Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике (1993) (1095473), страница 52
Текст из файла (страница 52)
дл Поскольку !зи„ = — Ллри„, и„)з= О, то Л„~ ри„!(У= ~ (х7 и„)'Я. в о Отсюда сразу следует, что Лл>0 при всех л. Это также означает, что функция Грина является определенно положительным ядром, разложение которого в ряд по собственным функциям получено в 5 4 гл. Ч: (1 .8) ил (М) и„(О) Л„ лсн Заметим, что для задачи Штурма — Лиувилля с граничным (' дл ~ условием Неймана ( — ! = 0) из (1.8) следует, что она име- ~ дл )з ет наименьшее нулевое собственное значение.
С этим обстоятельством связана неединственность решения внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа. Наконец, заметим, что в случае задачи Штурма — Лиувнлля с третьим граничным усло! ди)л" вием ( — +ли~ = 0) при отрицательной функции л(Р) (О (, дл задача может иметь конечное число отрицательных собственных значений Л,. 3. Собственные функции ортогональны в области Р с весом (М) ~ и„и р<(У = 0 при л Ф и. о (Лл — Л ) ~ и„и рс(У=О. о Для доказательства применим вторую формулу Грина к функциям ил и ил! (и„!Лцл — и,л!Ли„) !(У= ~ ~и„— — и — ") !15. дл и 3 Учитывая уравнение (1.1) и граничное условие (1.2), отсюда по- лучаем Следовательно, ~ и„и рй)т= О при Л„ ~ Л .
о Поскольку ранг собственных значений конечен, то, проведя доцолнительную ортогонализацию линейно независимых собственных функций, соответствующих одному собственному значению, получим ортогональную систему всех собственных функций. В дальнейшем будем считать, что она ортонормирована: ~ и„и„рЮ= б„ при всех и и и. о 4. Те о р ем а 8.1. (Теорема Стеклова). Произвольная дважды непрерывно дифференцируемая в замкнутой области 5 функция ! (М), удовлетворяющая граничному условию У! =О, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям задачи Дирихле. Доказательство. Эта теорема является следствием теоремы Гильберта — Шмидта.
Действительно, подействуем на функцию 1 оператором Лапласа и обозначим Ь(М)= — а1. Можно считать, что 1(М) есть классическое решение задачи: аГ'= — й, Р~ =О, которое записывается через функцию Грина ((М) = ~ б(М, ())й(()) й . о Пусть Р(М)=((М) У;р(М), й!(О)= Ур (!1) Тогда Р (М)= ~ К(М, (г)п!(фй)т. о Функция Е(М) истокообразно представима при помощи ядра К(М, Я). По теореме Гильберта — Шмидта она разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функ- циям этого ядра. Следовательно, Р(М) =~ Р„о„(М), Р„= ~ Р(М)с„(М)йт', л=! о или ) (М) =-), Р и„(М), Р„= ~ Ги„рй'т'=1„. л=! о 323 Замечание. Из теоремы Стеклова вытекают полнота и замкнутость в 1.,(Р) системы собственных функций.
Действительно, произвольная функция 1~Е2 может быть приближена в среднем (по норме Ез(Р)) достаточно гладкой функцией 1„ удовлетворяющей граничному условию 1! ~ з=О! У вЂ” Ы!с..<щ < —. Функция 1! удовлетворяет теореме Стеклова и может бытьприближена равномерно' и, следовательно, в среднем частичной суммой ряда )(~, — ~~~)„и„(М)! < —.
л=! Поэтому и !!! )! г (М) — ~, Г„и„(М) )( < Ц) — Я/+ (1! — ~" Г и„(М) ~) < з. и=! и=! Следовательно, система собственных функций (и (М)), полна и замкнута в пространстве Ц (Р). В заключение отметим, что установленные свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма — Лиувилля для оператора Лапласа имеют место и в случае более общего эллиптического оператора дивергентного типа: 1.и = !1!нг (й (М) ига!1 и) — !) (М) и при достаточно гладких в Р положительных функциях й(М) и д(М). Не проводя подробных доказательств, кратко остановимся на задаче Штурма — Лиувилля для самосопряженного эллиптического оператора йи+)ри=б1ч(й игам и) — !)и+йри= О, М ~ Р и1з=О.
