Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Для определения вида функции 1 воспользуемся начальными (8.14) и граничными (8.15) условиями. Из первого начального условия получим и (х, О) = 7'(х) =0 при х еп К+, Тогда второе начальное условие также выполняется: и,(х, О)= — а)'(х)=0 при х~К~. Граничное условие (8.15) позволяет доопределить функцию 1(х) на отрицательной полуоси: и(0, !)=(( — а!)=р(!) 264 Следовательно, обозначая аргумент функции 1 через ~, полу- чим и, подставляя ",=х — а1, окончательно имеем х О, 0<1< —, и (х, 1)= р (1 — — ), 1> —. (8.16) и,(х.
1) — Ьи(х, 1) ~х=о=т(1) с нулевыми начальными условиями искать в виде правой бе- гущей волны и=)(х — а1), то для функции 1(с) при ~<0 полу- чается задача Коши 1" (Ь) — Ь) (Ь) = т ~ — = ~, 1 (0) = О. а / Решив эту задачу, получим для и(х, 1) при х>0, 1>0 выраже- ние и(х, 1) = О < 1< —, а х ) а — ае ' ~ е':т (~) с(~, о 1) —, х а справедливое и при Й=О, т.
е. в случае второй краевой задачи. 288 Замечание 1. При 0<1< — влияние граничного условия. а х не сказывается, и возмущение равно нулю. При 1) — возмущеа ние формируется граничным режимом. 3 а и е ч а н и е 2. В зависимости от гладкости граничной функции 1х(1) формула (8.16) представляет классическое или менее гладкое решение задачи (8.13) — (8.15). В случае, если формула (8.16) представляет собой классическое решение, функция р(1) должна быть дважды непрерывно дифференцируема на К~ и удовлетворять условию согласования начального и граничного условий 1х(0) =О, 1х'(0) =О.
Аналогичным образом легко показать, что если решение третьей краевой задачи й 9. КОЛЕБАНИЯ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАИСТВЕ В этом параграфе изучается задача для уравнения колебаний в неограниченном пространстве Ка в слу.чае трех независимых переменных: пи=а'Ли+1(М, !), (М, 1) ~й,=К'х(0, Т[, (9.1) и (М, 0) = д (М), и, (М, 0) = ф (М), М ~ К'. (9.2) 0 п р е дел е н и е. Классическим решением задачи (9.1), (9.2) называется функция и(М, 1), непрерывная и непрерывно дифференцируемая по 1 в замкнутой области Йз — — К'Х[0, о), дважды непрерывно дифференцируемая по 1 и по М в открытой области 1)з=К~Х (О, ао), удовлетворяющая в 11, уравнению (9.1), а при 1 0 начальным условиям (9.2).
Ниже будут указаны условия, при которых существует классическое решение задачи (9.1), (9.2). Будем считать, что данные задачи удовлетворяют достаточным условиям гладкости, при которых существует классическое решение. Эта задача является естественным обобщением одномерного случая, рассмотренного в предыдущем параграфе. Чтобы получить некоторые общие представления о решении задачи (9.1), (9.2), начнем с частного случая. 1. Сферически-симметричный случай (9.5) (9.7) (9.8) он=а'о„+гг (/, !), (г, 1) язз-ь, о(г, 0)=лр(г), о,(г, 0)=гф(г), г~К о(0, 1)=0, ген[0, со). 286 Введем сферическую систему координат с на- чалом в точке Мо. Пусть входные данные задачи (9.1), (9,2) являются ра- диально симметричными функциями в этой системе, т. е. ф= =ф(г), ф=ф(г).
Очевидно, решение также симметричная функция относительно точки М,. Поэтому получим следующую задачу для функции и(г, 1): д~и з 1 д / ди 1 — = а' — — [ г' — ~ + 1(г, 1), дм г~ дг, дг (9.3) (г, 1) ~Г1; =К" Х(0, оо), и (г, 0) = <р (г), и,(г, 0) = ф (г), г ~ К+, (9.4) 1и(0, 1)!(сю, 1е=[0, оо) (9.5) Задача (9.3) — (9.5) с помощью замены о(г, 1) =ги(г, 1) сводится к уже изученной задаче, описывающей одномерные колебания на полупрямой: Заметим, что граничное условие (9.8) является следствием естественного условия ограниченности (9.5). Решение задачи: (9.6) — (9.8), как яоказано в 5 8, представляется в виде суперпозиции правых и левых бегущих волн, распространяющихся со скоростью а от начальных возмущений и приложенных внешних сил. Тем самым и решение задачи (9.6) — (9.8) представляется в виде суперпозиции распространяющихся в радиальном направлении сферических волн, амплитуда которых.
убывает при удалении от центра (точки Мо). Такие колебания называются расходящимися и сходящимися бегущими сферическими волнами в зависимости от направления распространения от точки М, или к этой точке. 2. Формула Кирхгофа В этом пункте получим интегральное соотношение, аналогичное третьей формуле Грина для уравнения эллиптического типа и связывающее значения решения уравнения [9.1) в произвольной точке Мо в момент времени 1, со значениями этого решения и его производных на замкнутой поверхности 5, охватывающей точку Мм в предыдущие моменты времени.
