Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Теорема 8.8. При Ь(Р))0 на 5 краевая задача (3,3), (3.4) не моекет иметь более одного классического решения. Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что однородная задача Ли — х'и = 0 в О, — + Ьи ) з = О, Ь ) )О дн имеет только тривиальное решение. Применим к решению однородной задачи первую формулу Грина: иЛ,Д)т= 1 и д" Д5 — 1 (туи)еаза, дя ди ~ Учитывая, что Ли— = х'и, — ~ = — Ьи)з, получаем дь 1з хь ~ иЧ)т+ 1~ Ьит1(5+ ~ (тт и)' ~Лà — = О. Следовательно, и=О в П. ° Заметим, что условие на функцию Ь(Р) физически означает, что поток вектора агади направлен из области Р наружу.
Отметим, что, как и для уравнения Лапласа, условие на знак функции Ь(Р) существенно для справедливости теоремы. При Ь<0 на 5 решение может быть неединственным. В этом можно убедиться на конкретном примере. Легко проверить, что однородная краевая задача в шаре К„ радиуса а Ли — и'и=О в ʄ— +Ььи),=0 ди дн 1 при Ь,= — хс01ха+ — (О имеет нетривиальное решение а и= ьв хс Г где С вЂ” произвольная постоянная. В отличие от уравнения Лапласа внутренняя задача Неймана для уравнения Ли — хти=О также имеет единственное решение. Доказательство следует нз приведенного рассуждения, поскольку оно справедливо и при Ь=О на 5. 3. Краевые задачи для уравнения Ли+ Ф-'и= — 0 Внутренние краевые задачи для уравнения Ли+ +Ьеи=О (с=йт>0) могут иметь неединственное решение. Это связано с тем, что собственные значения оператора Лапласа ззз неотрицательны (для третьей краевой задачи — при 6)О).
Поэтому значение й' .может совпадать с собственным значением соответствующей краевой задачи. Рассмотрим для примера задачу Днрнхле Аи+йеи=О в О, (3.5) и1з=О. Если йе не совпадает ни с одним собственным значением оператора Лапласа для задачи Дирихле в области Р, то задача (3.5) имеет только тривиальное решение. Это означает, что соответствующая задача с неоднородным граничным условием не может иметь более одного решения, т.
е. классическое решение единственно. В этом случае область О часто называют <не- резонансной для данного значения й'». Если же йз совпадает с каким-либо собственным значением оператора Лапласа для задачи Днрихле (л'=Ал,), то задача (3.5) имеет ненулевое решение. Этим решением будут собственные функции пп1(М),..., о1»1(М), р=гапд Л„, соответствующей задачи Штурма — Лнувнлля. Поэтому при йе=Х„, неоднородная задача имеет решение не всегда, а если имеет решение, то оно неединственно. й 4.
ФУНКЦИЯ ГРИНА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА Функция Грина для оператора Ли+си вводится так же, как и для оператора Лапласа. На примере задачи Дирихле кратко напомним, как это можно сделать, и отметим некоторые особенности. Рассмотрим следующую задачу Дирихле: Аи+йеи= — Г в О, (4 ' и~а — — ~. Согласно третьей формуле Грина (2.7) решение задачи во внутренних точках области е) можно представить в ви,"- 1 ) ди емл д емн и(М) = — л ) — — и — ~ е(5р+ 4л У ( дл имр дл кмр +' ~Г' а. и Пусть п(М) — регулярное в (1 решение однородного уравнения Ап+й»о=О. Применяя к и и и вторую формулу Грина, по- лучим О = ~ ~ — "о — и — "~ НЯ-(- ~ РосП/. 3 Б (4.37 Складывая (4.2) и (4,3) и вводя обозначение ,'"яме 6(М, Я)= +и, 4 ймЕ получим и(М)=~6 1 — 6(М, Р) — и — (М, Р)~ »Юр+ ;7 (дп ' дпр + ~Р(6)6(М, 6) (). о (4.4) и (М) = — ~ ~ (Р) — (М, Р) 4Ж+ ~ Рбгй.
5 о (4. 37 О п р е д е л е н и е. Функция 6 (М, Я) называется функцией Грина оператора Ли+Аз и для внутренней задачи Дирихле в области й, если она удовлетворяет условиям: 1) 6(М, ф = ехр(йК)+и, 4пй где о — решение уравнения Ло+й'о=О всюду в 6; 2) 6 (М, Р) ~ р»з = О Вопрос о построении функции Грина сводится к решению однородного уравнения по+/Ро=О в 0 со специальным граничным условием на 5: Е амр о~э= где 4пн чр р» 3 1алогичным образом вводится функция Грина для второй иа ' гьей краевых задач. ние ~метим (без доказательства), что функция Грина краевой ско 4и для оператора Ли+А2и в области 6 существует только .ом случае, когда йз не совпадает ни с одним собственным ..качением соответствующей задачи Штурма — Лиувилля в области О, т.
