Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 24
Текст из файла (страница 24)
а,> Свь, Св(С.>а,) св (Ь, -Ь,) а((св-а,) поэтому (при надлежащем выборе (>1) 51 — (>1 = — а,— а, или (рис. 53) (п„п,) = (л(1, л>1). Это показывает, что при конформном отображении 1-го рода углы между «нзправлениямивв сохраняют величину и ориентацию. В случае ()(') = и: получим (полагая >а =с"): «вЬ, с( (с — а,) свЬв св (с — ав) е((св Ь') =- Е((а,-ав> 189 9 191 диеевгвнцигтвмыв отовглжвния поэтому 1при надлежащем выборе 52) 52 — 51 =- а1 — а, или 1рис. 54) (П1 В1) =- (Л22, И1).
Это показывает, что при конформном отображении 2-го рода углы между «направлениями» сохраняют величину, но ме- Рнс. 55. Рнс. 54. няют ориентацию. Наконец 1учитывая, что предельный пере- ход в 13.65) равномерен относительно "), находим, что грис.
55) 1' ' ~ 1 ' 1 ~~~~ 2) 1'М а 12 при ! М2 +М Ф ~ 1ММ„ММ,) -;~ (верхний знак — для конформного отображения 1-го рода, нижний — для конформного» М У отображения 2-го рода). В частности, если у(г) непрерывна в некоторой окрестности точки М, то в случае конформного отображения 1-го рода 12гго рода) в точке М две дуги, выходящие из М 1рис. 56) и пересекающиеся в этой точке под углом <у, переходят в две дуги, выходя1цие из И и пересекающиеся в этой точке под углом ~2( — т).
190 (гл. ш АНАЛИТИЧВСКИВ ФУНКЦИИ Заметим теперь, что условия А=О, А= — О, являются условиями Коши — римана соответственно для у"(я) (А=- О, и Д~~) и что при ~ условие невырождения отображения состоит в том, чтобы А и С одновременно не обращались в нуль, так как Поэтому из предыдущей теоремы и результатов й 6 непосредственно вытекает Теорема. Для того чтобы отображение тв =у(я) было конформным 1-го рода (2-го рода) в данной точке, необходимо и достаточно, чтобы у"(г)(У(г)) была дифференцируема в этой точке и имела в ней производную, отличную от нуля Пусть у(г) днфференцируема в данной точке г и в этой точке у'(г) + О, тогда отображение тв = у'(з) будет конформным 1-го рода в точке г, причем Р=')г А'+С' =)А+!С! =.)У'(г) К )г= =, — =АНАИ'(»). А + 1С у'(а) р / /' (а) Я Таким образом выявляются: !) геометрический смысл модуля производной: Если в данной точке у'(г) чь О, то ~у'(г)( есть коэффициент искажения масштаба в этой точке отображения = У(а)' 2) геометрический смысл аргумента производной: Если в данной точке У'(Я) чь О, то ЛгдУ'(Я) есть Угол, на который поворачиваются все «направления», выходящие из этой точки при отображении я =)'(г).
э 201 конэогмныв отовгажвння овластвй !91 В дальнейшем конформное отображение 1-го рода будем просто называть конформным. П р и м е ч а и и е. Если рассматривать отображение тв =Да) области О полной плоскости комплексного переменного в полную плоскость комплексного переменного, переводящее точку гз в точку тво, то данное ранее определение конформности отображения в точке з теряет смысл, если хотя бы одна из точек зз, «в~ есть со. Если го конечно, твз — — оо, то отображение тв = У(г) называется кон- 1 формным в точке г, когда отображение та = — — конформно о у (г) в точке зр. Если аз= — оо, то отобРажение тв= У(з) назы- /11 вается конформным в точке ям когда отобрзжение ю =) ( — ) ~з) 1 конформно в точке О. Пользуясь отображением тв = —, з можно говорить о «направлениях», выходящих из точки г = со при помощи соответствующих «направлениий», выходящих из точки тв = О.
Заметим еще, что с помощью стереографической проекции (см. 9 16) точку со можно сделать равноправной с конечными точками. й 20. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ Общие замечания о действиях над отображениями Пусть  — отображение множества А в множество В, Т вЂ” отображение множества В в множество С (природа элементов всех этих множеств безразлична).
Тогда произведение ТВ отображений' В и Т определяется как такое отображение множества А в множество С, которое является результатом последовательного выполнения 5 и Т. Это значит, что (ТВ)(а) = Т[5(а)1 'для всякого а из А. Произведение отображений обладает сочетательным свойством и(ТВ) =(ит) В. Если 5 — взаимно однозначное отображение множества А на множество, В (это значит, что каждый элемент из В имеет ровно один прообраз в А), то можно говорить об обратном отображении В ' множества В на множество А (если каждому элементу из В отнести его прообраз в А). 192 (гл. ш лнллитичвскив Если каждому элементу из А отнести этот же элемент, то получим тождественное отображение В множества А на себя.
