Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 32
Текст из файла (страница 32)
— у'" н(+о). 6. Умножение оригинала на минус аргумент (дифференцирование изображения). Если У(Г)=.' .='Р'(р), то — ~у(!) —.' р'(р), ф 3] проствйшив свойства пРвовРАзозАния лАплАсА 253 В самом деле, ьээ Х. [ — Г((Г)] = ~ — Ц(Г) е — ргЖ = — ~ 7(т) е-ргг)1 = Р'(р), лр ! о о 7. Обобщение. Если Я).='Р(р), то ( — 1)" 1".7(1) —.— Рпп(р) В самом деле, это получается из свойства 6 по индукции.
При п =- 1 утверждение справедливо по свойству 6. Если утверждение спрзведливо для и — 1, то ( — 1)" 'Г" '7(1).='Р'" п(р), откуда по свойству 6 (-- 1)"г "Я) ='[Р'" п(р) 1' = Р'"'О) 8. Интегрирование оригинала. Если 7'(Г) непрерывна на (О, +со) и Я).='Р(р), то 7(и) г(и .=='— Р(р) Р о В самом деле, пусть и (Г) = ~ 7'(и) г(и:=-' Ф (р), тогда а ;7(+О) = О и по свойству 4 имеем 7(1) —.='рФ(р); следова'тельно, рФ(р) = Р(р); Ф(р) = —. Р (р) р 9. Деление оригинала на аргумент (инте.- грирование изображения). Если — есть оригинал 7 (г) [тогда Я) тоже оригинал], то из 7'(Г).='Р(р) следует: СО / со Р) — Рбу)г)д ~где ~ = 1!ш ~ ) .
пер.++ э р р р В самом деле, пусть .='Ф(р), тогда по свойству 6 у (г) 7'((),=' — Ф'(р); следовательно, — Ф'(р) = Р (р). Интегрируя 254 [гл. ч првозгазовднив лАплАсА это равенство в пределах от >з до Р, найдем: следовательно, в пределе при стеР-+[-со [учитывая, что тогда Ф(Р)-+О[ получим; 10. Запаздывание. Если у(1) —.— 'Р(р), то У(1 — т).— 'е-р'Р(р) (т — любое положительное число).
В самом деле, ЦЯ вЂ” т)[= ~ Я вЂ” т)е рспс1 = / Я вЂ” с)е р'сЫ= у(1) е — р>с+ >с>С = е с" ~ Я) е рссСГ = е с' Р(р). 11. Умножение оригинала на показательную ф у н к ц и ю (с м е щ е н и е и з о б р а ж е н и я). Если с" (С);=' .='Р(р), то ахи).='Р(р — Л) (Л вЂ” любое комплексное число). В самом деле, Е[ехсЯ)[ Х Я)ехсе — ясса= Г ~(С)е — 1Р-х>сс[с . Р(р Л) сввгткд ФункциЙ й 4 СВЕРТКА ФУНКЦИЙ Формула Дирихле Пусть с (х, у) непрерывна в треугольнике О: а (у ( .(х ((с (рис.
66). Преобразуя двойной интеграл ~ ),с (х, у) йх йу двумя способами в двукратный и сравнивая результаты, получим искомую формулу Дирихле: Ь а Ь Ь ~ йх ~ с (х, у) йу = ~ йу / с'(х, у) йх, (5,4) Свертка функций Пусть С'(С) и Ф(с) — непрерыв- Рис. 66. ные, комплекснозначные функции на СО, +оэ). Свертхой функций с и ср называется функция, обозначаемая у'оь р и определяемая равенством (с ос р) (с) = ~ T(и) ср (С вЂ” и) йи. о Это будет непрерывная функция на (О, + со). Очевидно, ~уи р~ (~.(~ я-1 р~.
При а ) 0 с помощью формулы Л„ирихле находим: а а с / (с'4 ср)(с) е ° с йс = — ' ~ е — РЬЛ ~ С (и) ср(( — и) йи = о о о а а а а — а = ~ с (сс)йи'/ ср(( — и) е все = ~ )(сс)йи )г ср(с)е-Р<'"">й1= о а о о а а — а = ~,у(и)е — с"'йи ~ ср(с)е-РсйС [гл. М ПРвозглзовянив ллпЛАСА следовательно, если записать внутренний интеграл о.
О а в виде [ — ~, получим формулу О и — и а а а ~ (у чь е) (1) е — Ф Ж = / ) (г) е-я' г[г ° [ ср (~) е-я' г[г— о о о е а — / у(и) е — Р Йи 1 е(1) е-язв. (5. 5) Из (5.5) следует, что при У)~0, ~~~0 и действительном г а е й (арчь ~у)(Г)  — яг г[г ( ~ я) е — ы ог ~ ср (~) е-и гц. о о о следовательно, при комплекснозначных у и ~у и действитель- ном г ~ [(уи- е)(г)[е — ыЖ < / [я)[е — мЖ Г[о(~) [е-всЖ о о е откуда видно, что если у и ~у — оригиналы, то ук- о — тоже оригинал, причем показатель роста Учь о не более наибольшего из показателей роста У' и у.
