Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Основная идея, иа которой основано это по. строение, опирается на следующий факт. Уравнение (!2.6), записанное в виде (12.!6) имеет вид одномерного уравнения неразрывности или закона сохранения. Интегрируя (12.16) по переменной х, получим — и йх = О, 7 = ~ и (х, 1) ох = ') ии (х) йх при естественном предположении и- О при х -+ос. Из этих формул следует, что площадь ! под кривой и= е и(х, г) оказывается инвариантной во времени, т. е. является интегралом движения. Разумеется, этот вывод снраведлнв лишь для однозначных решений и(х, 1).
' и+ — и !л«'О в силу разрывиости решеиии. 312 Поскольку соз (и 1)= , а соз(п"х) = , то из — (1) 1 с ЛН (11 '[/1 + Э (1] (12.14) после сокращения на и+ — и — ]э*1 получим Основная идея при проведении разрыва состоит в том, чтобы при построении разрыва сохранить этот интеграл движения н для случая разрывного решения. Это приводит к следующему правилу построения разрывов. Разрыв х=з(!) необходимо построить таким образом, чтобы 7(и), отвечающий разрывному решению, был равен 7(ио) для начальной функции ио.
Практически при наличии неоднозначного профиля, изображенного на рпс. 7.18, это делается так. Разрыв хе з(!) проводят таким Рис. 7.!8 Рис. 7.!7 образом, чтобы заштрихованные площади Я! и 5, были равны между собой. В результате мы получим из непрерывного неоднозначного решения разрывное, но уже однозначное решение, являющееся обобщенным решением уравнения (12.6). Условие на разрыве выполняется при этом автоматически. 3. Уравнение Кортевега — де Фриза и законы сохранения Функция Ч(х, !), описывающая процесс распространения длинных волн на поверхности воды, приближенно удовлетворяет уравнению Ч!+со (1 + — Ч) Ч,+ соЧ„„„= О, (!2.17) 2ао где )оо — глубина жидкости, с, = у' дй,— скорость длинных волн на мелкой воде, д — ускорение силы тяжести, Уравнение (12.1?) носит название уравнения Кортевега — де Фриза С помощью линейной замены переменных уравнение (12 !7) можно привести к виду (12 18) и,— бии,+и,„,=О, который мы будем называть каноническим видом уравнения Кортевега — де Фриза.
Уравнение Кортевега — де Фриза (12.18) обладает рядом замечательных свойств, одним из которых является наличие у з!з Наличие у уравнения Кортевега — де Фриза (12.18) бесконечного числа законов сохранения означает, что это уравнение обладает глубокой внутренней симметрией, которая и выделяет это уравнение среди других нелинейных уравнений, и позволяет построить чрезвычайно изящный метод точного решения, основанный на обратной задаче рассеяния для одномерного стационарного уравнения Шредингера. 4. Схема метода обратной задачи 1) Прямая и обратная задачи рассеяния Одним из методов интегрирования уравнения Кортевега — де Фриза является метод обратной задачи *>.
В этом методе для интегрирования нелинейного уравнения необходимо последовательно решить две линейные задачи. При этом оказалось, что с уравнением (!2.17) тесно связано дифференциальное уравнение зр,„+(Х вЂ” и(х, 1))ф=0, (12.19) которое в физической литературе часто называется стационарным уравнением Шредингера с потенциалом и(х,г). Функция и(х, Г) зависит от т' как от параметра, Х в (12.19) — числовой параметр.
Приведем некоторые необходимые сведения об уравнении (12.19) . О п р е д е л е н и е. Функцию 1(х, 1) будем называть быстро- убывающей, если гпах ~ (1+1х1)17(х, г)1йх( о. о<~< г Ниже будем предполагать, что потенциал и(х, Г) является быстроубывающим. Для уравнения (12.19) рассмотрим две задачи. Первая из них состоит в нахождении таких значений 1., при которых уравнение (12.19) имеет нетривиальные решения ф(х, Г)~Ее(Й'). (12. 20) м Снз Захаров В. Е, Манаков С В., Новиков С.
П., Пит а е в скин Л. П Теория солитонов Метод обратной задачи. Мл Наука, 1980 3!4 этого уравнения бесконечного числа законов сохранения, т. е. интегралов движения. Первые нетривиальные из них имеют вид (в= ') и(х, т)йх, 1в= '1 ие(х, Г)йх, (12.2!) Здесь И=А и функции а(я, () и Ь(й, Г) подлежат определению. С физической точки зрения рассмотренные задачи можно трактовать следующим образом. Первую задачу — как задачу о нахождении собственных значений (квантовомеханических уровней энергии) так называемых связанных состояний, определяемых нормируемыми на единицу в Е2((х') волновыми функциями ф(х, г). Вторую — как задачу рассеяния плоской волны единичной амплитуды на потенциале и(х, (). Коэффициенты ь(й, Г) и а(Ь, г) трактуются при этом как коэффициенты отражения и прохождения соответственно, причем !Ь(Ь, Г)! + (а(Ь, Г)! =1.
