Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(Н10) Четные и нечетные функции являются узкими частными случаями функций, но тем не менее всякая функция 1(х) может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций. В самом деле, имеем: у(х)+у( — х) + у(х) — у( — х) 2 2 где о(х) =; ф(х) = У(х)+У( — х) 1(х) — У( — х) и, очевидно, ю(х) — четная функция, ф(Х) — нечетная функция. Если 1'(х) имеет период, то р(х), ф(х) имеют такой же период. 1(х) = тт (х) + оЧ (х) = тз (х)+ фз(х) Если функция у(х) оказалась одновременно четной и нечетной, то у( — х) = ~ у(х), откуда у(х) = — у(х) н, следовательно, у(х) тождественно равна нулю.
Тождественный нуль есть единственная функция, которая является одновременно четной и нечетнои. Отсюдз легко заключить, что любая функция не может быть двумя разными способами представлена в виде суммы четной и нечетной функций. Лействнтельно, если [гл. т гиды еттьв и интвгтал етвьв (где Еь Чк — четные, фь фэ — нечетные), то тт (х) — Чз (х) = фз (х) — фт (х); но левая часть этого равенства есть четная функция, правая же часть — нечетная, откуда :рг(х) — тв(х) = фэ(х) — фт (х) = О, следовательно, тт(х) = Чз(х); ф,(х) = фа(х). Отсюда и из ранее сказанного видно, что всякая функция единственным способом может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций.
и 5. РЯДЫ ФУРье ДлЯ четнык и нечетнык ФУнкЦий С ПЕРИОДОМ 2н Пусть.у(х) — четная функция с периодом 2н, удовлет- воряюшая условиям определения 2 2. Для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы л я а,= — — е! у'(х)йх=-- — ~ у'(х)дх; 1 ! 2 е р 2 а„= — ~ г (х) соз пх дх =- — ~ у (х) соз пх йх, — у (х) 51п пх йх = О 1 (п=1, 2, 3, ...). Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной фуниции с периодом 2н выглядит так: т ао Ъ~ т (х) 2 + „7~ ая соя пх, (1.1 1) где а = — ~ у"(х) йх, 2 о = — ~ У(х)созпхйх (и= 1, 2 З 2 о $5) гяды оугьв для четных и нечетных огнкций 23 Пусть теперь г(х) — нечетная функция с периодом 2к, удовлетворяющая условиям определения й 2.
Лля коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы а1,— — — ~ 1(х)сух=О; 1 г а„= — ) 1(х) соз их йх = О (и = 1, 2, 3, ...); Ьв= — ~ 1(х)з!и ихдх=- ! — 1(х)згпих11х (и=1, 2, 3, ...). 2 о Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечегиной фунггнии с периодом 2- выглядит так: (1.12) 1(х) ,~~~ Ь, 5!п их, а=1 где к Ь„= — ~ У(х)з!пихдх (и=!, 2, 3, ...).
2 о Пример 1. Разлоткмть в ряд Фурье функцию — — ва( — в,о), 4 1(х) = 4 — на (О, а), имеющую период 2а (в точках иа, где и — целое, полагаем 1(х) =-О). [гл. ! РЯДЫ ФУРЬЕ Н ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Очевидно, У(х) — нечетная функция (рис. 1), поэтому в силу (1.12) имеем: 2 ( и Соз ЛХ !Я Ь = — ( — з!ппхах= — ( э!Пил~ух=в н — и,( 4 2 2п (о о о 1 соэ Π— соэ пп 1 — ( — !)и ( — при и нечетном, — — ! 2л 2Л О при п четном; 1 значит, Ьд — — 1, Ья=О, Ьз= —, Ьл=О, ...
и искомое разложение 3' есть ! 1 у (х) = з!и х + — з!и Зх + — 3!и 5х + 3 5 Отсюда при х = — получим: 2 Рис. 1. Рис. 2. Очевидно, У(х) — четная функция (рис. 2), поэтому в силу (1.11) имеем: ха'х= — — ( =а; я 2(о о ао =— я 2 а„= — ( х сов лхох= о 2 (ха!и пх соз лх1(я 2 сов ля — созО п пз /(о и лз 4 1 ( — — при и нечетном ппз 2 ( — 1)"— О при л четнрц. и 1 1 1 4 3 5 7 — =1 — — + — — — +... Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию у(х) = (х( на ( — к, я), имеющую период 2я. ~ 6! гяды езвьв для ернкций с лювым пвгиодом 25 Следовательно, 4 4 ат= — —, аз=О, аз= — —, аь=О, к ' ' з 9к' и искомое разложение есть 41 1 1 у (х) = — — — ! соз х + — соз Зх + — соз 5х +... ) .
