Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Тогда получится график нечетной функции с периодом 2(, совпадающей с заданной функцией на интервале (О, !). Отсюда и из сказанного ранее о разложении нечетных периодических функций в ряды фурье следует, что если /'(х) имеет на [О, 1] не более конечного числа точек разрыва и абсолютйо интегрируема на этом сегменте, то внутри этого сегмента в точках дифференцируемости имеем разложение в ряд синусов: (гл.

г Ряды Фугьв и интвгглл Фхгьв й 7. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И ЕГО РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ФУРЬЕ Рассмотрим натянутую струну, расположенную вдоль оси абсцисс. Если струна совершает малые поперечные колебания (т. е. каждая точка струны может смещаться только в вертикальном направлении и, следовательно, сохраняет величину своей абсциссы) без воздействия внешних сил, то можно показать (отбрасывая малые величины высших порядков), что если и (х, г) обозначает ординату точки струны с абсциссой х в момент г, то функция и(х, 1) будет удовлетворять линейному однородному уравнению с частными производными второго порядка даи д'и аз дН дхз ' (1.

25) где а — постоянное положительное число. Если струна имеет конечную длину 1 и ее концы с абсциссами 0 и 1 закреплены, то мы получаем следующие граничные условия: и(0, Г)=0; и(1, 1) =О. (1. 26) Будем сперва искать те решения уравнения (1.25) в области 0 (х (1, — со (1(+со> Х?" = ааХ" Т, (1.27) откуда после разделения переменных найдем: Л' Т" Х азТ' (1.28) удовлетворяющие граничным условиям (1.26), которые имеют специальный вид: Х(х) Т(Г), где Х вЂ” дважды непрерывно дифференцируемая функция от х на 10, 1), не равная тождественно нулю, Т вЂ” дважды непрерывно дифференцируемая функция от 1, не равная тождественно нулю. Вставляя и =ХТ в (1.25), получим: 7] УРАВнВнив сВоводных НАлых колВБАний стРУны 33 Так как левая часть не зависит от 1, а правая часть не зависит от х, то общая величина этих отношений есть некоторая постоянная Л; поэтому Х" — ЛХ= 0; Т" — Ла'Т = О.

(1.29) Строго говоря, формула (1.28) и, следовательно, формула (1.29) справедливы для тех х, где Х(х)чьО, и тех б где Т(!)~О. Но там, где Х(х) =О, имеем в силу (1.27) Х" (х) = О (ибо Т не исчезает тождественно), и там, где Т(Г) = О, имеем в силу (1.27) Т" (Г) = О (ибо Х не исчезает тождественно); поэтому равенства (1.29) справедливы для всех рассматриваемых л и А Граничные условия (1.26) дают: Х(0) Т (1) = 0; Х(Е) Т (1) = 0 и, следовательно (так как Т не исчезает тождественно), Х(0)=0; Х(1)=-0. (1.30) Покажем теперь, что при Л)~ 0 первое из уравнений (1.29) не может иметь на [О, 1[ решений, не исчезающих тождественно и удовлетворяющлх граничным условиям (1.30). В самом деле, если бы при Л > 0 нашлось такое решение, то в некоторой точке между 0 и 1 оно было бы отлично от нуля, например положительно (в противном .случае следовало бы заменить Х на — Х); тогда наибольшее значение Х на [О, 1[ должно было бы быть положительно и достигаться в некоторой точке 8 внутри этого сегмента.

Но тогда Х (Е) > 0; Х'(Е) = 0; Х" (с) = ЛХ(1) > 0 и, следовательно, в точке 1 функция Х должна иметь минимум, что нелепо. В случае Л=-0 первое из уравнений (1.29) превращается в Х" ==О, следовательно, Х линейна и при условиях (1.30) может быть только тождественным нулем. Итак, мы доказали, что Л ( О, поэтому можно положить Л= — вз, де 7т > О.

Уравнения (1.29) принимают вид Х" + мзХ= 0; Тв+ мзавТ = О. (1.29') Составляя и решая соответствующие характеристические уравнения этих однородных дифференциальных уравнений 3 Зан. !944. П. И. Ронанононна [гл. ! 34 Ряды Фугьв н ннтвгглл Фугьв с постоянными коэффициентами, найдем: Х=Сгсозйх+С,яппх; Т=1ЭгсозаИ+Оаяпайг, где С„Сы г)г, О,— постоянные. Граничные условия (1.30) налагают требования: С = 0; С соз й1+С яп й1 = О, откуда (так как Сань О, если С! = О) яп п1 = 0; й1 = пн г!и (и†целое); й = †; следовательно, ! Т = Т)! соз — + с), 3!п —, аап! илп! з ппх Х=С яп —; 2 откуда (полагая С,О!= А, С В = В) ппаГ ппаГ! .

