Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 30
Текст из файла (страница 30)
= ( — 1)и = е'и; Т(!) = соз О = — 1, следовательно -'( --- — н') '(л — '- — "') у (к)— )' 2пх [,л = ]гг — -со [л — — ' — ~')+О( — ). 234 о нвкотогых спвцилльных етнкциях (гл. сн Итак, имеем искомое асилсптотичесное представление бесселевой функции 1-го рода с целым индексом для больших значений аргумента: ва (х) = 1с — сов ~х — (и + — ) — ~ + О ( — ) (4.39) при х -ь+ со.
Эта формула показывает, что ./„(х) с точностью до сла- 1 гаемого порядка — является затухающей гармоникой с вол- Рис. 61. Рис. 62. ной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратнс пропорционально квадратному корню из абсциссы. 9 7), интвгглльный логлгием, свито, косинУс 236 В частности, lе(х) =1~ — соз1х — — !+ О! — 1 при х-++со; (4.39') .У, (х) = — — 1/ — соз(х+ — ')+ 01 — ) при х-++ сх». (4.39") Графики этих функций изображены на рис. 61 и 62. 6 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ, ИНТЕГРАЛЬНЫЙ СИНУС, ИНТЕГРАЛЬНЫЙ КОСИНУС лх ! Б!ох 1 созх Известно, что интегралы л! —, ~ — лх, ~ — Нх ,) 1пх' „~ х ' 3 х не выражаются через элементарные функции и являются новыми трансцендентными функциями.
Эти функции (определенные пока с точностью до произвольного постоянного слагаемого) обозначаются соответственно знаками 1! х, з! х, с! х. Разложения в ряды л'х Делая в равенстве 1! х = ! — подстановку х = е' по- !п х лучим: л( + +2~ 3~+''') — 1и!+С+!+ — + — +... (1) О), откуда (после возвращения к старому аргументу х) откуда после почленного интегрирования находим: ха хь з! х = С+ х — —, + —,— 3 3! 5 5! (4.41) И х =1п1п х+С+!п х+, + — )+... (х ) 1).
(4.40) Далее, 236 о нвкотогых спвцилльных етнкциях (Гл. 5ч Наконец, (' соз х (' 1 ! х хз с!х= ~~ — — — )х= ~~( — — — + — — ...))х, х,) (,х 2! 4! Откуда после почленного интегрирования получаем: хз хч с! х = С+ !и х — —, + —, —... (х ) О). (4.42) 2 2! 4 4! Добавления к технике интегрирования Подстановка х — а =г дает: ех Р 55 5(х = е" ! — ат = е Д е' = е 0 е 5-". х — а Интегрирование по частям дает формулу приведения: (х — а)ч (и — 1) (х — а) и — 1 .! (х — а)а-5 Подстановка х — а = Г дает: ах = 1 — г!! = сов аз!!+54па с!1= ! 51п (!+ а) =созаз!(х — а)+з!пас!(х — а); 5)х == ! — Ж = соз а с! à — 5!в а 51! = Г соз (г -!- а) = соз а с1(х — а) — 5!п а 54 (х — а).
Интегрирование по частям дает формулы приведения 5!П Х мих 1 ~ со5Х вЂ” с1х— + 5(х! (х — а)а (и — 1) (х — а)ч-5 и — 1,! (х — а)" СО5Х 505 Х 1 ( 51пх (х — а)" (и — 1) (х — а)"-' п — 1 „! (х — а)" — 5 Учитывая, что всякая рациональная функция есть сумма А полинома и простейпп5х элементов вида заключаем (х — а)5' на основании установленных формул, что интегралы вида ~ Й(х)е" с!х, ) Я(х)5!пх51х, / тс(х)созхг(х 7[ интягглллигып взглянем, синге, косинке '23 станут «берущимися», если к элементарным функциям добавить интегральный логарифм, интегральный синус и интегральный косинус [если мы хотим оставаться полностью в действительной области, то ограничимся такими рациональными дробями гс(х), знаменатели которых имеют только действительные корни[.
О сходимости некоторых несобственных интегралов Пусть у(х) — положительная непрерывная убывающая функция при а ( х (+ со, стремящаяся к нулю при ' ОЭ х -»+со. Тогда несобстненные интегралы 1 7'(х) япхах; У(х) соз х агх сходятся. а Не нарушая общности доказательства, можем положить а = — О (в случае а ) О можно г"(х) доопределить на участке О (х < а так, что при О: х <+ со будут выполнены все поставленные условия), при д ) О имеем: г гл-' и Г(х) япх г[х = и ~ г (х) зги хо(х+ ~ г(х) зги хггх, о л=о а и где гг — наибольшее целое число такое, что пт < Ь. Очевидно, и-++со при б — »+со. Подстановка х =с+оп дает: ш»п« / г(х) Япхагх ( [)ь Гу(г+ ~.
