Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда дгас( (ср+ ф) = ягас) ср+ дгас) ср, (2. 14) втаб (срф) = ср атас( ф+ ф ягас) ср, (2.15) йгас1((р) =7' (ср) нгас(о, (2. 16) згаб.Г(ср' ф) д згас) ср+д — я ду. я причем в правых частях (2,14), (2.15), (2.17) знак+обозначает сложение векторов и встречающиеся в правых частях (2.15), (2.16), (2.17) произведения суть произведения вектора на скаляр. В самом деле, йгас((р+ф) =1 — -„-' ' + ... = д(ср+ф) = (1 — + ° ..
) + (с д ' + . ° ° ) — Дгас( ср + Ягаб сП а 6 (рф) = ' „' + = г (д — ф+ р д 1+ ° д (тар) ° с'дт дф1 =Ф(1 —,+ )+р(1 —,'+ )=И 6р+ра бф' ьгас)7(ср) 4 д + ' ' ' 47 (ср) д + . ду (ср) ., дч = 7'(р) (1 д— ', + ) = У'(р) йп 6 ай 5 Зак. 1944. П. и. Романовский (гл.
и ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Многоточия всюду обозначают, что следует вписать второе и третье слагаемые, аналогичные первому, получающиеся из него в результате замены г на г' и й, а х на у и г. и 5, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ~ Р(,х, у, г) йх = 1пп ~ Р(Ц, ти, ';) Дхб АВ / Ц(х, у, г) йу = Ит ~ 1;1 Д, тн, гы) Ду;; АВ ~ )с(х, У, г)йг= 11ш~ )с(с;,та ~г)Дгр АВ где Р, ~, тс — непрерывные функции на дуге АВ. (2.
18) (2. 19) (2.20) Дугу кривой называют гладкой, если функции, фигурирующие в ее параметрических уравнениях, непрерывно дифференцируемы. Дугу называют кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких дуг. Пусть Р(х, у, г) — непрерывная функция на кусочно- гладкой дуге АВ (рис. 3).
Разобьем дугу АВ на части с помощью точек деления М;(х,, ур г;). На каждой части лг, М;Мг,, возьмем какую-нибудь точку АГ;(Ц,тн, ".;); значение рассматривае- 1 / мой функции в этой точке умножим на Дх; = хат, — х; и составим сумму таких произведений Х Р(сп то 1;) Дхр л Ф Рис. 3. Если наибольшая из длин частей дуги АВ стремится к нулю, то эта сумма стремится к определенному пределу, который называется криволинейным интегралом от Р(х, у, г) вдоль дуги АВ по переменному х и обозначается знаком Р(х, у, г)йх. Аналогично определяются криволинейные АВ интегралы по переменным у и г. Таким образом, б7 кРиаолннейныв интвгРАлы Лалее вводим понятие комбинировзнного криволинейного интеграла ( Рг)х+Яг(у+Юг(х= ~ Рг1х+ ~<,>г1у+ ~ Лсх (2 21) АВ АВ АВ Из определения криволинейного интеграла непосредственно следует, что при перемене направления дуги интеграл лишь меняет свой знак .9 — (2. 22) ВЛ АВ Рнс.
4. амадее, если дугу разбить на части, то интеграл вдоль всей дуги равен сумме интегралов вдоль ее частей, например (рис. 4), Г=Х+Г АВО АВ ВО (2.23) Отсюда следует, что интеграл вдоль замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки, а ззвисит лишь от направления обхода кривой. В самом П деле (рис. 5), 1 = 1+ 1' 1 = Г+ .)" АюВпА АюВ ЗиА ВпА~пв ВиА АюВ откуда (так как правые части этих ра- А и, венств одинаковы) У= У АппВпА ЗиАюв Из определения криволинейного интеграла сразу следует, что постоянные множители выносятся за знак интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов. Из (2.18) видно, что ЯР г1х = О, если дуга Ав расположена в плоскости АВ х = сопз1. Аналогично из (2.19) и (2.20) следует, чтп 68 ОСНОВЫ ТВОРИН ПОЛЯ [гл. и Яссу= О, когда АВ расположена в плоскости у= сопз(, АВ и ~ Восз= О, когда АВ расположена в плоскости г=-соней АВ Преобразование криволинейного интеграла в простой интеграл Пусть даны параметрические уравнения дуги АВ: х= х(г), ) у= у(у), г, < (= т ! я= г(г), (мы предполагаем, что все три функции непрерывно дифференцируемы).
По теореме Лагранжа (рис. 6) ььх(сг) = — х ((г -1) х ((с) Рнс. 6. — ('с ) (Г с — (с) = х (тс) Шс, где с; лежит между сг и гььс. Пусть М(хь уо яг) — точка кривой, соответствующая значению параметра Ги Мг(~О т)о ';) — точка кривой, соответствующая значению параметра т;; тогда ~~~ ~Р([с, т[О сч) Ьхс = ~ Р [х(с;), у(-;), я(тс)[ х'(тс) Асс, откуда в пределе при стремлении к нулю наибольшей из Разностей Отс т ( У ) / ! () У() ()! () АВ т ~ Р [х (г), У (т), я (Г)! стх (г). Заметим, что зги выкладки не только дают выражение криволинейного интеграла через простой, но и доказывают существование криволинейного интеграла [з случае непрерывно лифференцируемых х(С), у(С), л(С)[, если считать существование простого интеграла от непрерывной функции известным.