Очевидно, Я 'о = — Е. Аналогично, ВВ ' = Е (здесь Š— тождественное отображение В на себя). Если Я и 5, — взаимно однозначные отображения А на В, Т вЂ” взаимно однозначное отображение В на С, то из ТБ=ТБ, следует 5 = 5 . В самом деле, последовательно находим: Т '(ТВ) =Т '(ТВ,), (Т-'Т) В = (т-'Т) В~ ЕВ =- ВЯы 5 = Я,. Аналогично из ТЗ= Т,$ найдем Т =-Т,.
Однолистные функции Функция 1'(г), определенная в некоторой области, называется униаалентной на некотором множестве (входящем в область определении), если разным точкам этого множества отвечают разные значения функции. Мероморфная (в частности, аналитическая) функция г'(з) в некоторой области О называется однолисгиной в 1), если она унивалентна на О. Если мероморфная функция 1(а) однолистна в области с), то в каждой регулярной точке этой области производная отлична от нуля.
В самом деле, если в некоторой точке г Т(ля) ==- а, 1" (Яв) == О, то вв бУдет а-точкой кРатности выше первой, а тогда в силу одного из следствий из теоремы Руше (см. 9 18) при Ь, достаточно близких к а, Т(я) более одного раза принимает значение Ь, что противоречит унивалентности. Однолистная функция У'(г) в области В может иметь не более одного полюса, причем этот полюс может быть только простым. В самом деле, если да†полюс для Дг), 1 1 то гя — нуль для — —, а так как — тоже однолистна, то У(з) ' Х(г) 1 по доказанному з — простой нуль для — и, следовательно, о у(л) простой полюс для У(г). 5 20) конФОРмныв ОтОБРАжвния ОялАствй 193 Всякая аналитическая функция )'(я) однолистна в достаточно малой окрестности каждой точки, в которой производная отлична от нуля.
В самом деле, пусть У'(яо) Ф О, тогда если бы ни в какой окрестности го Дя) не была однолистна, то нашлись бы такие последовательности точек аи и Ь„, что а„ -+ го, Ь„ -+ яо, а„+ Ь„, 1(ам) =У(д„). Пусть тогда Т вЂ” окружность с центром яо и радиусом р, где р таково, что г(я) Фу(го) при 0 ( ) г — го ) ~,. р. Очевидно, у(г) — у(яо) имеет внутри только один нуль (с учетом кратности) и не имеет нулей на Т. Но У(Я) — У(ам) — +У(а) — У(ле) РавномеРно на т, следовательно, — по теореме Гурвица — при п, достаточно большом, У(я) — 1(аи) имеет внутри Т тоже лишь один нуль (с учетом кратности), и мы получаем противоречие, ибо при достаточно большом и эта функция имеет внутри Т нули ан и Ь„.
Всякая мероморфная функция однолистна в достаточно малой окрестности каждого простого полюса. В самом деле, если ге — простой полюс для у(я), то го — простой нуль 1 1 для —. По доказанному — однолистна в некоторой У(а)' У() окрестности точки я, следовательно, у(л) однолистна в этой же окрестности. Замечание 1. Если г(я) мероморфна в полной плоскости, то у(л) есть рациональная функция. В самом деле, пусть аы ..., я„ — полюсы г'(я) (число их )~ 0 и, конечно, среди них может быть со).
Вычитая Из у(г) сумму главных частей у(г) в полюсах я„..., я„, получим функцию, аналитическую в полной плоскости, но таковая в силу теоремы Лиувилля является постоянной. Следовательно, Г'(г) равна сумме постоянной и своих главных частей в полюсах г„.. г, ан. Таким образом, 1"(а) рациональна. Замечание 2. Если 1'(г) мероморфна и однолнстна в пол- ной плоскости, то у(а) есть линейная функция (т. е. вида аз+ Ь) В самом деле, г"(я) может иметь не более одного полюса и таковой может быть лишь простым. Как мы видели в пре- 13 Зак, 1ЭИ, П. И.
Романовский 194 анллитичвскив эвикции [гл. ш дыдущем замечании, у(е) равна сумме постоянной и главных частей г"(г) в ее полюсах; следовательно, в рассматриваемом л случае Г" (г) может лишь иметь вид с+ (если есть е — а конечный полюс а), с+да (если со есть полюс).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