Свертка оригиналов Теорема. При свертывании оригиналов изобрзжения перемножаются, т. е. если у0) †.†' Р (р) и р 0)=. ' Ф (р), то (Ук- ~)(~) ='~(р) Ф(р) Доказательство. Для простоты мы имеем в виду .лишь непрерывные на [О, +со[ оригиналы. Учитывая формулу (5.5), достаточно показать, что а а г(л)е ячди ~ ~р(~)е я1Ж-+0 при а — ++оо. й 4) 257 свветкд Функций Пусть ) 7 (С) ~ =.' Р1 (р) и ) ьо (1) ( =.-ь Ф1(р), тогда, если Ке р = г больше показателей роста 7' и ьу, то и а 1 7(и)е ви'с(и ~ сс(1)е Р'111 .( а ( ~ ( 7'(и) ( Е-вн С(и Г ) Ф (Г) ) Е-вв СЬ( = / + / ( о а 2 а — ьь (г (з) ~ )ьу(1))е-«1111+Ф (з) ~ 1 ((и)1е-в™с(и, а 1 1 1 в«оо (З = ~ и«(в — и)ас(и = Е«вань ~ о«(1 — о)ас(о— о о = в (и+ 1, 9+ 1) 1«з ' =-- 1 '", + 1) ~ (й " 1) 1"+а+1 1' (а + В + 2) и, в частности, при целых неотрицательных т, и тьиь.
ьнь оо ьн ' ' ььн+а+1 (т+ и+1)1 Формула Дюамеля Пусть 7(Г) — непрерывный на (О, + со) оригинал, ьу(1) — непрерывно дифференцируемый на (О, +со) оригинал. Из 7(1)=.Г(р) и ьс(С);= — 'Ф(р) следует: ) 7(и) ьр(г — и)пьи=.'е (р) Ф(р). о 17 Зак. 1914. П. Н. Романовская что -+ 0 при и -в + оз, что и требовалось доказать. Пример. Найти свертку 1«и ГЗ, где и)~ О, ~~)~ О. Имеем 1делая в интеграле подстановку и =1о и учитывая формулы (4.7) и (4.9)): 258 [гл.
ч ПРВОВРАЗОВАНИВ ЛАПЛАСА Из правила дифференцирования интегралов, зависящих от параметра, следует, что левая часть непрерывно дифференцируема на [О, + со), причем „вЂ” ~ У(и) су(г — и) с(и = ~ у (и) ср'(г — и) с(и+У(г) са(0). Отсюда в силу свойства 4 й 3 получаем искомую формулу дюамеля с У(1) сс«(0) + [ с (и) ср' (1 — и) с( и .=' рР (р) Ф (р). (5. 6) а й З. ОРИГИНАЛЫ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ИЗОБРАЖЕНИЯМИ Изображения некоторых элементарных функций 1.
Изображения степенных и показательных функций. При и) — 1 степенная функция является оригиналом с нулевым показателем роста, причем 1.(1«) = ~ 1«е-лсс(1, а что при положительных значениях р равно (после замены р1 на 1) , «0 а Ио как изображение 1«, так и правая часть последнего равенства аналитичны в полуплоскости Кер ) О, следовательно, совпадая в положительных точках, они (в силу теоремы единственности, см.
гл. !Н, й 14) совпадают на всей полуплоскости Кер ) 0 (заметим, что степенные сь«р функции рг=ес "комплексного переменногормногозначны при не целых т, но, рассматривая их на полуплоскости Ке р ) О, мы всякий раз имеем в виду те их ветви, з 5) ОРиГинАлы с РАционАльными изОБРАжениями которые происходят от ветвейЬН р, совпадающих для положи- тельных р с 1пр).
Итак, ( „+, ) (а) — 1). (5. 7) Так, при а=т (т=О, 1, 2, ...) т! Сж= рЫЕС (5. 8) и, в частности, при т=О . 1 1 —.— '— р (5.9) Из (5.8) по правилу смещения изображений (й 3, свойство 11) находим при любом целом неотрицательном т и любом комплексном Л хи! Стелс.=' (р — л) (5.10) и, в частности, при т=О елс =. 1 р — л' (5. 11) 2.
Изображения тригонометрических и гип е р б оли ческ их функций. Имеем в силу (5.11): есс+е-сс . 1 / 1 созС вЂ” —.— ' — — + 2 ' 2 1р — С р+С,) рс+!' есс + е-сс ! 1 1 1 з(Н(в — —.(,, )-.+' ес — ес .1/ 1 1 л ! зйС = —.=' — !л— 2 ' 2 ~р — 1 р+1) рс — 1' (5.12) (5.13) (5. 14) (5. 15) 17е Из (5.12) и (5.13) по правилу подобия (В 3, свойство 3) находим: сов'р(.=' с с; яп ре.=' 260 [гл. ч ПРВОБРАЗОВАНИВ ЛАПЛАСА откуда по правилу смешения изображений Я 3, свойство 11) е сов[)г.=' а+ „е з(п р( в; — ' Ђ е Необходимое и достаточное условие рациональности изображения Теорема.
Для того чтобы изображение было рациональной функцией, необходимо и достаточно, чтобы оригинал являлся линейной комбинацией функций вида г е11(лг — целое неотрицательное, ), — комплексное). Доказательство достаточности. Если оригинал есть линейная комбинация функций ( е"', то в силу (5.10) лн изображение будет линейной комбинацией функций и, следовательно, будет рациональной функцией. Доказательство необходимости. Пусть изображение Г (р) рационально. Так как по теореме й 2 Р (р) -+ 0 при Ке р — л -+ сю, то Р (р) будет правильной рациональной дробью. Пусть рл — ее полюсы, ил — их кратности. Тогда, разлагая Г (р) на простейшие элементы, полу!Пм: Яь "(р)=~ у (.— "') ' К 1=1 где М11 — некоторые комплексные числа. Но из (5.10) видно, что еРА— (( — 1)' (р — рл)1 Отсюда л» 3 1=1 а так как оригинал вполне определяется своим изображением, то ла л 11' и, следовательно, является линейной комбинацией функций вида Г е1', что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