ппх и = ХТ =1 А соз — + В яп — !яп — . (1.30 ) ! ) и(х, Г) = Г„! А„соя — +В„з1п — )з)п — (1.31) лчаГ лпаГ! . ппх и ! Обратно, непосредственно проверяется, что выражение (1.30') при любых постоянных А и В удовлетворяет уравнению (1.25) и граничным условиям (1.26). Таким образом, общий вид всех решений уравнения (1.25), удовлетворяющих граничным условиям (1.26) и имеющих специальный вид и =Х(х) Т(1), дается формулой (1.30').

Так как уравнение (1.25) и граничные условия (1.26) линейны и однородны, всякая линейная комбинация решений уравнения (1.25) с условиями (1.26) есть также решение уравнения (1.25) с условиями (1.26). В упомянутой линейной комбинации может участвовать не только конечное, но и бесконечное число функций, однако в последнем случае постоянные коэффициенты следует брать так, чтобы получающийся ряд и ряды, появляющиеся из него после однократных и двукратных почленных дифференцирований по рассматриваемым переменным, были бы равномерно сходящимися (тогда законны однократные и двукратные почленные дифференцирования, с которыми придется встретиться при проверке выполнимости (1.25)]. Таким образом, выражения вида ф 7[ УРАВнение сВОБОдных МАлых кОлеБАний стРУны 35 (при надлежащем осторожном выборе коэффициентов А„, В„) будут решениями уравнения (1.25) с условиями (1.26).

Предположим теперь, что для каждой точки струны известно ее начальное положение и начальная скорость. Тогда на и (х, г) должны быть наложены дополнительные ограничения вида и(х, О) = ср(х); иг'(х, О) =ф(х), (1.32) где ср(х), ф(х) — заданные функции [причем ср(0)=ср®= = ф(0) =ф(1) = 0[. Условия (1.32) называются начальными условиями. Будем искать среди решений вида (1.31) такие, которые удовлетворяют начальным условиям (1.32), т. е. подчиним функции ппаг ила!с .

ллх и(х, г) = 7 ~А„соз — +В„яп — ) яп —; п=г -| ссс с кч I пча . лчаг лча лчагс . пссх и| (х, г) = ~ ~ — — А яп — + — В соз — ) з[ив г г ° г ) условиям (1.32). Тогда получим (полагая 1=0)| ллх ф(х) = ~)„Ап з!и — ' а=с %1 ппа . лчх ф (х) = ~ —" В„яп —, и, следовательно [см.

формулы (1.24) для коэффициентов разложения функции на сегменте [О, ![ в ряд синусов[, г 2 ! . пссх А„= — ~ ф(х)з!п — агх; и г о л-,.а 2 Г . пчх — В„= — ) ф(х) яп — сгх. о Итак, решение рассматриваемой задачи о свободных малых колебаниях струны с закрепленными концами и 36 (гл. 1 уяды аууьв и интвгулл фууьв ппа! пеай . пах и(х,()= ~~) (А„соз — +В„з!и — !з!п —, а ! ) где 1 А„= — ~ Р(х)з!п — Нх (п=1, 2, 3, ...); 2 ! . пах о 2 1, .

пах В„= — ~ ф(х) з!и — сХх (и= 1, 2, 3, ...). о (1.33) Разумеется, предыдущие выкладки законны лишь при достаточно осторожном задании функций е (х) и ф(х), но на этом вопросе мы не будем останавливаться. й 8. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Отметим сперва некоторые вспомогательные факты. з!п х Вычисление интеграла е! егх х о Преобразуя двойной интеграл от е Уз!пх по квадрату (б~(х (а; 0 (у <а) двумя способами в двукратные интегралы и сравнивая результаты, получим: .

