'6„,+б(х, $)6(1, т) (9.4) (это не противоречит тому, что при 1)т функция 6 удовлетворяет уравнению 6!=аз6„). Воспользовавшись принципом суперпозиции, можно записать следующую формулу для решения задачи (9.1), (9.2): ! и(х, 1)=) '1 6(х, $, 1 — т)1$, т)й~!(т, (9.5) 0 — !! где ! 17 (К 1) = — 1 и (й, 1) е!ь1 Щ, 2я,) (9.6) Г(й, '.)= — ( г($, 1) смея. 2я,) Ю Будем предполагать, что функция и(х, г) и ее частные производные достаточно быстро стремятся к нулю при х -~оо.
Тогда для этой функции существует интеграл Фурье. Будем также предполагать, что первый интеграл (9.5) можно дифференцировать под знаком интеграла. 1 Умножим обе части уравнения (9.1) на — е!ы и проин- 2Л тегрируем по х от — ь до оо, В результате получим 6!= — ' ~ и (х, !)а!ь !(х+г (й, 1). (9.7) 224 !.! — и! 6 (х еь ! т) е 4я!(! — *! 2а ')/я (~ — т ) Мы получили формулу (9.5) на физическом уровне строгости.
Для строгого вывода формулы (9.5) используем преобразование Фурье с ядром еп'". Обозначим образы Фурье функций и(х,1) и )(х, 1) соответственно через 6(й, 1) и Г(я, 1); Проинтегрируем по частям интеграл в правой части формулы (9.7), учитывая, что подстановки обратятся в нуль. Учитывая однородное начальное условие (9.2), получим, что задаче (9.1) — (9.3) в пространстве оригиналов будет соответствовать следующая задача Коши в пространстве образов: (/,+а яЧ/=г, > ~ (О, о), и (й, о) = о. Решение этой задачи запишем с помощью импульсной функ- ции > и (й, 2) = ~ е — ам а — т>р (ь т) йт = о " — м и — > ~ г (еь .) ем, йт йеь 1 2в Наконец, используя формулу обратного преобразования Фурье, будем иметь и(х, 1) = ~ и(я, 1)е — ""йя= ~ ! — > е — "*и — о+'">2 — "> йй) 1(й, т) Щ йт, (9,8) ! — ' 1 2я,) откуда, учитывая (7.14), получим (9.5).
Для обоснования полученной путем формального применения преобразования Фурье формулы необходимо показать, что если функция 1(х, 2) непрерывна по совокупности аргументов и ограничена в (1, то су>цествуют производные функции и(х, Г) (9.8), входящие в уравнение (9.1), и их можно вычислять путем дифференцирования подынтегральной функции по параметру.
Соответствующие рассмотрсиия аналогичны проведенным в предыдущем параграфе, и читатель может их провести самостоятельно. Рассмотрим устойчивость решения задачи (9.1) — (9.2) для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой. Теорема 6.11. Задача (9.!), (9.2) для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой устойчива по правой части, т. е. для любого е>0 найдется такое б>0, что если (71 (х, >) — 7, (х, г) > ( 6, х я й', г ~ [О, Т1, [и,(х, Г) — и,(х, 1)(<е, хенн>, Ген[0, Т[. взак зм 225 Доказательство. Рассмотрим задачу (9.1), (9.2) для неоднородного уравнения теплопроводности с однородными начальными условиями и обозначим через и,(х, Г) решение атой задачи, соответствующее правой части й(х, Г), где 1=1, 2. Предположим, что при некотором Ь)0 выполнимо неравенство ф(х, Г) — ~,(х, Г)1(Ь, х~й', Гя(0, Т) (9 9) Записывая решение с помощью формулы (9.5) и учитывая (9.9), получим (и,(х, г) — и,(х, г)(( ю (~ ~ 6(Х, $ à — т)1~,(~ т) — Го%, т)!Щдт(Ь~Г(т=б.т.
(9.10) о — м о Из неравенств (9.9) и (9.10) вытекает, что малому изменению правых частей соответствует малое изменение решений, что и означает устойчивость решения задачи (9.1), (9.2) по правой части. й 16. НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Рассмотрим начальную задачу для неоднородного уравнения теплопроводности в трехмерном пространстве: и,=аоЬи+1(м, 1), (М, Г)~й„ (1О.1) (10.2) а (М, О) = р (М), М = По, где Ь вЂ” трехмерный оператор Лапласа, а области хзо и Йо определяются следующим образом. ао=КоХ(0, т)=((М, 1):М ЕКо, Г Е(0, т)), и,=к'х(0, т). (10.3) О яр ед ел е н не.
Фундаментальным решением ог(М, (;1, 1) задачи Коши для уравнения теплопроводностн и,=а'Аи (!0.4) называется такое его решение в области йо, которое: 1) удовлетворяет начальному условию б(М, а, 0)=Ь(М, а), М, Яакко, (1О. 5) 2) непрерывно всюду в замкнутой области ь)о, кроме точки (Я, О), т. е. яри М~Я и 1~0. Для построения фундаментального решения докажем предварительно следующую лемму. 226 Л ем ма 6.3. Если в задаче Коиш (10.6) (10.7) 6(М, Я, г) =6(х, $, г) 6(у, <), <)6(г, ь, <) или, используя формулу (7.16) для фундаментального решения в одномерном случае, имеем <.-М 4.<з — ЧН+< -П' 6 (М Я <) 1 1 е <зч 1 2а)< <и Функция 6'(М, <ч', <) с физической точки зрения представляет собой температуру в точке М трехмерного пространства в момент времени г при мгновенном возбуждении точечным источником тепла мощности р, в точке я в момент времени 1=0.