2 и (, 9 25 Отсюда, между прочим, при х = О получим: О= — — — (1 —.+ —.+ — + ...), 4/ 1 1 1 2 .т ! ' Зз 5т 7з откуда кт 1 1 1 — +3+ — + — + 8 За 5т 7з Зная сумму этого ряда, легко найти 1 1 1 1 2з Зз 4к 5з Имеем: ( Зз 5з ''') (2з+ 4к бз ''') 8 + 4 з следовательно, 3 = —, т. е. 6 ' Э в 6, РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ЛЮБЫМ ПЕРИОДОМ Пусть У(х) — функция с произвольным периодом 21 (где 1 есть полупериод). Полагая х = а1, получим функцию 21 21 ,7(а1) с периодом —. Выберем а так, чтобы — = 2к, т. е. а ' а 11 а = —.
Тогда подстановка х= — прмводит нас к функции /11 ! .7( — ( с периодом 2к. Предположим, что 1(х) имеет на сегменте ! — 1, 1! не более конечного числа точек разрыва и абсолютно инте- РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 1ГЛ. ! грируема на этом сегменте. В силу Э 2 имеем в точках дифференцируемости: 1 ( — 1= — + г (а„соз и1 + 11„з(п и1), ао где ао=.— ) Г( — ) Й; а„= — ~1( — )сози1111 (и= — 1, 2, 3,...); 11„= — ~ у~ — 1з(пи1Ж (и=1, 2, 3, ...).
ряде, так и в формулах для коэфпеременного 1 к старому переменхх и = —, 61 = — г(х, получаем в точках Возврашаясь как в фициентов, от нового ному х и замечая, что дифференцируемости: 1'(х) =-а+ «~(а соз — '+11 з(п ) (1.13) а=1 где У(х) соз — ' г(х (и = 1, 2, 3, ...); 1 У(х) з(п — 11х (и = 1, 2, 3, ...). 1 (1. 14) а =— и Ь-=-Г Ряд (1.13) с коэффициентами, определяемыми формулами (1.14), называется рядом Фурье для функции г'(х) с периодом 21. ф 6! гады езгьв для етнкций с лювым пвгиодом 27 Ряды Фурье для четных и нечетных функций с любым периодом В случае четной функции с периодом 21 все Ь„= О и, следовательно, в ряде Фурье нет членов с синусами. Тогда получим (как в 3 5) в точках дифференцируемости: -~- 0 у'(х) = — з + ~~)~~ а„соз —, и=! где аз = — ~ 1(х)г(х; 2 о=у а„= — ~ у(х)соз — г(х (и =1, 2, 3, ...).
о У(х) — ~~ Ьч з!п (1.16) где Ь„= — ~ Дх) яп —" з1х (и = 1, 2, 3, ...). о Пример 1. Написать разложение в ряд Фурье нечетной функции с периодом 1. Здесь 2!'= 1, и на основании (1.16) получаем: ! У(х) = Ьи з!и 2изх, где Ь„= 4 ~ У(х) з!и 2пьх ах. и=! о Пример 2. Разложить в ряд Фурье ) з!пх(. Очевидно, 1з1пх ~ есть четная функция с периодом я. Здесь ".Г= з, и на основании (1.15) получаем; ~ з1п х ~ = — з '- У а„соз 2их, 2 и-! В случае нечетной функции с периодом 21 все а„ =О и, следовательно, в ряде Фурье нет свободного члена и членов с косинусами. Тогда получим (как в З 5) в точках дифференцируемости: !гл. т гяды опгьв и интвгглл етгьв где а в 4 Г 4 ао = — ~ в!и х г(х = — ( — сов х) ! °,! о о 1 Г 2 ! а„= — ~ л!их сов 2пхах= — — ~ в!п(2п — 1) хттх + + — ~ в!п(2п+ 1)хах =в 2 Г 2 со (2п — 1)х а и 2п — 1 2 сов(2п+1)х(а 2 / — 1 1 '! 4 1 2п+1 !о и 'т2п — 1 2п+!,) и 4п' — 1 Следовательно, 2 4 ът сов 2пх !в!пх!= — — — т и и л14пв — 1 п=т 2 4/! 1 1 — — — — сол 2х+ — сов 4х+ — соа бх+ ...) .
