Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Для задачи Неймана (р,=-ро=О, а,=-а,=1): 1 '(, г)=~6,(т, Ь гИ($)Д$+1 16,(х, $, — )1(Ь ) %Ж+ о о о +а' ) (ро(т)бо(х, 1, à — т) — р,(т)6,(х, О, à — т))йт, (12.13) о где 6,(х, $, ~) — функция Грина задачи Неймана. Для третьей краевой задачи (со, =а,=1, ~, =йь ро=Ь,): и(х, г) = 1бо(х, $, 1)<р($) а%+ ) '1 6,(х, $, г — т),г($, т)наг(т+ о о о +ао ') (1го(т)бо(х. 1, 1 — т) — р,(т)6,(х, О, à — т))йт, (12.14) о где 6,(х, $, 1) — функция Грина третьей задачи. 245 Решения задачи для полубесконечной прямой и(с аеи„,+7(х. 1), х)0, 1)0, и ~!=о =(р(х) а — Ри ) =:о = р((), (а(+ 1(3 ) ~ 0 дх можно получить из формул (!2.12) — (12.14), делая формальный предельный переход 1- +со.
В результате получим: а) граничное условие Дирихле (а=О, р=- — 1): ! е и (х, () = ~ 6) (х, $, 1) (р (9) (19+ ~ ~ 6, (х, $, 1 — т) 7' (9, т) (19 ((т+ о о о + аэ ~ р (т) — ' (х, О, 1 — т) с(т, ае о (12.15) где (х-Ц* 6,(х, $,1)= 2а У)т( б) граничное условие Неймана (с(=1, и(х, Г)= ) 6,(х, 9, 1)(р(9)(19+ ) ') 6,(х, о о о (л'-(-1 ) ~ и (ач ). Р = 0): $, ( — т) 1" ($, т)((9((т— — па ') р(т) 6,(х, О, 1 — т)(Хт, о (12. 16) где (х-1)* (х-)-1) ' 6,(х, $, ()= (е '"' +е '"' ). 2а Уп( $13. УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ГОРЕНИЯ *) До сих пор мы рассматривали процессы„математической моделью которых является начально-краевая задача для линейного уравнения параболического типа с линейными дополнительными условиями.
Простейшим примером является одномерное уравнение теплопроводности (7.7). В атом параграфе мы кратко остановимся на математических моделях фи- 248 ') См., иапример: Галактионов В. А, Курдюмов С. П, Самарскийки й А. А. Процессы в открытых диссипативных системах (графииеское исследование эволюции тепловых структур). Мл Знание, 1988. знческих процессов, описываемых одномерным квазилинейным уравнением теплопроводности, содержащим источник объемно- го выделения тепла: д /~да~ и~ — — Йо — ~и — ) + ~7оиа, дх 1 дх ) (13.!) 247 где йс>0, и дс>0, р>! — некоторые постоянные.
Функция и(х, Г) обозначает температуру сплошной среды в каждой ее точке в момент времени й Первый член в правой части уравнения (!3.1) описывает механизм нелинейной теплопроводности, причем коэффициент теплопроводности й(и) =й,и' зависит от температуры по нелинейному закону. Второй член в правой части уравнения (13.1) описывает процесс энерговыделения. Фактически — это мощность источника тепла. Этот член описывает процесс горения сплошной среды. Интенсивность горения зависит от температуры по нелинейному закону, причем безразмерный показатель б больше единицы (сверхинтенсивное горение). Уравнение (13.!) мы будем рассматривать на бесконечной прямой К'. Для полной формулировки задачи инициирования процесса горения необходимо задать начальное тепловое возмущение.
В результате приходим к следующей задаче Коши: и,=/г,(и'и„)„+доив, хек', 7 ен(0, Т1, (13.2) и(х, 0)=ио(х), х~й', (!3.3) Отметим, что для корректной постановки задачи (!3.2), (13.3) Функция ис(х) должна отвечать некоторым дополнительным требованиям. Задание с помощью функции ис(х) распределенной в пространстве специальным образом начальной тепловой энергии приводит к горению среды, причем ввиду нелинейности уравнения (13.2) интенсивность горения, а также теплоперенос в различных участках прямой протекают различным образом.
С течением времени в среде возникают меняющиеся в пространстве и во времени распределения температуры, называемые обычно тепловыми структурами. Физический процесс, описываемый уравнением, заключается в конкуренции двух нелинейных процессов. С одной стороны, наличие нелинейной теплопроводности приводит к выравниванию тепловых неоднородностей, к созданию стационарного распределения температуры. С другой стороны, в процессе горения происходит выделение тепловой энергии, что может приводить к росту температуры. Причем чем выше температура, тем выше интенсивность тепловыделения. Но в то же время с ростом температуры увеличивается и коэффициент теплопроводности. Одним из главных результатов конкуренции нелинейных процессов теплопередачи и тепловыделения является эффект локализации процесса горения, который в данном конкретном случае выступает как проявление процесса самоорганизации нелинейной диссипативной среды. Он может приводить к возникновению в среде целого набора различных структур, не взаимодействующих друг с другом.
