Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Рис. 7.13 5 12. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ *~ 1. Простейшие уравнения и метод характеристик Рассматривая простейшие уравнения колебаний с постоянным коэффициентом а иа бесконечной прямой: ии — — а'и„„, х ен мт, 1) О, (1 2.1) мы установили, что его общее решение представляется в виде суперпозиции прямой и обратной бегущих волн: и (х, 1) = 1', (х — а!) + 1в (х+ а(), (12.2) где 1, и )т — пРоизвольные дважды непРеРывно диффеРенцируемые функции своих аргументов. Как легко проверить, пря- маЯ ип>=7,(х — а() и обРатнаЯ и1т>=гх(х+а1) волны Удовлетворяют следующим уравнениям в частных производных первого порядка: ю Этот параграф написан профессором С.
А. Габовым Более подробно о рассматриваемых уравнениях смл Г а бо в С. А. Введение в теорию нелинейных воти Иад-во МГУ, 1988. 367 причем последний интеграл в формуле (!1.21) легко вычисляется, поскольку функции и, гр н ф известны. 3 а м е ч а н и е. В начале этого параграфа мы отметили, что любая характеристика уравнения (11.12) должна пересекать кривую С не более одного раза. Действительно, если характеристика пересекает кривую С в двух точках А и М„ то значение и(М,) не может быть задано произвольно, а определяется по формуле (12.3) и!и+аии! =0 к и<-'> — аисв = О.
х Уравнения (12.3) и (12.4) часто называются уравнениями переноса, поскольку их решения (функции ),(х — а1) и 1,(х+аГ)) переносят соответственно начальный профиль 1, (х) или !з(х) вдоль оси х с постоянной скоростью а в прямом или обратном .направлении. Легко показать, что если решение уравнения переноса является дважды непрерывно дифференцируемой функцией своего аргумента, то оно удовлетворяет и уравнению ко.лебаний. При этом не происходит искажения профиля волны во времени, т. е.
отсутствует эффект дисперсии волны, что связано с постоянством скорости распространения, в свою очередь определяющимся постоянством параметров среды. Однако во многих физических задачах приходится учитывать изменение свойств среды под действием распространяющихся в ней волн. Это приводит к зависимости скорости распространения от решения, что связано с необходимостью рассматривать квазилинейное уравнение переноса вида и, +,'Г (и) и, = О. (12.5) В этом параграфе мы рассмотрим свойства решения простейшего квазилинейного уравнения переноса вида и,+ии,=О, хе=К', 1)0. (!2.6) Поставим для него задачу Коши, задав начальное условие и(х, 0)= — и0(х).
(12.7) По аналогии с линейным уравнением переноса с постоянным коэффициентом будем искать решение уравнения (12.6) в виде и(х, !) =7(х — и(х, г)1) (!2.8) и попытаемся найти функцию 7 такую, чтобы удовлетворялись .как уравнение (12.6), так и начальное условие (!2.7). Вычисляя частные производные и„и иь получим и„=(1 — и„Г) 7' ф, и, = ( — и — и,г) 7"'я), $ = х — и! . Подстановка этих выражений в уравнение (!2.6) дает ( — и — иД Г(~)+(и — ии,т) 7' Я) = 0 нли — !(и,+ии„)!'$) =О. Так как и(х, !) — решение уравнения (!2 6), то данноесоотношеяие удовлетворяется при любой дифференцируемой функции !(я).
Отсюда следует, что решение исходной задачи Коши (12.6), (12.7) определяется из неявного уравнения и (х, г) = и, (х — и (х, 1) ! ). (12. 9 звз Мы не будем заниматься анализом соотношения (12.9), а попытаемся получить необходимые в дальнейшем результаты другим способом — методом характеристик. Рассмотрим на плоскости (х, г) кривую, определяемую дифференциальным уравнением яб б)х 1 и(х, 1) (12. 10) илн — =и(х, 7), дх Ж и называемую характеристикой уравнения (12.6). Пусть х=х(1) — решение уравнения (12.!О), тогда А йХ вЂ” и (х ((), () = и, -)- и„— = иб + ии„! б=б1 б! = О, нб Ф т.
е. и(х(1),1) есть константа на кривой х=х(1) и, следова- тельно, как вытекает из (12.10), х=х(г) представляет собой прямую линию на плоскости (х, !) с наклоном и(х((), 1) =и(х(0), О) =ис(х(0) ), определяемым начальной функцией ис(~), ~=х(0). Для этой прямой можно записать уравнение (12. 11) 1 и,($) Чаким образом, мы получаем однопараметрическое семейство прямых, зависящих от параметра ~ и обладающих тем свойст- вом, что решение и(х, б) уравнения (12.6) на этих прямых ока- зывается постоянным. Это позволяет по начальной функции ис(я) определить функцию и(х,() в любой момент времени й Покажем, как это можно сделать практически.
Пусть начальная функция ис имеет вид, изображенный на рис. 7.!4, и равна нулю вне интервала (а, б). Выберем неко- торую точку ~бен(а, Ь) и построим соответствующую ей харак- теристику Гб„. х=-~ь+(иб($ь) с углом наклона !амбр=!/ис($,) на рис. 7.15. Всюду на этой характеристике и(г =иб($ь). 1х б гб 0 $=а Ф 4 4 4 ! 4б х Рис 7.14 Рис. 7.15 Проведем на рисунке горизонтальную прямую (=г, и опреде- 309 лим точку пересечения этой прямой с характеристикой Гь .