(,3 15 35 Отсюда прп х = О получаем: 2 4 '~ю 1 О= — — — ~~ ж л а~а 4па — 1 следовательно, 1 'с~ 1 1 1 1 1 — — = †+ †+ †" 2 Л1 4па — 1 3 15 35 63 Комплексная форма ряда Фурье для функции с любым периодом Пусть Г(х) — функция с периодом 21, удовлетворяющая условиям, указанным в начале параграфа. Тогда подстановка И (И1 х = — приводит нас к функции Г!!†) с периодом 21т. $ б) гяды этгьв для этнкций с лювым пзгиодом 29 В силу $ 3 имеем в точках дифференцируемости: с„= )в ~Я 1( — ) = ~1 с„еГ"' Переходя как в ряде, так и в формулах для коэффициентов к старому переменному х и замечая, что 1= —, е(1 = — г(х, получим в точках дифференцируемости: 1 7(х)= ) с„е ' (1. 17) где е„= 1 ~ 1(х) (и=О, 1, 2, ...). (1.18) Правая часть формулы (1.17), где коэффициенты определяются равенствами (1.18), называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом 21.
Разложение в ряд Фурье функции, заданной иа сегменте ( — 1, 1) Если на полуоткрытом интервале длины 21, т. е. на интервале вида (а, а+ 21) или (а, а+ 211, определена какая- нибудь функция,. то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится функция с периодом 21. В самом деле, возьмем график заданной функции на. упомянутом полуоткрытом интервале и присоединим к нему все его горизонтальные смещения на расстояния, кратные 21 (т. е. на расстояния 2и1, где п — произвольное целое число). Тогда получится график функции с периодом 21, совпадающей с заданной функцией на том интервале, где она была определена.
Отсюда и из сказанного ранее о разложении периодических функций в ряды Фурье следует, что если)'(х) имеет на [ — 1, 1) ие более конечного числа точек разрыва и 30 (гл. г Ряды ФуРье и интегРАЛ ФуРье абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого сегмента в точках днфференцируемости имеем: У (х) = — 2' + ~~[о„ соз 1 +ЬЯ з!и †~ -), (1.19) где ар — — — ~ У(х)г(х; ! лкх а„==-- ! 1(х)соз — г(х (и==1,2,3, ...); (и=-1, 2, 3, ...). (1.20) д„= — ~ у(х) з]п — Фх (' лах л — 1 1 Разложение в ряд косинусов функции, заданной на сегменте [0,1( Если на сегменте [О, 1] определена какая-нибудь функция, то она может быть (единственныи способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится четная функция с периодом 21. В самом деле, возьмем график заданной функции на этом сегменте, присоединим к нему фигуру, симметричную с ним относительно оси ординат.
Затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смещения на расстояния, кратные 21. Тогда получится график четной функции с периодом 21, совпадающей с заданной функцией на сегменте [О, 1]. Отсюда и из сказанного ранее о разло>кении четных периодических функпий в ряды Фурье следует, что если у'(х) имеет на [О, 1] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого сегмента в точках дифференцируемости имеем разложение в ряд косинусов: $6! гады еугьв для етнкций с люзым пигиодои 31 где ан = -- ~ г"(х) соз — с!х (1.22) 2 ! лех н ! (а=!, 2, 3,, ).
аа — у ~ У(х) а(х а Разложение в ряд синусов функции, заданной на сегменте [0,1[ у (х) = ~~ дл з(п — ' (1.23) где д„= — ~ у(х)сйп — г(х (и=1, 2, 3, . ). (1.24) а На концах сегмента ряд (1.23) будет сходиться к нулю. Следовательно, если дополнительно потребовать, чтобы у(х) обращалась в нуль на концах сегмента [О, !], то разложение (!.23) будет иметь место еще на концах сегмента [О, г]. Если на интервале (О, 1) определена какая-нибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится нечетная функция с периодом 2Е В самом деле, возьмем график заданной функции на упомянутом интервале, присоединим к нему фигуру, симметричную с ним относительно начала координат, затем к образовавщейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смещения на расстояния, кратные 21, и, кроме того, добавим все точки с координатами и(, О (где и — л|обое целое число).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