Запаздывание во времени влияния данных на поверхности 5 связано с тем, что уравнение колебаний описывает процессы с конечной скоростью распространения сигналов (явление близкодейетвия): возмущение, возникшее в точке М' в момент времени г, сказывается в точке М~ не мгновенно, а й,и,м через промежуток времени Ы = ' . В одномерном случае. при рассмотрении явлений на фазовой плоскости областью влияния является характеристический треугольник, образованный характеристиками к — аг=С и х+аг=С, проходящими через точку Мо. Аналогично в трехмерном и двумерном случаях областью влияния является характеристический конус с вершиной в точке (Мм ~о).
На рис. 7.8 для наглядности приведем чертеж для двумерного случая. Множество точек (М, ~), определяемое условиями пм м =го ~ ~(ге й называется нижним характеристическим конусом точки. (Мм 1,) и определяет те точки М, из ноторых возмущение, вышедшее в момент времени г, предшествующий 1ю, в момент 1а доходит до точки Мм Множество точек (М, г), определяемых условиями лм,м ~а ~)~о составляет верхний характеристический конус точки (Мм 1о). 287 'Возмушение (сигнал), вышедшее из точки Ма в момент !„доходит до точки М верхнего характеристического конуса в момент времени й Для вывода интегрального соотношения сделаем замену независимых переменных, вводя локальное (местное) время точки (Мо, (а) по формуле (9.9) Очевидно, для точки (М,, (а) !'=О.
Введем сферическую систему координат (г, б, ф) с центром в точке Ма. Тогда в переменных г, б, ф, ! для функции и(г, б, ср, !) имеет место задача (9.1), (9.2), (м„г ) где Л вЂ” оператор Лапласа в сферической системе координат с началом в точке Ма. Перейдем в уравнении (9.1) к новым переменным г'=г, б'=О, и /', определяемому по формуле (9.9), сохраняя для пространственных переменных прежние нештрихованные обозначения, Обозначим и(г, б, р, г) =-и (г, б, ф, /'+ (/,— — ') 1=(/(г, б, р, !') а // и пересчитаем производные ди дУ ! дУ вЂ” = — + — —,, дг дг а дг' Рис 78 дии дсУ 2 дЧ/ 1 дЧ/ (9.
1О) +,+— дги дгй а дг дп а~ д/ ди дУ ди дУ да дУ дии диУ дд дд ' дф дф ' д/ д/' ' дР дГ' Подставляя формулы (9.10) в уравнение (9.!), получим дЧ/ дсУ дЧ/ д'У 2а' дУ вЂ”,= —,+а' — +Во, + — — + д/' д/' дги дг дп г дг 2а дУ аи += — + — б„(/+Р(М, /), г дг' гс (9.11) 288 где Г(М, /) =Е(г, б, ф, Г ) =1(т, б, ф, / 4,/Π— — ''1! =Кг. б, ф, /), а / а ! д г, д ! д' Ла„= — (з!пб !+ Мп д дд (, дд / Мпид д<р' — угловая часть оператора Лапласа в сферической системе координат.
Формулу (9.11) запишем следующим образом: ЛУ=- — — — (г — 1 — — Г(М, Г). (9.12) аг дг ! дп/ ао Предполагая существование решения уравнения (9.1), форму- лу (9.12) можно рассматривать как уравнение Пуассона, пра- вая часть которого является функцией параметра !'. Используя третью формулу Грина (см. формулу (!.7) гл. Ъ'), выразим решение уравнения (9.12) в точке (Мо, О) через значения ре- шения и его нормальной производной на произвольной глад- кой замкнутой поверхности 5, содержащей точку Мо внутри, и значения правой части уравнения (9.12) в области Р, огра- ниченной поверхностью 5: Ц(М„О) = — — гтй 1 — — У вЂ” — ~ Д5+ 1, г 1 дгГ д 1 4л. ~ г дл дл г г=о + — ~ — — (г — )~ Л'+, ~ ' о()г, (9.13) д где Р=Р()5, — — производная по внешней нормали.
да Объемный интеграл, стоящий в правой части формулы (9.13), является несобственным интегралом второго рода: — — ~ г — ) г()г = 1 пи ! — — ~ г — ) !Пг, 1 д д!1' . Г 1 д ды! дг ~ дн, е О а го дг; дк,) о огк, где К,— шар радиуса а с центром в точке М,. Преобразуем этот интеграл. Так как — — (г ) = — пгаб ( — ) пгао( ( г — ), то, используя первую формулу Грина, получаем д ~, дГГ „ ~ , ди о.к, о'ко — у г — — — гЬ вЂ” у г — — г(з, (9.14! дУ д 1 ' дИ д 1 дг дл г дк дл г 3 5 где 5, — сфера радиуса е с центром в точке Мо.