') 5!иго(г ( [)г сги где сл — — ~ г (г + lгя) я и т а'г ) О. о Из убывания функции г'(х) следует, что при и < г имеем: И+ ~гя) ) И+ря) 238 0 накотогых специальных егнкциях (гл. 1о' Умножая это неравенство на 51п~ и интегрируя от О до то найдем сл ) с,. Из того, что 2(х) — + О при х — «+ сю следует, что сл-«О при и — «со, ибо с„~ У (йя) ~ яп ~ Ж = 2У(йя). о Далее, , 'г ф) ) = / Г'(х) 51п х г1Х ( 2у(пя) и, следовательно, г(Ь)-«О при й — ++со. Таким образом, п-г ( у (х) яп х г(х = ~', ( — 1)" с„+ г (д), о а=о где со > с, ) с ) ...; с„ — + О; г (й) -+ О. Принимая во внимание теорему Лейбница о знакочередующнхся рядах, заключаем, что 11п1 ~ Г (х) 51п х пх =-,~~~ ( — 1)'" са о-«.
««~ о о и, следовательно, несобственный интеграл Г (Х) 5! П Х П Х о сходится, что и требовалось доказать. Интеграл ч оо 2'(х) соа х г(х а после подстановки х = — 1+ —, приводится к предыдушему. 2 7] интеГРАльный лОГАРиФЯ, синус, кОсинус 239 Нормировка интегрального синуса и интегрального косинуса Из сказанного следует, что — 5(х и 1 — 11х (а ) 0) Х х 51П 1 з]х = ] — Ж+Сб с1 х = — ~ 551+ Св'1 51(+ со) = ~ — г)1+ С, =-:= 0; а с1(+ со) = ~ — ' 571+ С, == 0; а С == — ~ со51Ж 5!П 1 с1 х = — ~ — 511. сов 1 Указ;ем еще другую нормировку 51х, определяя ее требованием 510= 0 (для с1х подобная нормировка не имеет смысла, так как с]х-+ со при х-+ 0). Тогда а В]х = ] — „511, 1 51П1 (4.
43) суть сходящиеся интегралы. Поэтому зб х и с1х при х -++ со стремятся к конечным пределам. Нормировку 51 х и с]х (напомним, что эти функции определены пока с точностью до произвольного постоянного слагаемого) можно, например, определить требованиями 51 (+ со) = 0; с1 (+ со) = О. Тогда (при а ) 0) ф 71 интвгглльныв лОГАРиФм синус, кОсинус 241 Учитывая, что (гй х) = —, найдем, что з! х возраз!а х х стает на (О, я), убывает на (я, 2я), возрастает на (2к, Зя), убывает на (Зп, 4п), ... в точках я, 2п, Зк, 4п,... имеет экстремумы.
Учитывая, что а (см. гл. 1, Э 8), заключаем что, в!х-+ — при х-++со. 2 и Кривая у = з! х имеет горизонтальную асимптоту у = —, 2 ' при х -+ + со бесконечно много раз пересекает эту асимптоту, находясь то выше, то ниже ее. На рис. 63 и 64 изображены графики интегрального синуса и интегрального косинуса при нормировках з! (+ со) =- 0; С1(+ со) = О. В случае нормировки з!0= 0 изображенный на фиг.
63 н график интегрального синуса следует сдвинуть вверх на — . 2 ' ГЛАВА аа' ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА й 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА Замечания о несобственных интегралах Если у(1) — комплекснозначная функция, непрерывная на сегменте (а, Ь), за исключением точки а (в которой она может быть не определена и вблизи которой может быть ь ь не ограничена), то по определению ~ 1(1)И=1!п1 ~ у'(г)Ж, а>О а +о аьа если этот предел существует и конечен. Аналогично, если У(г) непрерывна на (а, Ь), за исключением точки Ь, то по ь Ь вЂ” а определению / у(г) наг = Пт / у(Г) Ж, если этот предел а>О а ° -ао а существует и конечен.
Если у'(1) непрерывна на (а, Ь), за исключением точек а Ь с ь и Ь, то по определению ~ у(1) оа1 = ~ у(г) Ж+ ( Г(г) Ж, а а с где ос., с 'Ь, если оба слагаемых в правой части имеют смысл (очевидно, это определение не зависит от выбора числа с). Если У(1) непрерывна на [а, Ь), за исключением конеч- ного числа точек с„с„..., с„, где а (с, а, са а ... а, ср(Ь, то по определению ~ у(г)ь(г=- ~ + ( +... + ~, если все а а с, с слагаемые правой частИ имеют смысл, [[ сВедения ОБ ин>ВГРАлнх, зАВисящих от НАРАметРА 243 Пусть теперь у(!) непрерывна на [а, +со), за исключением, быть может, изолированных точек").
