Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(2а+ 1) )/ е 2 а-о 1 — +оа ( — 1) х =Х, ° о 2 511 3 5...(22+1)Уо Но 2а 111 - 3 ° 6... (2й+ 1) = (2й+ 1) 1, следовательно, а=о Далее, имеем: 1 — ~5~ ') (2) у 1(х)= т ~ а!г(а+ 2) но в силу (4.6) , ( + 1 ) 1 3 5 ... (2а — 1) ~-- следовательно, о у с(х)= т, — ~ а! 1 ° 3 ° 5 ... (2а — 1) ф' в а--о ' 1 алоэ — — + оа ( 1)ах 2 1 а=о 2 о а~! 3 5 (2а 1) У-~ 224 о нвкотовых спвцилльных етнкциях (гл. ьч Но 2"й! 1 3 ° 5... (2й — !) = (2й) 1, поэтому Г 2 ( — 1)л хаь л=-в С помощью (4.25') находим: .т (х) но в силу (4.29) У (х) / 2 в~пх ха следовательно, при целом положительном а 1 в / 2 в+ — l,т ~на!пх У ~ (х) =( — 1)" '~ — х а ~ — ) —. (4.29') в+ — в 1х л'х) х а С помощью (4.26') находим: ( )1 1 1 — х ' У ~ (х)~=х ' /, (х), хпх) 2 а — —,— в но в силу (4.30) 1 х ау, (х)=~ — —; Г2 соах в х 2 следовательно, при целом положительном п 1 У, (х) = ~/ — х ' ( — ) †.
(4.30') 2 ~э — / И 'Р'свах -л,, = в '~хЛх~ х $ 5) интвгглльноа пгедстлвленив вессвлввых отнкций 225 й 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ Производящая функция системы функций Рассмотрим систему 5 функций у„(х) (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел: ., у е(х), у,(х), уз(х), у;(х), ув(х), .
Составим ряд ч~~ ~'„(х) г", где г — комплексное переменное. Предположим, что при каждом х (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность С (т. е. окружность с центром 0 и радиусом 1, рис. 60). В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексного переменного без точек 0 и сс. Функция Е'(х, з) =," 1„(х) з" (4.31) (где х лежит в области определения Рис. 60.
функций системы 5, в — внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению х) называется производящей функцией системы 5. Обратно, пусть задана функция р(х, а), где х пробегает некоторое множество, г находится внутри некоторого кольца, зависящего от х, с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность (в частности, эти кольца могут быть полной плоскостью комплексного переменного без точек 0 и со). Тогда, если р (х, з) при каждом х аналитична относительно г внутри соответствующего кольца, то Г (х„ з) есть производящая функция некоторой системы 1б Зак.
1944. П. И. Ромавовсквя 226 о накотогых специальных функциях (гл. гк 5 функций. В самом деле, разложив при каждом х функцию Г (х, а) в ряд Лорана по степеням х Г(х, г) = — ~~ уи(х)а", найдем, что система коэффициентов ~,(х) этого ряда будет искомой системой 5. Формулы для коэффициентов ряда Лорана (см. гл. Ш, Э 1б) позволяют выразить функции У„(х) рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы н преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности С (комплексное параметрическое уравнение которой есть г = е'", — я ( о ( я) в простой интеграл, получим: Уя(х)= э —,')г — ч~, г(г= 2 ~ Г(х, е'г)е-а"эгиду.
(4,32) с к Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами Покажем, что для системы бесселевых функций 1-го рода с целыми индексами Ул (х) (а = О, — 1, - 2, ...) производящая функция есть: Г(х, г)= еа ~ Имеем: откуда после почленного перемножения этих равенств (умножаем абсолютно сходящиеся ряды, стоящие в правой части, и соединяем в одну группу члены, содержащие ~ 5] интегРАльное предстАВление БесселеВых этнкций 227 одинаковые степени г) найдем: ,=,~.,~,, — еГ- хп и Л,7 А х'В77 (2) -Ь сь н Л777 н= — со А~О!~0 7 — Аьн вательно, при и )~ О это будет ,'р~ ; при и = — т ( 0 это А=о будет ~~~ .