е. область Р, для которой строится функция Грина, является нерезонансной для данного значения й'. Функция Грина для оператора Ьи — к'и определяется аналогично. Но для этого оператора функция Грина существует при всех и для любой поверхности Ляпунова. Это связано с тем, 337 Выберем функцию о так, чтобы б~р»з=О. Тогда решение задачи (4.1) можно представить в виде что оператор Лапласа для первой, второй и третьей краевых задач (третьей — при А>0) отрицательных собственных значений не имеет.
й 5. ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Аи — хгя= — 1 В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ Перейдем к изучению задач для уравнения ба+си= — Г в неограниченной области. Для выделения единственного решения необходимо поставить дополнительные условия на бесконечности. При этом условия на бесконечности ставятся по-разному при с- — хг(0 и при с=йг>0. Рассмотрим сначала случай с= — хг<0. Будем считать, что функция Г локальна.
В этом случае дополнительным условиези, выделяющим единственное решение, является требование равномерного стремления решения к нулю на бесконечности. Теорема 8.6. Уравнение Ьи — и'и= — ) в неограниченном пространстве не может иметь более одного решения, равномерно стремящегося н нулю на бесконечности. Доказательство. Пусть существуют два решения и, и им равномерно стремящиеся к нулю на бесконечности. Тогда функция о=и,— иг является решением однородного уравнения Ьо — хго=О во всем пространстве и о 0 на бесконечности. Пусть существует точка Мь такая, что о(Мь)ФО.
Для определенности будем считать, что о(М,)=А>0. Так как и 0 на бесконечности, то существует такое )(, что при всех А г К о(М)( —. Тогда точка Мь будет лежать внутри ша- 2 ра радиуса )г с центром в начале координат, и, следовательно, функция о(М) достигает во внутренней точке этого шара положительного максимального значения. Это противоречит принципу максимума. Следовательно, о= — 0 во всем пространстве, т. е. и~ —= иг ° На основании отмеченных выше свойств потенциалов Гельмгольца легко установить, что в случае локальной непрерывно дифференцируемой в Вь функции ((М) (.04 —— зпрр)) решение уравнения Аи — х'и = — ) (М) существует и выражается формулой и(М)= — ~ ~йч)д)те.
4п,> й о. Аналогичным образом может быть доказана единственность решения внешней краевой задачи Аи — хэи= — г" в Р„ 338 и13 =), равномерно стремящегося к нулю на бесконечности. Можно показать, что для решения уравнения би — хзи= — Г„ равномерно стремящегося к нулю на бесконечности, в неограниченной области справедлива третья формула Грина ди е е и(М) — (~ 1 е и е ~е(Я 4и Т(ди И дп И + — ~(~ ' Л', М~Р„ 4и,) И о, где Р, — носитель функции 1(М), п — нормаль к поверхности 5, направленная внутрь области О. Из формулы (5.1) следует оценка убывания функции и(М) на бесконечности: и(М) =0(е "') при г-~оо. (5.1) $6. ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ Ьи-Ь Л'и= — / В НЕОГРАНИЧЕННОИ ОБЛАСТИ При изучении уравнения Ьи+йеи= — 1 в неограниченной области ситуация более сложная. Решения (2.3), (2.4), полученные в 3 2, на бесконечности убывают одинаково. Требования равномерного стремления к нулю на бесконечности явно недостаточно для выделения единственного решения.
Нужны более тонкие условия. В этом параграфе будут сформулированы сначала физические условия, а затем н математические условия на бесконечности, и доказана соответствующая теорема единственности. 1. Условия излучения Рассмотрим в неограниченном пространстве уравнение (6.1) Ли+яеи = — Г, ззв где à — локальная функция. В $2 было установлено, что решение уравнения (6.1) можно рассматривать как амплитуду установившихся гармонических колебаний (волн), создаваемых локальным источником с амплитудой )(М). Поскольку функция г(М) локальна, то источники волн расположены в конечной области пространства, и от этих источников на бесконечность уходят волны, которые вдали от источников ведут себя как уходящне сферические волны. Поэтому физическим условием, выделяющим единственное решение уравнения Ли+яеи= — Г, является следующее требование: найти решение, соответствующее уходящим на бесконечность волнам.
Теперь нужно оформить это требование математически, т. е. сформулировать такие математические условна, которые бы выделяли единственное решение уравнения (6.1) (соответствующее уходящим на бесконечность волнам). Чтобы сформулировать эти условия, снова рассмотрим уравнение колебаний — ' — = Лс1. ае В одномерном случае оно имеет вид д4У дУ д1«а„и и допускает реШение в виде плоских волн; У,(х, 1)=1,(х — а1), распространяющейся в положительном направлении оси х, и с1,(х, 1) =~,(х+а1), распространяющейся в отрицательном направлении оси х. Легко проверить, что каждая из них удовлетворяет «своему» соотношению: дУ1 1 дУ, дУ, 1 дУ, — '+ — — '=О, — * — — '=О дх а д1 ' дх а д1 и не удовлетворяет «чужому». Если рассматривать установив- шиеся гармонические волны с временной зависимостью е '"': У1,г(х, 1)=ива(х) е '"', й= —, а то эти соотношения принимают вид да, дх — — йи,=О для волны, распространяющейся в положительном направлении оси х; — +йи,=О да, дх для волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