Первая задача для (!2!9) может иметь решение лишь при Х.(0, при этом эти решения имеют при х- +оо асимптотику следующего вида: ф„(х, () — Сы(Г)е "«', где Х = — к'„— собственное значение. Таким образом, для нормированных на единицу в Е,(Й') собственных функций ф„(х, Г), отвечающих собственным значениям Х = — хт „величины С (г) определяются из равенства С„,(г) = !пп ф,„(х, г) е""'~'", (12.22) Предположим теперь, что обе задачи для уравнения (12.19) решены и определены совокупности (х, С ) и (а(я, г), Ь(я, г)).
Эти совокупности принято называть данными рассеяния. Отыскание их для заданного потенциала и(х, !) составляет прямую задачу рассеяния. Пусть нам известны данные рассеяния для некоторого потенциала и(х, !). Поставим теперь задачу об отыскании по заданным данным рассеяния соответствующего потенциала. Эта задача носит название обратной задачи рассеяния Оказывается, что данных рассеяния вполне достаточно для однозначного определения потенциала. Конструктивно процедура его нахождения выглядит следующим образом. По данным рассеяния строится функция » и( . Г) ~~)1С2 (()е хт» ! ( 1 (Ь Г) м» У 2я „1 (12. 23) 315 Вторая — в нахождении при Хъ.О ограниченных решений уравнения (12.19) с заданным характером асимптотического поведения при х- -~оо; ф(х, Г) -е — '" -(-Ь(й, !)ем» при х-».-( оо, ф(Х, Г) — а(Ь, ()Е-М' Прн Х вЂ” — оо, называемая ядром уравнения Гельфанда — Левитана, а затем ищется решение ЛГ(х, у; с) следующего линейного интегрального уравнения: Х(х, у; т)+В (х+у; 1)+ ~В(у+г; Г)бГ(х, г; 1) с1г=О.
(12.24) к Решив уравнение Гельфанда — Левитана (12.24), по формуле и(х; г)= — 2 — Ю(х, х; 1) (12.25) вх определяем функцию и(х, с), которая и является искомым потенциалом и тем самым решением обратной задачи рассеяния. 2) Схема метода Рассмотрим задачу Коши для уравнения (!2.17): и и, — бшс„т- и„= — О, ! > О, — оо < х < оо, и(х, 0) =-и,(х).
(12. 26) Решение задачи Коши (!2.26) назовем быстроубывающим, если функция и(х,1) и все ее производные по х до третьего порядка включительно являются быстроубываюшими функциями. Возможность использования обратной задачи рассеяния для построения быстроубывающих решений (12.26) основана на следующих теоремах. Теорема 7.7, Если потенциал и(х, с) в (12.19) является оыстроубывающим решением уравнения Кортевега — де Фриза, то собственные значения Х = — н не зависят от времени б Теорема 7.8. Если потенциал и(х,1) в (12,19) является быстроубывающим решением уравнения Кортевега — де Фриза, то данные рассеяния С (с), Ь(й, 1) и а(й, 1) зависят от времени следующим образом: С,„(с) = С,„(0) ехр (4хз сс хг == — )с (12.
27) Ь(я, с)=Ь(я, 0)ехр(8сязс) я'=Х)0 а(й, 1)=а(й. 0). Пусть и(х, 1) — быстроубывающее решение задачи (!2.26), отвечающее быстроубывающей функции и,(х). Тогда данные рассеяния для этой функции и(х,1), рассматриваемой как потенциал в (12.19), связаны с данными рассеяния для потенциала ие(х) (=и(х, 0)) формулами (12.27). Следовательно, зная данные рассеяния для и,(х), можно по формулам (12.27) найти данные рассеяния для и(х,1) и затем, построив и решив уравнения Гельфанда — Левитана, определить функцию и(х,1).
Таким образом, мы приходим к следующей схеме отыскания быстроубывающих решений (! 2.26). Рассматривая уравнение ф„„+ ()с — сс, (х)) ф = О, Зсв + — ~ Ь(й, О) ехр(18йс1+гйх) с(й. кк Решив далее уравнение Гельфанда — Левитана (12.24) с ядром (12.28), по формуле (12.25) определяем решение и(х, () задачи Коши (12.26) для уравнения Кортевега — де Фриза. Итак, интегрирование уравнения Кортевега — де Фриза с начальным условием и(х,0)=на(х) в классе быстроубывающих функций сводится к последовательному решению двух линейных задач: прямой задачи рассеяния для потенциала ис(х) к уравнения Гельфанда — Левитана (12.24) с ядром (12.28). (12. 28У 5. Солитонные решения Рассмотрим простейший пример построения решения задачи Коши (12.26) для уравнения Кортевега — де Фриза на основе метода обратной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