Таким образом, во всех случаях внутренняя й=ььь сумма есть l„(х) в силу формул (4.20') и (4.200). Итак„ е' ~ = ) .=.,"~~ ./„(х)В", 7'4. 33) НО ЭтО И дОКаЗЫВаст, ЧтО Е' с ' 7 ЕСТЬ Пренэяедяпрая функция для системы ./0(х). Выведем некоторые следствия из формулы 74.33). Полагая в ней г.=-- В'р, получим: (так как в предпоследней внутренней сумме и и 1 были связаны зависимостью 1 — й =- п, то мы могли положить 1 == и+ 77, получив суммирование по одному индексу и). В последней внутренней сумме суммирование производится 7' 70)~0 по всем тем целым й, для которых ~, следо- ~ и+А~~О ' 228 О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ (ГЛ. !У откуда после разделения действительной и мнимой части [учитывая, что / в(х) = ( — 1)" У„(х)) -лез СОБ (Х 51П 1~) = — ~~~ ~Ув (Х) СОБ П1~ = '/О (Х) + Х (Зв (Х) + У- в (Х)! Соз Л!У в=1 = Уз (х)+ 2 )~ У„„(х) со52т!р; (4.33') 2!=1 5!и (х Б!п !11) =- ~,Ув (х) 5!и л!е = Х ! / (х) У вЂ” в (х)! 5!и п1~ -«О в=! = 2 „"~ У2,1 (х) ейп (2т+ 1) 1~.
(4. 3ЗК) !в=О Заменяя в (4.33') и (4.33е) Ф на — — !у, найдем: 2 с о 5 (х со 5 ср) = Уз (х) + 2 ~ ( — 1) "' Лв (х) со 5 2т12; (4. 33"') е!-! 51П(хсоз у) =- 2 ~~', ( — 1)е!./2~+1(х) соз(2лг+ 1) у. (4.33ев) Интегральное представление ./в (х) Так как, по доказанному, при ув (х) = lв (х) имеем л !' 2. (х, г) = е' ! -" 2, то по формуле (4.32) получаем используя в преобразованиях формулы Эйлера): л !е!Р— е !Р! / (х) ~ а 2 е-лет !(!е ~ е!в 212 е-!вао!!е— 2.! 22 — ! — л л — Г! 1е е!е Б вл1ет!е = — ~ С05 (Х 5!П т — Пее) !!!~2+ л 1 +1 — 51п(Х51п о — НР)да= — ~ соз (х51П!Р— по) г(Р 2в ~ 6[ Асимптотическое пРедстАВление вессельвых Фтнкций 229 где принято во внимание, что соз(ха!и Р— п~ь) есть четная функция от о, з[п (х я[В ~о — по) есть нечетная функция от Р.
/) Итак, доказано, что для любого целого числа и ~= О ~( ./„(Х) = — — [ соз (х Мп Р— и о) с[р. (4. 34) [' о Формула (4.34) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра х. Эта формула называется интегральным представлением Бессели для /„(х), правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при и =- О найдем: Уо (х) = — ~ соз (х 51п т) д~~о. (4.
34') о в 6. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ С ЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ ДЛН БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА Пусть о (х) — положительная функция и у(х) — какая- нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений х. Запись у(х) = 0 [Р (х)[ при х — ++ со означает, что найдутся такие числа хо и М, что при х ) хо имеем ! у (х) [ ( Мо (х).
Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если Ф(г) — положительная функция и Г (г) — какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых. положительных значений 1, то запись Г(!) =-0[Ф(~)] при г-+О означает, что найдутся такие числа е и М, что [Р(1)[ ~ < МФ(г) на (О, е). 'й 6! аоимптотнчвсков пгвдстлвлвнив ввсовлввых еункций 231 соответствующего пункта следующего параграфа), поэтому )с (у у е-сс т 1 е'С = О ( =1 при х -ь + со, л откуда 1 ! е сс т!т = — — с(С = О ( — ! при х -«+ со. ) х. р7 х Итак, получаем асимптотическое представление: =~/ Н яс е-смс / -)Гс г' х лг = т,' — е + О !1 — ) при х-ь+ со. (4.36) (х) о Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаелюм правой части формулы (4.35).
Илгеем: е-смс у(~ с) у(~) с!с= ~е-с с (с) тг с с!с, где ч (с) = у(! — с) — у(!) Очевидно у(с) дважды непрерывно дифференцируема на (О, 1), но, как легко видеть, существуют !пп е(с) и 1яп ч'(с), поэтому у(с) с->о с.+о (после доопределения в точке !=О) становится непрерывно диффе'ренцируемой на сегменте (О, 1). Интегрирование по частям дает: с 1 е-схс -! 1 Г е-с сч (с) 'рг с с!с = — — (~ (с) "гг с ~ + †, ) е-г « [ р (с) у"с)' с(с сх с,) е о е-сх /11 где первое слагаемое правой части,— у(1), есть О!1 — ) при сх 'тх) х -ь+ со, а интеграл во втором слагаемом (несобственный прн нижнем пределе) мажорируется интегралом ~ ~(у(с) З'с!'~лс, о 232 о нвкотогых спвцнлльных ехнкциях (гл. !ч который схолится, так как 1 — 2 ~() (т(т) 3'т)'= = — — — = О !7=) при 1-ь 0; /1! следовательно, второе слагаемое есть то;ке О( — 7! при х-ь+со.
!,х) Итак, имеем: е-™ ) Лт = О ( — ) при х-~.-Рсо. (4.37) )7Т !, х! Из (4.35), (4.38), (4.37) получаем искомое асимптотическое представление: — У(т)к!= У(1)+01 — ) при х-ь+оо. (4.38) г'. ! — т )Гт.х т,х/ в Из втой формулы, переходя к сопряменным величинам, найдем еще: — тжт „, х 4) — у(1) лт = у(1) + О ( — ) при х-ь+со. (4.38') — х хх/ в Формулы (4.38), (438') верны и для компликснозначных функций Д(т) =-ут(т)+(Уз(т) (ибо они веРны длЯ Ут(т) и Уз(т)).
Вывод асимптотической формулы для l„(х) В конце 8 5 л!ы виделн, что у ( ) ~ зев!ил-тя 1 1 и =2в ) — я Заменяя т на — — т, получим: 2 Звч / (х) ~ етхсозчзтич у 2я е ' (созна-)-гь!пл!т)кт= ~ езхс в созпткт о й 6] дсимптотичкскои пввдстлвлвник ккопвлквых етнкцнй 233 (учитывая, что е!"'"'т соз пу есть четная функция от о, а е'" "' т з!и пу есть нечетная функция от Ч). Подстановка соз у = ( дает: ъя иаэс е в [ ! г соя(п агссоз г) е з, г Ти(() Л = У() - .] '' )! ° '= и .] '')1 — 1 где Ти (!) = соз (и агссоз г) есть, очевидно, полипом и-й степени (полино» Чебы нева), так как из формулы Муавра видно, что соя не есть полипом и-й степени относительно соз чь Но Ти (1) -) ' — ! е и, заменяя в первом из зтих интегралов Г на — й получим: 1 — ~ егмс ! [' с Ти(!) кг = [' 1 — гз ! 1 — е — тлг — "- Л + — ~ егзг " г(! = — — )Т! — ~ е е 1 1 1 [ я — смг Т„( — !) 1 [ егмг Ти и(() Так как " — н " на [О, 1] владеют производные всех Ти ( — !) Т„(!) порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (4.38') и (4.38) и мы получаем: — е ~ Т„( — 1) е ТТй (!) но Т( — 1) = соз пт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