Тогда по ! определению [ у"(Г) Ш = !!п> ~ Я) б!, если все инте!-> >со а а гралы ~, где !)и, существуют и если !!и> [ существует а а и конечен. В этом случае несобственный интеграл ~ г(!)б! называется сходящимся. Если интеграл [ [т(т)[с[! сходится, то несобственный интеграл ~ Я) с[! называется абсолютно сходя>иимся. Абсолютно сходящийся несобственный интеграл всегда сходится.
Очевидно, [ Я) с!! абсолютно сходится, если а [У(Г)[(9(Г) (при Г.) и, за исключением, быть может, изолированных точек), где у(Г) †так действительная неотрицательная функция, что / ~Р(г) бР сходится. В этом случае говорят, что несобственный интеграл ~ г" (Г) с[! мажориа ьь руетси несобстненным иитегралом ~ ~Р(Г)Ж. а Пусть У(!, р) при каждом значении параметра р в некоторой области О является непрерывной функцией от ! ') Мы говорим, что некоторый факт имеет место на некотором паннам интервале, за исключением, быть может, изолированных точен, если на каждом сегменте, лежащем на данном интервале, может находиться не более конечного числа точек, и которых рассматрннаемый факт не имеет места. !ба 244 [гл. т' ПРВОБРАЗОВАНИВ ЛАПЛАСА на [а, + сс), за исключением, быть может, изолированных е точек.
Если при каждом значении р в О интеграл ) г(Ь, р)ду г сходится и [ Я, р) г(Ь при Ь вЂ” «+ со стремится к своему пределу равномерно относительно р в О, то несобственный з а интеграл ) ,у(Ь, р) Й, зависящий от параметра р, называется а равномерно сходящимся в области О. Достаточным условием равномерной сходимости интеграла, зависящего от параметра, является мажорируемость его сходящимся интегралом от некоторой неотрицательной функции. Если О в область на плоскости комплексного переменного р, то ) у(г, р) пг будем называть равномерно сходящимся внутри области О, если он равномерно сходится на каждой ограниченной замкнутой области й, лежащей в О (см. гл.
Ш, З 13). Аналитическая зависимость от параметра Лемма. Пусть У(б р) — непрерывная комплекснознзчная функция двух переменных б р: действительного переменного Ь на сегменте [а, Ь) и комплексного переменного р в области В. Пусть эта функция при каждом значении Ь на [а, Ь) является аналитической функцией от р в области В. Тогда у' (Г, р) обладает такими же свойстзамк н функция ь р(р) = ~у(бр)дг будет аналитической функцией от р з В, причем ь Р'(р) = ) У (Ь р) "Ь Р Ло к аз а тел ь ство. Тот факт, что у (б р) есть непрерывная функция от й р, проверяется так: прн Га - Г имеем у (Ьа, р) «у (б р) равномерно внутри О (ибо у(у, р) равномерно непрерывна прн Ь 1) сввдвния ов йнткгглдлх, зависящих от пхвлмвтгл 24о Г на [а,б) ирнад,где область в Р, поэтому дли но У(Ь р) равномерно непрерывна прн Ь вЂ” какая-либо ограниченная замкнутая всякого 1 ) О найдется такое т) ) О, что если ) Ь!а ! < 1), то !У(Ь р) —.у(аа, р)! < при а О ! !а < ! < !а+ Ь!а, (рва Ь, гл тли Рис.
65. следователы1о, при аах Ьса< 1) и любом р на Ь будем иметь: и-1 Г(Р) ~ У (уа, Р) Ьга < 1 (б — а), а=о и-1 что и доказывает равное1ерную сходимость ~у(га,р)ЬГ к р(в) а=о внутри области Р. Наконец, в силу теоремы в 13 главы !!! Р(р) будет аналитической функцией от р в области Р, причем и — 1 ( Р ) ! р ~ л э ( а Р ) 1а а-е ~~ У!1 (!а' Р) Ь!а = ~ Ур(! Р) 11! а=о что и требовалось доказать. на (а, Ь) и р на Ь, где Ь вЂ” какая-либо ограниченная замкнутая область в Р), следовательно, в силу теоремы 6 13 главы Ш имеем Р (Ги, Р)-«У (Ь Р) раЗИОМЕРНО Виутрн Р, О~Куда ВндНО, ЧтО Прн ги — «г Р будем иметь у (г„, ри) — «у" (Ь р), Ри- Р и — 1 Лалее, имеем Г(р) =- 1пп ~~„у(сы р) Ь!а при пэах Ьга — «О (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