~ з!п хах ~ е У е(у= ~ е(у ( е-*Уз!п хе(х. о о о о Элементарное интегрирование дает: 1 — е-оа е- Уа~у= х о 1 — е оУ(соз а+ у о|па) е- УЗ!ПХа'х =— 1+ уо заданными начальными положениями и начальными скоростями ее точек дается формулой $8) 3У ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Следовательно, а а — г(х — ~ — е- *т(х= Б!и х Б!я х х „~ х о а а т!у ( е-ае (соз а+ у Б!и а) ~ +у' .) +уа о о мп х а — с!х = —.

2 ' о (1. 34) Б!я х Поскольку — — четная функция, из последней форх мулы следует: — !т'х = к. (1. 34') х Лемма Римана для бесконечного промежутка Если у"(х) имеет на каждом конечном интервале не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на ( — со, +со), то у(х)Б!пахе(х-+О при а — ++со. 11оказательство. Возьмем с и е( настолько близкими к — со и +со, чтобы сумма интегралов от !у(х)! ! '') учятызая, что ~ е-а" ах( ~ е-ахах =- --.

а' о о Так как ") модуль второго слагаемого левой части 1 меньше —, модуль второго слагаемого правой части а' 2 меньше —, то в пределе при а-++со получим: а' [гл. ~ 38 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ по интервалам ( — со, с) и (с(, + со) была меньше — . Так 2 ' как в силу леммы Римана ($ 2) ~ ! (Х) 5!п ах с(х -+ О с при а — ++. со, то при любом е ) О найдется такое К) О, что ~ у(х)гйпах г(х ( — при а ) К. Тогда 2 с при а ) К будем иметь: ьс с Г (х) 5!и ахах ( ~ ~ у(х) ( сух+ + ~У'(Х)5(наХС(Х + ( !Г(Х)!С(Х<е; следовательно, У(х) гйп ах с(х -+ О при а -+ + со. Достаточное условие представимости функции интегралом Фурье Пусть ! (Х) — - функция, определенная на всей числовой прямой, имеющая на каждом конечном сегменте не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируемая на ( — со, + ос).

Последнее означает, что несобственный интеграл 1- с'Р (У'(х)!с(х есть конечная величина (интеграл сходится). Согласно сказанному в 8 6 в каждой точке дифференцируемости хо функции г(х) имеем (при С ) )хс!): У(хо) = 2+ г (ассоз — +бн 5!п — ), я=с э 8) ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ где коэффициенты определялотся формулами (1.20). Следовательно, п=1 лп / и 1 1 Полагая ип = — ( тогда Лип = —; — =- — Ьи„), получим: п ! ' ! и щ ! (Хо) =' — ~ ! (Х) г(х + — Р„и „ / ! (Х) соя и„(х — хо) 11х.

.1 Г 1 кч ЛР! При 1-++ со, очевидно, — У(~)! О ~ ,Г(~) ! =- О. Естественно предположить, что при 1-++со Лип < 1(х) соэ и„(х — хо) с(х -+ п=1 -+ ~ 1!и < Г(х) соя и (х — хо) 11х (но это не очевидно!). Если это так, то полученное для !(Хо) выражение даст в пределе: Ф тс ! (хр) = — ~ аи < Г(х) соя и(х — хя) ах.

Покажем, что это действительно так. О анхо) =2! ~ у(х) ~х+.',~, и=1 + — < ! (Х) 51П 1 Г ! СО =2 ! < Г(х)г(х+ ~ — < у'(х)соа — 11х . соа — -)- ллх лпхп ! лпх . лпхп~ — г1х ° я ив ! )= — Г(х) с 05 г(х. 40 [гл. 1 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Положим l(а)= — ~ ди ~ у(х)сози(х — хо)о[х. ! о Так как )у(х)сози(х — х )( () !(х) ! и ~ )Дх))г[х схо- дится, то можно изменить последовательность интегрирова- ния и мы получим: ! (а) =- — ~ у(х) о(х ~ соз и (х — хо) ~(и = о (последний интеграл получен из предыдущего заменой х на хо+х). Если у(х)= — О, то '+ -ь!"(хо) при х-+О, и, следовательно, функция у (х) = — после надлеу(хо+ х) х жащего доопределения в точке х = О становится непрерывной в окрестности нуля и будет абсолютно интегрируема на ( — со, + со), ибо при достаточно малом з она непрерывна на интервале ( — о, е) и вне его [ т (х)[ ( Следовательно, в силу леммы Римана для бесконечного промежутка имеем: !(а) =- — ~ Ф(х) гйп ахах — ь О при а -++ со.

Характеристики

Список файлов книги