Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Левая часть равна сумме интеграла вдоль хорды и интеграла вдоль дуги окружности. Первое слагаемое равно а — 1Ь а ага 1 ( Р(р) сгр 1 ! Р(р) ар 2а1 ! р ро 2а1 .! Ро р а+со алоЬ и при й -++со будет стремиться к аогсо Есо — ~! 7(1) е РЛ 111 Рис. 67. Покажем, что второе слагаемое ~ Р при Й-++Ос Р Ро сл будет стремиться к нулю. В самом деле, пусть М(К) — максимум модуля р(р) на Св, тогда '! Р(Р) аР~ < ' М(Р) 2ИК 17 д1(К) О )1 ~ а' Р— Ро ! 2аЛ' — !Ро! й — !Ро! с„ при К вЂ” ++со, ибо по условию теоремы Л(й)-РО.
Таким образом, равенство Р(р) с в пределе при К-++со дает / 7(1)е Р'аг= Р(ро). Этим о 288 [гл. ч ПРВОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА доказано, что при Кер)з имеем Р(р)= )г 1Яе Р1Л и, о следовательно, Я).='Р(р), что и требовалось доказать. Лемма Жордана. Пусть С„(в= 1, 2, ...) — бесконечная система окружностей с центром О и неограничено возрастаюсцими радиусами, а в какое-нибудь действительное число, Га†часть окружности С„, расположенная в полу- плоскости Кер < а (рис.
68). Тогда, если Р (р) непрерывна Рис. 68. Рнс. 69. на совокупности дуг Г„ и Р (р) -+ О при р на Г„, р -+ со, то !Пп ~ Г (р) ев1 г(р = О при каждом ~ ~ О. г Доказательство. Оценим модуль интеграла Р(р) евсйр, г1Н, а1 где Г(К, а) — часть окружности радиуса Я ) , 'а! с центром О, расположенная в полуплоскости Ке р " а, и Р(р) — непрерывная функция на ГЯ, а), если 1) О и (Р(р)( (а на Г(К, а). Имеем (рис. 69): Р (р) згснср ~ Р(КБ11) зснс1 рсз11 1(6 ( г1н, а) а за — а а-а а — а Н1нсоазг(8 Я ~ е — 1нсоатнс18 — 2БЯ ~ з — 1нсоааьсс 8 !О! достАточиов условии изОВРАжвиий 289 Пусть сперва а ) О. Тогда « — -» » 2 « †» 2 г е — гп со«о ггг!г ~ + ~ ~ е-ги пп те!г!г+ ~ е1Я»1п Р с!гу о о «о о 2 а 5!и г!г ~~ — сг, 51п гг ( г!г пйи О (гг' ( 2, следовательно, а агс»1п— + со н (~ е г!у+ ~ еглтс!р= о со ги пгс»1п— «аг гс Е 2егс+ Ггг Ггс 1, 2 -» Š— 1лсо»СС! г о а агс51п— учитывая, что гт агсяп — = а а р а 2 ( — а.
Т~ Таким образом, при а ) О ! Х га(р!егсг!р! ( ' (и+2еп ). гги а> ЕСЛИ а (О, тО ~ Е-гисо«тассе (~, И тОГда / Р (р! ег'Йр ) ( — а. г1Я, а> (в первом и втором интегралах правой части гу заменено соответственно на — — а и — + с!г). 2 2 Но 290 [гл.
ч пРБОБРАзованив лапласа Итак, во всех случаях, если [ Е (р)[ ( е на Г (гс, а), то (5.45) Р(р) еаюле ( е). (С а), г(я,а) где — ай — Гк+2е' / при а) О, Л(С а) = при а (О. Доказываемая лемма непосредственно вытекает из неравенства (5.45), ибо если М„есть максимум [г" (р)! на Га, то в силу (5.45) ~~Р(р) ел~ )Е((М„Л(С а), но М„-+ О, следовательно, ~ Р (р) еа' Ж -+ 0 при а -++ оо, что и требовалось доказать. Следствие.
Пусть Р (р) — мероморфная функция на всей плоскости комплексного переменного р, обладающая свойствами: !) при Ке р ) з она удовлетворяет условиям теоремы данного параграфа; 2) существует система окружностей С„ с неограниченно возрастающими радиусами, не проходящих через полюсы и таких, что Р(р)-+0 при р на С„, р-+ ос. Тогда Е(р) является изображением, причем оригиналом будет: уО) = Ощ ~ Кез [Г(р) еяг[ ~~ ~ Кез [) (р) еФ] (Г)0), в-эсо а=~ р, и=1а= (5.45) % 10[ достаточное рсловив изоврйжвния 291 где р,, р„ ..., — полюсы Р (р), расположенные в порядке неубывания модулей, я„— число полюсов, лежащих внутри Ся, те= О. В частности, когда все полюсы простые, имеем: я 'я 7(С) =1нп ~'„еяй~Кез Р (р) = — ~~'„~~' еяйгКеа гт (р) (1 ) 0).
я-йсо й=г рй и=~ й=~„„+г рй (5. 47) Д оказ а тельство. В силу теоремы, доказанной в настоящем параграфе, Г(р) является изображением, причем оригиналом будет: аМсо /(Г) = — ~ Г(р)елгг3р (1 ) 0), где а — какое-нибудь число, большее ге. Пусть й"я — часть окружности С„, пробегающая в полуплоскости Кер(а, и пусть а -Ȅ— концы 1'„. По теореме о вычетах (гл. 1П, 17) айгйя 2 ~ ~(р) ~р+2 ~ Г(р) е" ~Р= а яй„ г я = ~~~ Кез [Р (р) ерй[.
рй Если 1 ) О, то при и -+ со первое слагаемое левой части стремится к 7(1), а.второе слагаемое в силу леммы Жордана стремится к нулю, следовательно, в пределе получим искомую формулу (5.46). Если полюс рй — простой, то Кез[Г(р)ер)= ерй КезР(р), рй рй поэтому в случае, когда все полюсы р„— простые, формула (5.46) переходит в формулу (5.47), что и требовалось доказать.
Ролаиовстгий Павел Нглажьевич Ряды Фурье. Теория полА. Аналитические и спепиальные Функции. Преобразование Лапласа. Релактор В. А. Солодгов Технический релзктор С. Н. Алланов Корректор С. Н. Евсльякови бс Сдано о набор 11ЛП!957 г. Полписана н печати 471Х 1957 г. Бумага 84х 108'ум. Физ. печ. л. 9,18. Условн. печ. л.14,97. Уч.-нзд. л. 14.80. Т 0885б. Тираж 12 000 вкз. Пена книги 5 руб. 45 коп. Заказ М 1944. Госуларствениое издательство технико-теоретической литературы Москва, 8-71, Б. Калужская,!5. 'К Министерство культуры СССР.
Главное управление полиграбической промышленности. 4-я тип. нм. Бвг. Соколовой Ленинград, Измайлове!гий пр., 29. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