Пусть эта точка имеет координаты (х,, 1,). Изобразим теперь на плоскости (х, и) точку с координатами (хь и,Я„)). Проведем аналогичные построения для различных точек ~«~[а, о1, получим совокупность точек (хм из($,)), образующую некоторую линию на плоскости (х, и), представляющую график решения и(х,1) уравнения (12.6) для момента времени 1=1, (рис. 7.16). С помощью этой процедуры мы можем вычислить функцию и(х,1) для любых моментов времени. Отметим, что поскольку скорость переноса начального значения «,Д«) вдоль соответствующей характеристики 11! ! зависит от этого решения, то 1 начальный профиль и,(х) с «(х, г,,/ «(х,гь) течением времени искажает- 1 ся — имеет место явление ! дисперсии бегущей волны.
0 Обратимся вновь к рис.7.!5 и заметим, что, начиная с неРяс. 7,Ш которого момента времени 1= =1„т. е. при всех 1>1, характеристики, отвечающие различным ~,, начинают пересекаться, что приводит к тому, что при 1>1 профиль решения и(х, 1) оказывается неоднозначным, т.
е. одному значению х могут отвечать два и более значения функции и(х,1) (см. рис. 7.16). Таким образом, здесь мы сталкиваемся с явлением, носящим название опрокидывания волн. Понять причину этого опрокидывания легко, если обратиться к представлению решения (12.6), (12.7) в виде (12.9). Из этого представления следует, что чем выше амплитуда точки, тем с большей скоростью она распространяется.
Поэтому точки вершины волны обгоняют в своем движении точки подошвы волны. Заметим теперь, что возникновение неоднозначного профиля решения оказывается, как правило, противоречащим сути физической модели, описываемой уравнением (12.6), согласно которому и(х, г) — однозначная функция. Например, если мы рассматриваем волны в сплошных средах: в одной точке физические параметры не могут иметь различные значения.
Выходом из сложившейся ситуации является расширение понятия решения задачи (12.6), (12.7). 2. Обобщенное решение. Условия на разрыве Для того чтобы исключить неоднозначные решения, оказывается необходимым расширить понятие решения уравнения (12.6) и вместо непрерывно дифференцируемых решений рассматривать разрывные.
При этом, разумеется, необ- шо лодимо придать новый смысл выражению «функция и(х, !) удовлетворяет уравнению (12.6)». Естественным здесь является введение обобщенных решений так, как они вводятся в теории обобщенных функций. Напомним о п р е д е л е н и е. Будем говорить, что функция и(х, !) удовлетворяет уравнению (12.6) в обобщенном смысле, если для любого прямоугольника П,)=((х, !): х,<х<х,, 0<г,< <г<!») и любой бесконечно дифференцируемой и финитной в П,( функции ф(х, !) справедливо интегральное тождество ~ и)() (+ — п»)р„~ ((х ((! = О.
1 2 (12.!2) пх! Из (12.12) следует, что если обобщенное решение (12.6) непрерывно дифференцируемо, то оно удовлетворяет (12.6) в обычном смысле, поскольку, интегрируя (!2.12) по частям, по- лучим ') (и(+ ии,) ч)((хг)! = О. пх( ( и)()) + — ' и)))„1 ((х ((! = ()' ) )р соз (п !) и(-) + )() сов (л х) " ) ' ~ сЬ, „1 2 ") .) ! 2 г)к( ()) (и+)1) (а)1)+ — и'))),1((х ((! = — )))) соз(п"!) игь)+)() соз(п х) ~ сЬ.
2 ),)1 2 и(" 5 ы Здесь учтено, что функция и(х, !) в П((' (/г=1, 2) удовлетворяет уравнению (!2.6), и приняты следующие обозначения: соз(п" !) и соз(п х) — направляющие косинусы вектора нор- З(1 Отсюда в силу произвольности П„, и функции )()(х, !) будем иметь (12.6). Тем самым данное выше определение обобщенного решения действительно является расширенным понятием классического решения. Применим введенное понятие обобщенного решения для установления простейших свойств разрывных решений уравнения (12.6). Пусть и(х, !) — разрывное решение, имеющее единственный разрыв на кривой, описываемой уравнением х=з(!) и представляющей собой на плоскости (х, !) линию 5=((х, !): хс з(!)Е Рассмотрим произвольный прямоугольник П (, содержащий линию 5.
Предположим также, что в частях Пм и П„, (1) (2) на которые линия 5 делит прямоугольник П,(, решение и(х, !) непрерывно дифференцируемо, т. е. удовлетворяет (!2.6) в обычном классическом смысле (рис. 7.!7). Преобразуем формулу (12.12) отдельно в частях П,( и П„(, ()) (з) Интегрируя по частям, получим мали п=(соз(н 1), соз(п х)), изображенного на рис. 7.17; индексы «+» и « — » обозначают предельные значения функции и(х,1) на кривой 5 при стремлении к ней «справа» и «слева» от кривой. Складывая полученные формулы, имеем ф [соз (и 1) [и] + соз (и х) [ — ~ ~ с]з =- О, (12.13) 2 где [и]=и1- — и-.
Учитывая произвольность функции лр(х, 1), из равенства (12.!3) легко выводим, что соз (и 1) [п]+ с05 (и х) ~ — = О. (12.14) (]в ]5) Формула (12.!5) связывает скорость п„=з(1) распространения разрыва и значения решения и~ и и- слева и справа от разрыва. Она называется формулой Гюгонио — Ренкина, или формулой условий на разрыве. Знание этой формулы позволяет определить скорость распространения разрыва по значениям и- решения на разрыве, но, однако, не дает ответа на вопрос о положении разрыва х=-з(!). Мы не будем останавливаться на детальном решении этого вопроса, а укажем (без обоснования) лишь способ построения разрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