Рассмотрим вспомогательную задачу: 1,и= — Г(М), М а=Р, (1.9) и(з=О. (1.10) С помощью формул Грина легко доказать теорему единственности задачи (1.9), (1.10) для достаточно гладких функций й(М) )О, д(М) ~0. Записав уравнение (1.9) в виде ч Ли = — х7 (1 п й) т7 и + ди — ~, д = —, 1 = —, а' а' 324 для решения задачи (1.9) — (1.10), если оно существует, полу- чим представление и(М)= ~ 6(М, Я) ху!пй(Я) ху и(6)с(Р'— о — '! 6(М, Эд(Я)и(Я)~(Р'+Р(М), о Р(М)= ~б(М, б) ~(Я)~Л/, о где а 6(М, ® — функция Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа: Аб (М Ма) = й (М Мч) б! =0, существование которой для достаточно гладкой поверхности 5 было доказано выше. Используя тождество !ту (иб ху !п й) = б х7 1и й х7 и+ и ху (6 ху 1п й), теорему Остроградского н условие (1.10), полученное для решения задачи (1.9) — '(1.10), представление можно переписать в виде и(М)+ ) х7ч(6 (М, 6) хт!и л(Я)) и (б) пУ+ о + ~6(М, б)д(б)и(б)сП/=Е(М).
(1.11) о ~-не= 1е(М, Мо) и,(з — — О, где положительная функция г,(М,М~) отлична от нуля лишь внутри шара К, радиуса е с центром в точке М,, а 325 Данное представление есть не что иное, как интегральное уравнение Фредгольма второго рода с полярным ядром. Аналогично предыдущему доказывается эквивалентность краевой задачи (1.9), (1.10) и интегрального уравнения (1.11).
Причем в силу теоремы единственности для задачи (1.9), (!.10) однородное интегральное уравнение (1.!1) имеет только тривиальное решение. Последнее справедливо и для уравнения с повторными ядрами. Отсюда следует, что краевая задача (1.9), (1.10) однозначно разрешима. Рассматривая последовательность краевых задач: !пп ( 1, (М, М,) ай/ = 1, о-о о и переходя к пределу при е- О, можно показать, что существует регулярная обобщенная функция 6(М, Мо), являющаяся решением краевой задачи: ~6(М Мо) = б(М Мо) 6! =О. Легко доказать, что функция 6(М, Мо) — симметричная функция своих аргументов. Функцию 6(М, Мо) естественно назвать функцией Грина задачи Дирнхле для оператора Еи в области 6.
Через эту функцию Грина решение задачи (1.9), (1.10) выражается в виде Вернемся теперь к исходной задаче Штурма — Лиувилля. Из проведенных рассмотрений аналогично случаю оператора Лапласа следует, что эта задача эквивалентна однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода с снмметризуемым ядром: и (М) = Х 1 6 (М, 6) р (1г) и (6) иУ, о откуда и следуют основные свойства собственных значений и собственных функций этой задачи. 5 2. СВОИСТВА РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В гл.
у' были подробно рассмотрены свойства гармонических функций, т. е. решений уравнения Лапласа. Сейчас будем исследовать свойства решений уравнения Ли+ си=О, где с — некоторая постоянная. 1. Фундаментальные решения уравнения Гельмгольца При изучении свойств гармонических функций важную роль играло фундаментальное решение уравнения Лапласа. Построим фундаментальное решение уравнения Ьи+ + си=О. Рассмотрим сначала трехмерный случай.