в 5) 69 КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Аналогичные формулы имеют место для ~ ЯГ(у, ~ Яг(г. АВ АВ Мы видим, что для преобразования криволинейного интеграла в простой интеграл следует взять параметрические уравнения пути интегрирования, затем всюду под знаком криволинейного интеграла заменить х, у, г их выражениями через параметр и после этого рассматривать интеграл как простой по параметру, взятый в пределах изменения пзраметра. Если, например, имеем дугу у=у(х), а х, (х ~~х„ г =- е (х), то (беря х за параметр) получим: / Р(х, у, е) Г(х=- ~ Р [х, у(х), е(х)) дх. Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути Будем говорить, что криволинейный интеграл ~ Рггх+ Яду+тсае (2.24) не зависит от формы пути в некоторой области (в которой Р,Г,ч й предполагаются непрерывными), если этот интеграл, вдоль всяких двух кусочно-гладких дуг (лежащих в рассматриваемой области) с общим началом и общим концом, имеет одинаковую.
величину. В этом'случае при обозначении интеграла достаточно лишь указывать начальную и конечную точку пути (не называя своего пути) и упом„ х Ю л треблять запись ~ или ~ (где выписаны координаты м, х„ар и точек Мт и Л4а). Если подынтегральное выра>кение в (2.24) есть полный дифференциал некоторой функции и(х, у, е), то для какой- (гл.
и ОСНОВЫ ТВОРИИ ПОЛЯ нибудь гладкой дуги М,М с параметрическими уравнениями х=х(г), У у(г) г1~~г~(га г=г(г), получим (учитывая свойство инвариантности дифференциаль- пого обозначения): с, Х" (х ')=Г""("(') (')'('))= дг,ж~ и ю, = и (х(г), у(г), г(~)) ~ = и (х,, у,, г,) — и (х,, у,, г,). и То же будет для кусочно-гладкой дуги М,М,, и следовательно, криволинейный интеграл не зависит от формы пути. Обратно, предположим, что криволинейный интеграл (2.24) не зависит от формы пути и положим и(х, у, г) = ~ Рйх+(~йу+)си~а. Тогда Ф-~ ьм, я,а и (х+ Ьх, у, г) — и (х, у, г) = ~ Р йх+ Я Иу+ гс Иг.
Беря в последнем интеграле за путь интегрирования прямолинейный отрезок и преобразуя криволинейный интеграл в простой, получим: и (х+ Ьх, у, г) — и (х, у, г) = ~ Р (С, у, г) йг = и = Р(х+ Их, у, г) Ьх (О ( б ( 1) Так как и(х+ах, у, г) — и(х, у, г) + дх кгиволипейныв интвгвдлы ди ди при дх -+ О, то, следовательно, существует — и — = Р. дх дх ди ди Аналогично найдем, что существуют —, —, причем ду ' дл ' ди ди — = Я, д — — )с. Отсюда видно, что ду ' дл г(и(х, у, а) = — Рйх+ЯНу+)сдг, т.
е. подынтегральное выражение в (2.24) есть полный диф- ференциал. Итак, для независимости криволинейного интеграла от формы пути (в некоторой области) необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было полным дифферен- циалом некоторой функции (в упомянутой области). Заметим, что независимость криволинейного интеграла (2.24) от формы пути в некоторой области равносильна равенству нулю этого интеграла вдоль всякого замкнутого пути, лежащего в расРис.
7. Рнс. 8. сматрнваемой области. В самом деле, пусть имеем независимость от фориы пути и АтВлА — какой-нибудь замкнутый путь; тогда (рнс. 7) ~+ ~= ~ — ~=о. Аюнлл Аюн Вал Атл Апн Обратно, пусть имеем равенство нулю интегралов вдоль замкнутыл путей, н пусть АтВ и Ал — два пути с общим началом и общим концом; тогда (рис. 8) 1- 1= 1+ 1= 1 =" 1= 1 Ажв Лип Ажн ялл лмнпд Атн Ачл Усл;вня, прн которых выражение РгУх+ ЦсКу+ггэав есть полный дифференциал Если зто выражение (предполагается, что Р, Я, Я имеют непрерь впые частные производные первого порядка) есть полный дифференциал некоторой функции и (х, у, х) основы твогии поля [гл.
и (в рассматриваемой области), то ди — =- Р, дх ди — =.- Ф ду ди —.=- й; дг следовательно, дзи дР даи дф дуда дг ' дзи дЯ дзи дР дгдх дх ' дзи дР дхда дг ' дхду ду " даи дО дудх дх ' даду ду ' дР дЯ (2. 25) дх дг Обратно, предположим, что равенства (2.25) выполнены (в рассматриваемой области). Пусть Мз(ха, уз, га) — фиксиРис. 9. рованная точка (рис. 9), М(х, у, г) — переменная точка, МзКЬМ вЂ” трехзвенная ломаная, стороны которой последовательно параллельны осям Ох, Оу, Ог. Положвм и(х,у, г)= / Рг)х+Яг(у+йИг.
м,квм Применяя правило преобразования криволинейного интеграла в простой, находим: и(х, у, г) =- Р(1, У,н гз)с3~+ ~ О(х, г, г )Ж-+ / Р(х, у, ОЖ, откуда, учитывая независимость частных производных от последовательности дифференПирования, получаем: й 51 73 кРиВОлинейные интегРАчы откуда с помощью пранила дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом и правила дифференцирования под знаком интеграла с учетом (2.25) получаем; и (х,у,г)=- н =- Р(х, уо, ло)+ ~ Я (х, 1, ао)Ж+ / )7,(х, у, Г~гтг = г„, и т = Р(х, уо, го)+ ) Р„(х, г, а ) Ж+ ~ Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
