Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В этих формулах для нас существенным является то, что знак в этих условиях выделяет волну определенного направления. Отметим, что при выбранной временной зависимости в виде комплекснозначной функции амплитуда установившихся колебаний также, вообще говоря, оказывается комплекснозначной функцией. В этом случае для нее часто применяется термин «комплексная амплитуда». з40 Рассмотрим теперь сферические волны, т. е. сферическисимметричные решения уравнения колебаний в пространстве: Это уравнение можно переписать в виде 1 д! д! — — (ги) = (г(!).
а! дР дг! Следовательно, для функции У=гс! получается одномерное уравнение колебаний, общее решение которого имеет вид У = !! (г — аг) + ~з (г+ а!). Итак, сферические волны в пространстве имеют вид (1,(г, !)= '' "' и и,(г, !)= 1*'+~) Г г Первая из них — У!(г,1) — представляет волну, уходящую на бесконечность (уходящая сферическая волна), вторая— О!(г,!) — волну, приходящую из бесконечности. По аналогии с одномерным случаем рассмотрим дифференциальные выражения аи : аи — *— дг а д! Для ы и,(», 1) аи, ! 'аи, 1 — '+ — — ' = — — ~! (г — а1)+ — ~; (г — а1)— дг а д! г! г Функции !! и ), естественно считать ограниченными. Поэтому ди, ! ди, + — — =о ( — ! при г-~со.
дг а д! Аналогично ди~ 1 див г ! — ' — — — '=о( — ) при г-~со. дг а д! ( г Опять рассмотрим установившиеся гармонические волны с вре- менной зависимостью е-": У!л(г, !)=и!л(г)е — '"". Тогда получаем соотношения для расходящихся волн: ди! . /! — — !йи!=о (г — ), г-ч-со, дг Г 341 и для сходящихся волн: — + Ии, .= о ( — ), г — ~ оо, дие . ! 1 дг Опять видно, что условия, которым удовлетворяют сходящиеся и расходящиеся сферические волны, различны. Поскольку физически ясно, что волна, созданная источниками, расположенными в конечной области, вдали от источников подобна уходящей сферической волне, то естественно предположить, что математическими условиями, выделяющими уходящие (расходящиеся) волны, будут условия и=О ( — ), г-е-оо, ди .
/1 — — йи=о ( — )„г-+-оо. дг г (6.2) Яме= )Г г'+г1 — 2гг,созР, 2 где соз р=соз О сов О,+ з(п О з(п О! сов(!р — «р!). Следовательно, при г — оо и фиксированном значении г, Йме = г+0(1) Кме г — г,соей, г 1 ) =1+0(— дг ме Поэтому ()с = — )~ме) (--) '— д . емн' д е! Л ди . е — й) дг ) Р д!1 !с дг !с 1 1 е!еи дй . е!ел =(й — ) — ' — — й — ' !! ) !с дг !с =(й — — ') — '(1+О( — ')) — й — '=О( — ', ) независимо от положения точки Я, находящейся на конечном расстоянии г, от начала координат.
И2 Условия (6.2) называются условиями излучения, или условиями Зоммерфельда. Первое из условий (6.2) означает, что и(М) при г-+.оо ведет себя как сферическая волна, второе — что эта волна, уходящая на бесконечность. Далее мы покажем, что условия излучения (6.2) действительно выделяют единственное решение уравнения (6.!). Сначала покажем, что условия (6.2) из фундаментальных решений (2.3), (2.4) выделяют только одно. Введем сферическую систему координат.
Пусть точка М имеет координаты (г, О, <р), точка Я вЂ” (г!, О!, ер!). Тогда для функций, удовлетворяющих условиям излучения на бесконечности, справедливы формулы Грина во внешней неограниченной области. Как мы установили, фундаментальное решение е' н удовлетворяет условиям излучения. Поэтому тем же условиям на бесконечности будет удовлетворять и объемный потенциал ,маме 11(а) ', л',, т построенный на его основе. Отсюда сразу следует, что при со- ответствующих ограничениях на Г(® функция ма и(М)=~)(Я) г(' г мч ди .
г1 — — йи=о ( — ) при г — ~-оо (6. 4У дг г согласовано с выбранной временной зависимостью е — '"' и вы- деляет уходящую волну только при этой временной зависимо- сти. Если временная зависимость выбрана в виде е'"', то ус- ловие, выделяющее уходящую волну, имеет внд ди . г! +Иич о ( — ), г-з-оо, дг (,г (6.5) Это означает, что если временная гармоническая зависимость известна заранее, то в соответствии с ней выбираются условия на бесконечности. Если временная зависимость заранее не известна, то на бесконечности можно поставить как условие (6.4), так и условие (6.5). И то и другое условия будут выделять единственное ре- 344 является единственным решением уравнения Ьи+й'и= — Г, удовлетворяющим условиям излучения на бесконечности, С помощью установленной формулы Грина для уравнения Гельмгольца во внешней неограниченной области могут быть доказаны и теоремы единственности решений внешних краевых задач для этого уравнения, удовлетворяющих условиям излучения на бесконечности.