В области г ! Р(К,: б !1 — 1 = О. На поверхности 5, д ! 1 1 д 1 дл г дг г го оо 10 зэк зб1 289 Следовательно, 1!гп у г — — — гЬ= О. дУ д е о дн дл Поэтому, переходя в (9,!4) к пределу прн е- О, имеем — — (г — ) е!'й= у — — — 4(з. 1 д Г дУ ! 1 дУ дг ге дг ~ дк, г й' дл о 5 (9.!5) Подставляя (9.15) в (9.13), получим 1 г ! 1 дУ д 1 2 дУ дг (7(М„О) = — у ~ — — — У вЂ” — + — — — 1 гЬ+ 4л ~ г дл дл г аг д!' дл ! г =л (г(м,о! „ 4лае,) г о (9. 16) (7 (Р, О) =- и (Р, 1,— ' ), где Р ен о, пМ,П ! а дУ ди ди д! дг (9.17) — — — + — —— да дп дГ дг дп откуда а то, подставляя (9.17) в (9.16), окончательно получим !! ! 'д 1 1 ди Г !! ! д!е — и(Р, à — — ) — + — — Р, Г,— — ) — 1 гЬо+ ) дп !.~ а!! дГ ~ ',е ) дла 1 !(М,г, ) — г()г~, 14 = Ям,и.
(9.18) 4лае,! 'ем,м о Формула (9.!8) является искомым интегральным соотношением. Она называется формулой Кирхгофа. Вернемся в формуле (9.16) к первоначальным переменным, учитывая, что при !'=-О г=!е —. Поскольку а (9. 21) 4. Метод спуска Формула Пуассона (9.21) получена для общего трехмерного случая. Однако с ее помощью можно решать задачу для уравнения колебаний и на плоскости и на прямой. Рассмотрим сначала двумерный случай. Пусть входные данные задачи Коши не зависят от г: га=га(х, у), ф=ф(х, у), 1=1(х, у, 1). Тогда в формуле Пуассона (9.21) функция и также не зависит от г: ие и(х, у,1) — и от интегрирования по поверхности сферы можно перейти к интегрированию по ее проекции на плоскость г=О, т.
е. по кругу радиуса ай При этом следует учесть, что верхняя и нижняя полусферы проектируются на один и тот же круг (рис. 7,9), Очевидно, элемент йз поверхности сферы связан с ее проекцией с(п на плоскость г= =О соотношением да д$ зч с05 т с0$ т 292 решение задачи (9.1), (9.2) в явном аналитическом виде через входные данные задачи, имеет вид (нулевой индекс у 1 н М опущен) и(М, Г)=- — ~ — ~ 'Г ~ да+ ~ ~ гЬ~+ Ха1 хй 1(О, — ') 4яа' .) кме к ы Сделаем ряд замечаний.
3 а м е ч а н и е 1. Из формулы (9.21) следует теорема единственности решения задачи (9.!), (9.2) аналогично тому, как в одномерном случае единственность решения следует из формулы (7.24). 3 а меч а ние 2. Из формулы (9.21) следует устойчивость решения задачи (9.1), (9.2) по входным данным: малому изменению функций р, ф и 1 отвечают малые изменения решения и(М, 1). При этом возмущения входных данных можно задавать в норме Е,, а возмущение решения оценивать в равномерной норме. 3 а м е ч а н и е 3. Существование классического решения задачи (9.1), (9.2) можно доказать, непосредственно проверив, что при достаточных условиях гладкости входных данных функция (9.21) удовлетворяет всем условиям задачи. При этом достаточно потребовать, чтобы функция га(М) была трижды непрерывно дифференцируемой, а функции ф(М), 1(М, 1) были дважды непрерывно дифференцируемы в своих областях определения.
где у — угол между внешней нормалью к сфере и осью г н (9 22) сов у а( а) Рис. 7 9 Рис. 7.10 Поскольку с(з=гоо(со=(аг)'с(оо, то с учетом (9.22) получим на сфере радиуса г=а1 — =агйо — ' Ч . (9.23) г' (а1)о — (х — О)о — (у — Ч)' Интеграл в формуле Пуассона (9.21) по шару К.~ с центром в точке М и радиусом а) предварительно преобразуем следующим образом: )~~ 1 М ) )(д 1 лю) ко4 о м ао ах 1 — ~1(0, ' — т) )слш (~~. 4ла о хм ас Подставляя (9.23) и (9.24) в (9.21), получим двумерный аналог формулы Пуассона н(х у Г)= — ( — ( ' + 1 ( д ( ~рД, ч)д$дч 2ла ( д1 .) )7(а!)о — (х — $)' — (у — Ч)' УЛ4 ао + Ф (о, Ч) ядр — — — — + К (а1)' — ( — О)' — (у — Ч)' 1 уа Го(т Г )(х Ч ' ') "о"'1 (923) 2ла .) .) )l(ат)о — (х — й)о — (у — Ч)' о нм ах где (/,~ †кр радиуса а( с центром в точке М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