С помощью преобразования переменных — Г», запишем уравнение (13.2) в безразмерном виде (черточки над х и ! опускаем): и, = (ссзи „), + ив. (!3.4) Свойства решений уравнения (13.4) существенно различаются в случаях р=3, Д(3 и й)3. Рассмотрим частный случай уравнения (13.4), когда в среде горения нет и тепло распространяется за счет теплопроводности: (13.5) и, =(и'и„).. Уравнение (13.5) имеет частные решения специального вида, так называемые точные автомодельиые решения, выражающие- ся через функцию ОД) одного аргумента, который в свою оче- редь является определенной комбинацией независимых пере- менных х и й Чтобы получить такое решение уравнения (!3.5), будем искать и(х, !) в виде и(х, с) =- —,, 0(Ц, с где Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция и(х, Г) данного вида удовлетворяет уравнению (13.5), если функция О($) является решением обыкновенного дифференциального уравнения 25 (й) Е (й) + ' б (й) = ф (й), где 4р(8), в свою очередь, — решение обыкновенного дифференциального уравнения 28ф'(Р+Ф В) = б.
Одно из полученных таким путем частных автомодельных решений уравнения (13.5) — решение Зельдовича — Компанейца — Баренблатта — имеет следующий вид: (13.6) 248 где т),= 21~ — ' и !г)+=шах(0, з), физический смысл постоян- р л ной Е, будет ясен из дальнейшего. Функция ил(х, !) для различных моментов времени изображена на рис. 6.2 За счет механизма нелинейной теплопроводности происходит быстрое растекание локального начального возмущения с максимальной температурой в точке х=О. В начальный момент времени !=О температура в точке х=О бесконечно велика, но в остальных точках бесконечной пря- 2 мой она равна нулю: из(х, 0) =0 при хФО. В точке х=О с течением времени О температура уменьшается по закону и (О, !)= — —, и в пределе при Чо ')/2 ' 0 х 1- +со происходит выравнивание темпе- Рис.
6.2 ратуры по всей бесконечной прямой Й1. Решение (13.6) называется решением типа мгновенного точечного источника, поскольку функция и„(х, 1) физически означает температуру точки х бесконечной прямой м1 в момент времени (, если возбуждение осуществлялось мгновенным точечным источником мощности Ес, действовавшим в точке х=О в момент времени !=О.
Таким образом, функция из(х, !) является аналогом фундаментального решения уравнения теплопроводности, введенного в 3 7. Однако решение (13.6) существенно отличается от фундаментального решения (7,16). Функция ил(х, !) в каждый момент времени !>О является финитной, т. е. решение строго положительно на конечном интервале х ен ( — т),ГЫ', т1,Гпз).
Тем самым уравнение (13.5) описывает тепловые волны — тепловые процессы с конечной скоростью распространения возмущений. При этом х — т)4! есть координата правого фронта тепловой волны, а 1/4 х= †4! — координата левого фронта. Это принципиальное 114 отличие механизма нелинейной теплопроводности, описываемого уравнением (13,5), от линейного механизма передачи тепла, описываемого уравнением (7.7).
Отметим, что это свойство имеет место и при наличии в среде источников тепла вида и', (1>1, Пусть теперь в среде имеется источник тепловой энергии, соответствующий й=3: (13.7) и =- (и'и„) + и'. Если искать автомодельное решение (13.7) в виде и = 0 (х), ~/т, — 4 249 откуда соответствующее автомодельное решение уравнения (13.7) получим в виде — соз ~ — ), (х(( — ', 1 2 ~А~) ! Уз l лх1 Г.. 5 ид(х, 1) = ., '575 1 1 О, )х() — ' 2 (13.8) где Т,)0 — время существования решения, 1.5=луЗ вЂ” длина носителя решения в любой момент времени. В отличие от решения Зельдовича — Компанейца — Баренблатта уравнения (13.8) решение (13,8) уравнения (13.7) локализовано в области Л5 ~5 ыь=( — =, — ), вне которой температура остается равной 2 ' 2 )' нулю.
Тепловые фронты структуры (13.8) неподвижны в тече- 1 ние всего времени ее существования: х = — 7.,— координата 2 1 правого фронта тепловой волны, х= — — 15 — координата ле- 2 вого фронта. При этом во всех точках интервала ыь температура неограниченно возрастает по мере приближения Г к моменту 1=Т,. В центре структуры х=О температура растет по за- кону ид(0, 1)= ~7 — «+ при 1- Т,. 3 2 (Т5 — 1) Такие тепловые структуры называются режимами с обострением, а соответствующие решения уравнения (13.7) или более общего уравнения (13.2) называются неограниченными решениями. Тепловая структура (13.8) называется локализованным 5- режимом с обострением и представляет собой стоячую температурную волну.
Рассмотрим теперь уравнение (13.2) при 8=2: и, = (и'и,), + и'. (13.9) Фиксируем время существования Т, тепловой структуры и рас- смотрим выражение ид(х, ()= 0($), В= !хД/Т5 — 1, (13.10) где ОД) )Π— неизвестная функция. Подставив (13.10) в уравнение (13.9), получим, что ид(х,1) является решением нелнней- 250 то для функции 0 (х) получим обыкновенное дифференциальное уравнение 0 (х) 0" (х)+2 (О' (х)]5+ 0'(х) = —, 2 ' ного параболического уравнения (13.9), если функция Е(~) решение обыкновенного дифференциального уравнения е( в ) + — 'е — в+в =о. 2 Это решение представляет собой функцию, строго положительную на интервале ( — $о, во) и равную нулю вне его.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