Будем действовать по той же схеме, что и при построении фундаментального решения уравнения Лапласа. Пусть Мо — некоторая фиксированная точка. Введем сферическую систему координат (г,О,~Р) с 326 центром в точке Мь Найдем решение уравнения Ли+си=О, зависящее только от г (радиально-снмметричное решение). Расписывая оператор Лапласа в сферической системе координат и учитывая, что и зависит только от г, получим (2.1) Поскольку 1 д / ди ' 1 'д~ — — ( г' — ) — = — — (ги), дг (, дг г г дг~ то, сделав замену о = ги, уравнение (2.1) запишем в виде гио + со=О.
(2.2) Рассмотрим отдельно случаи с ) О и с с- О. Пусть с = /г~ ) О й — действительно, и )О). Уравнение (2.2) принимает вид —,+.Ф'о =О. Решение его можно записать в виде о =С,еы'+С,е или, используя вещественные линейно независимые решения, в виде о = А, соз lт+ А, з( п йг.
При с= — х2 (х — действительно, х>О) решение уравнения (2.2) имеет внд о=С,е"'+С,е — "'. Таким образом, найдены следующие радиально-симметричные относительно точки М, решения уравнения Ли+си=О: Е~'~г и= при с=й')О, г миг и= ' при с= — х'<О, г г = )~ими Отметим, что все эти решения при М-+Ми имеют одинаковую особенность, совпадающую с особенностью фундаментального решения уравнения Лапласа. Рассмотрим поведение этих решений при г-~-ои. В случае 1 с= — х2 одно решение — ехр( — хг) экспоненциально убывает г 327 1 на бесконечности, второе — — ехр (кг) — неограниченно воз- Г растает на бесконечности и физического смысла не имеет, Фун- даментальным решением при с= — 555 называется решение е ПаММ 'чмм, При с=й5)О ситуация более сложная, поскольку оба решения емлмме е мямма и "Чмм, Пмм, а также действительное решение 005 Имм Пмм, (2.4) 1 д 511 а' д15 (2.5) описывает распространение волн в однородном пространстве (а — скорость распространения волн).
Если рассматривать ус- тановившиеся гармонические волны, зависящие от времени по закону Ц(М, Г) =е '0'и(М), то для амплитуды волны и(М) получаем интересующее нас уравнение ме Ли+йеи=-О, й'= —, а' Таким образом, сферически-симметричные относительно точки М, решения уравнения (2.5), построенные на основе (2.3)— (2.4), имеют вид — 15я+ Фя — ьм — эа 005 ек , е — '"" Я Й 328 при )5= — )тмм, — ~ 0 убывают по одному и тому же закону. 5!П ЕК Еще одно действительное решение мы не рассматрива- Я ем, так как оно ограничено во всем пространстве. При изучении уравнения Ли+йзи=О в ограниченной области решения (2.3), (2.4) эквивалентны и каждое из них является фундаментальным решением этого уравнения.
Рассмотрим физическую интерпретацию этих решений в неограниченном пространстве н выясним, чем они отличаются друг от друга. Ранее мы установили (гл. ЧП), что волновое уравнение мм, †!и оа Лмм, 1 Решения — ехр(~ 1а)с) представляют собой амплитуды рас- Я пространяющихся сферических волн. Они называются фунда- ментальными решениями уравнения Гельмгольца в неограни- ченной области. Для выделения одного из них следует на бес- конечности поставить дополнительное условие, которое будет рассмотрено позже. Еще раз подчеркнем, что в ограниченной области решения (2.3), (2А) эквивалентны. Рассмотрим теперь плоский случай. Введем полярную си- стему координат (г, гр) с началом в точке Мо. Решение и, зави- сящее только от г, удовлетворяет уравнению 1 Е! Еи! — — (г — )+си=О, или Еои 1 ~1и — + — — +си=О. Его г дг (2.6) При е=й')Π— это уравнение Бесселя нулевого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