Однако эти доказательства требуют привлечения дополнительных аналитических свойств решений однородного уравнения Гельмгольца и ряда вспомогательных рассмотрений, которые здесь приводить не будем. Сделаем еще одно важное замечание об условиях излучения. Условие шение уравнения Аи+йзи= — 7, но эти решения будут различны. А при физической интерпретации решения следует учитывать нужную временную зависимость, которая соответствует расходящимся волнам. В двумерном случае условия излучения имеют вид и = О ( =), г -э. оо, ди . ! 1 — — Ии=о ( — !, г-+- о, дг (, !Iг / (6.6) при временной зависимости е-" или и=О(=), г-~со, ди . ! ! — +Йи=о( — ), г-э оо, дг ~ г (6.7) при временной зависимости е!"'.
Первое условие в (6.6) и (6.7) также является следствием второго. Доказательство теорем единственности проводится аналогично. 2. Принцип предельного поглощения можно рассматривать как амплитуду установившихся гармонических колебаний. Будем исходить из этой же модели, но считать, что колебания (или волны) распространяются в среде с поглощением. Распространение волн в среде с поглощением описывается уравнением — ', — ',*~+~ ',~ =ли+ай(м, г), (6.8) 345 Условия излучения представляют собой аналитические условия, выделяю!цие единственное решение. Они удобны в том случае, когда уравнение решается в неограниченном пространстве либо когда граничная поверхность расположена в конечной области. Если граничная поверхность уходит на бесконечность, то может оказаться, что условия излучения в сформулированном виде неприменимы. В этом случае нужно либо сформулировать условия излучения в ином виде, применительно к конкретной задаче, либо пользоваться некоторыми другими принципами выделения единственного решения.
Таких принципов несколько. Они состоят не в формулировке дополнительных условий, которому должно удовлетворять решение, а в указании алгоритма, который позволяет выделить нужное решение. Рассмотрим принцип предельного поглощения. Физические основы принципа предельного поглощения очень наглядны. Ранее было установлено, что решение уравнения Ли+йзи = — Г в котором коэффициент 6>0 характеризует поглощение среды. Предполагая, что правая часть (6.8) имеет вид Р(М, г)=г(М)е — '"", будем искать решения (6.8) с той же гармонической зависимостью от времени: (т'(М, 1)=и(М)е ' '.
Тогда для комплексной амплитуды установившихся гармонических колебаний в среде с поглощением получим уравнение Ли+ (йо+ иор) и = — 1, А = —. а Обозначим до=й'+1го6. Тогда уравнение можно переписать в виде би+ дои = — 1. (6.9) Таким образом, амплитуда установившихся гармонических колебаний в среде с поглощением описывается уравнением Гельмгольца с комплексным коэффициентом д. Пусть д=до+ 1дь Тогда Ч~~ +2~ЧоЧт — Ч1~ =й + (о4.
Отсюда находим (6.10) Очевидно, что !пило=~К 1ппд,=О. а о В-о Уравнение (6.9) имеет два решения: еоовн ил о — ~ма+'И и,=~~ ' о(У и ио=~ г ' о(У, 4~тЛ 4~И т т причем при р>0 (д1ФО) одно из них экспоненциально стремит- ся к нулю на бесконечности, а другое — неограниченно возрас- тает. Знак в выражении (6.10) для д выберем так, что д,= =1тд>0. Тогда решение ио(М) неограничено на бесконечно- сти, а для ограниченного решения и,(М) имеем , "мо 11ш ит (М) = — ( ~ (1~) йУе, а о 4я,~ ймч т т. е. при 6 0 получается решение уравнения Ли+Аои= — 1, со- ответствующее уходящей на бесконечность волне. Таким образом, алгоритм выделения единственного решения уравнения Ли+Ни= — 1, соответствующего расходящимся вол- нам, можно сформулировать как требование, чтобы функция и(М) являлась пределом ограниченного решения уравнения 346 ~ (Ьи + у»и) и* сПГ = О, ое которое в силу условий на бесконечности, используя формулу Грина и граничные условия„можно переписать в виде 1 — '" *— —" и* Н — ~ ! х7 и !» Л'+ д' ~ ! и ) ' с(У = О.
дл 5 ое ое Беря мнимую часть полученного равенства, имеем 1т~ — и" с(В+вр ~~и~»с(У=О. дл 3 о, В случае первой или второй краевых задач поверхностный ин- теграл равен нулю, а в случае третьей краевой задачи в силу граничного условия Т ди Т я(Р) что вместе с (6.11) дает и(М) = 0 в О,. (6.!1) 347 (6.9) с комплексным коэффициентом д при стремлении к нулю поглощения р, при этом знак 1гпо должен быть согласован с выбранной временной зависимостью. Такая процедура построения решения носит название «принцип предельного поглощения», Принцип предельного поглощения основан на том физическом факте, что при отсутствии источников на бесконечности при наличии в среде даже малого поглощения могут существовать только уходящие волны. Принцип предельного поглощения имеет более широкую область применимости, чем условия излучения в форме Зоммерфельда. В двумерном случае этот принцип формулируется точно так же.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