Поэтому функция 6(М, Я, г) называется также функцией влияния мгновенного точечного теплового источника. 227 и<=азйи, (М, 1)е-=Йз и(М, 0)=<р(М), М~)сз начальная функция <р(М) нредставима в виде р(М)= р„(х) р,(у)грз», то решением задачи (10.6), (10.7) является функция и(М, <)=и,(х, <)и,(у, г)и,(г, 1), (10.8) где и,(х, <), и,(у, <), из(г, 1) — решения соов<ветствуюи<их одно- мерных задач Коши: им — — а'и„„, (х, Г) еи й, и,(х, О) = <Р,(х), х еп Й<, и„ = а'и,„„, (у, С) ~ Й, из (у, О) = <р,(у), у Е Й' из<=а иззз (г -') ен П из(г 0)='Рз(г) доказательство. Покажем, что функция и(М, <) улов- летворяет уравнению (!0.6).
Имеем с учетом (10.8) з а' Аи = а'Ь (и,и,из) =и,и а'и,„, + и и,а'ижз+ азиза иззз = = изизи„+ и,и,и„+ и,и,и„= (и,азиз)< = и<. Удовлетворение начальному условию (10.7) очевидно скольку и(М, О) =и,(х, О) и,(у, 0)из(г, О) =<р, (х)<р,(у)<рз(г)=<р(М) В трехмерном случае дельта-функцию можно представить в вн де произведения трех одномерных дельта-функций: 8(М, Е=б(., Вб(у, ))6(., Э), где точка М имеет координаты х, у, г, а точка (г — координа- ты 5, 71, ~. Поэтому, применяя лемму к задаче (10.4), (10.6), получим Из формулы (10.9) следует, что функция 6(М, Я, !) симметрична по переменным М и Я: 6(М, Я, !) = — 6(Я, М, г), это является математическим выражением принципа взаимности.
Заметим, что относительно переменной ! такая симметрия не имеет места, что является выражением необратимости тепловых процессов во времени. С помощью функции 6(М, Я, !) решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности и, = а' Ли, (М, !) е- :Й„ и(М О) =~р(М) М ен 11з выражается формулой, аналогичной формуле (7.17): (1О. !О) Формулу (10.! 1) аналогично одномерному случаю на физичес- 228 и (х, у, г, !) = )'1'1 6(х, у, г, $, т), ь, !)~Я, нь ь)Щг(т1аь, или, в более краткой записи, и(М, !) = 16(М. 6, !)ф(1г)д(тч.
Интеграл (10.10) обычно называют интегралом Пуассона. Заметим, что формулу (10.!0) можно получить и непосредственно, применяя к искомому решению задачи (10.6), (10.7) трехмерное преобразование Фурье. При этом для функции 6(М, Я, !) получим представление (10.9). Имеет место теорема существования, аналогичная теореме 6.9 для одномерного случая. Теорем а 6.!2. Если функция ~р(М) непрерывна и ограничена во всем трехмерном пространстве !1', то формула (10.10) определяет при (М, !) ~Из классическое решение задачи (10.1), (10.2) при !(М, !) =О. Локазательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы в одномерном случае.
Заметим, что так же, как и в одномерном случае, можно доказать, что в случае кусочно-непрерывной и ограниченной функции ч~(М) интеграл Пуассона (10.10) является решением однородного уравнения теплопроводности, непрерывно примыкающим к функции у(М) в точках ее непрерывности. Решение задачи Коши (10.!), (10.2) для неоднородного уравнения теплопроводности с однородным начальным условием выражается формулой и(М, г)= ~ '16(М, Я, à — т)7(Я, т)и'т'одт. (10.11) о а ком уровне строгости можно получить, применяя принцип суперпозиции и строго используя метод интегрального преобразования Фурье. В силу линейности задачи (10.1), (10.2) ее решение представляется формулой с и(М, Г)= Г! 0(М, 11, Г) ~р((Г)с()г+ !) ~ 0(М, Я, à — т)1'((1, т)г()Г1(т. Еа о Ь 3 а м еч а н и е.
Аналогично рассматривается задача Коши для двумерного уравнения теплопроводности в пространстве Кт. В частности, используя лемму, аналогичную лемме 6.2, легко доказать, что фундаментальное решение выражается формулой ~ 2 (к — 1) ~+и — ч) ~ Г!(М д 1)=( ~ е туч 2а У я! где М вЂ” точка с координатами х, у, 1,! — точка с координатами $, т!. Теоремы существования и формулы, выражающие решение задачи Коши в двумерном случае, полностью аналогичны соответствующим теоремам и формулам трехмерного случая. ф 11. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОПНОСТИ НА ПОЛУПРЯМОИ 1. Постановка начально-краевых задач В этом параграфе будет рассматриваться начально-краевая задача для уравнения теплопроводности на полупрямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
