Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Отображение ~ называется ~ о=-о(х, у) дифферениируеиым в данной точке рассматриваемой об- ласти, если и (х, у) н о(х, у) дифференцируемы в этой точке. Таким образом,дифференцнруемость отображения в точке (х, у) означает возможность представлений (о полном диф- ференциале функций двух действительных переменных см. э 6): Ьи=АЬх+Вйу+ а,(бх, Ьу) )'Ьхз+Ьуа, ) ) (3.62) Ьо=СЬх+Обу+ ае(бх, Ьу)~Гдха+иуа, ) ( Лх — +О, где е, и еа стремятся к нулю при ~ и где А, В, Ьу — ь О С, О в некоторые действительные числа (эти числа одноди ди ди значно определены, причем А =- — , В = — — , С = — — , дх ' ду ' дх ' 0= — ).
до ду Дифференцируемое в точке (х, у) отображение назы- 'А В вается невырождающижся в этой точке, если ~ ~ О. Лемма. Если отображение, дифферепцируемое и невы- рождающееся в точке М, переводит точку М в точку И, то точки, достаточно близкие к М и отличные от М, перейдут в точки, отличные от И. Доказательство. Правило Крамера показывает, что если с, и определить как функции от а, 3 из линейной системы Ас+ Вч) + а — О, С~+О)+3=О, ( и — +О, то при ~ будем иметь сз +т,' — + О, поэтому найдется (З- О ,' (а1( а, такое число и ) О, что при 1, выполняется нера( ~Р1(а венство са+ аа ( 1. ч 19] диеевгвнциаувмыв отовгджвния 183 Выберем теперь 3) 0 так, чтобы при 1/Ьха+Дув ( 3 выполнялись неравенства 12, ] ( о, ] во ] ( а.
Тогда при 0 ( 1/Дх'+Ду'( 3 числа Ди, Ьо одновременно не обращаются в нуль. Действительно, в противном случае Дх Ду числа 3 = , 2) =- — — удовлетворяли бы Т/Д 2 + Дуо 1/ Дха + Ду1 системе А$+Вт]+е =-О, С3+ О ]+., = О, где ]21](о' ]22](о е +7] что противоречит определению числа о. Пусть отображение тв = /(г) дифференцируемо и не вырождается в точке г. Тогда в силу леммы найдется такое 3 ) О, что при 0 ( ] Да] ( 3 будем иметь ]Дев] + О. Г1о- ложим Дг = гТ (г ) О; Т = а+13; ] Т] = 1), Дтв = рл (р ) О; ), = ]2+ гю: ]),] = 1). Из (З.б2) следует: РР. = Ага+ Вгг ч+ геы рч = Сга+ Огр'+ гео, где е,= е,(га, г~3), 22 2 (1 а г~2)' Возводя в квадрат и складывая, получим: р'= га](А +В3+ в1)2+(Са+Р3+ )'! Р— )гг(ла + В!+ )2+ (Са+ ОЗ + )2 Пусть Г = 3+го; ,'" ]= 1. Тогда ] ]и Р = ф' (А5+ Вт])2+ (С3+ Г)т])2 = р ('») (3 б4) 2-+ О 1.+ 1 причем стремление — к р (") равномерное относительно "„ г 184 [гл.
ш АНАЛИТИЧВСКИВ ФУНКЦИИ Эту непрерывную положительную функцию р(".) от комплексного числа ". с единичным модулем назовем индикатрисой растяжений рассматриваемого отображения в точке е. Далее, умножая второе нз равенств (3.63) на 1 и складывая с первым, получим: рЛ:== г [(А + сС) а+(В+ 10) 3+ «+1«1[. Отсюда, учитывая (3.64), найдем: (А + 1С) «+ (в 1- (о) ч (г) (3 бо) г+О р(~) 1-+1 причем стремление 1, к о(".) — равномерное относительно ".. Эту непрерывную функцию (г(".) от комплексного числа '. с единичным модулем, значения которой суть комплексные числа с единичным модулем, назовем индикатрисой ераи(е- ний рассматриваемого отображения в точке я.
Пусть Я вЂ” произвольное отображение области 0 пло- скости комплексного переменного в плоскость комплексного переменного, переводящее точку М в точку 1»'. Обозначим через М, переменную точку области О, отличную от М, и через 1»1 ту точку, в которую переходит М, при ото- бражении Ь'. Пусть т — «нзправление», выхолящее из точки М. Будем говорить, что отображение 5 имеет в точке М по «направлению» т коэффициент исках жения лсасштаба я, если (рис.
48) Ш [ М1-«М, ХД1 при ~ . имеем — +-х. 1 [ (ММ„т) -+ О 1 Ае В частности, если функция, осущестРис 48 вляющая отображение 5, непрерывна в окрестности точки М и если 5 имеет в точке М по «направлению» т коэффициент искажения масштаба х, то всякая дуга, выходящая из М и касающаяся в этой точке луча т, переходит в некоторую дугу, выхо- 1« 1»1 дящую из 1у', причем отношение хорд — стремится к х, ММ1 когда длина хорды ММ стремится к нулю (рис. 49), 9 19! див»в»внци»явныя отовиажвния !85 Если 5 таково, что при М„ достаточно близкой к М, точка И, отлична от точки И, то будем говорить, что отображение о переводит «направление» т, выходяи1ее из М, в «направление» и, всвходящее из И, если (рис.
50) ( Мг — »М, при ( . имеем (ИИ» и)-+О. ! (ММ,, т)-+О В частности, если функция, осуществляющая отображение 5, непрерывна в окрестности точки М и если 5 пере- Г, Рис. 49. Рис. 50. водит «направление» пы выходящее из точки М, в «напра- вление» и, выходящее из точки И, то (рис. 51) всякая дуга, выходящая из М и касающаяся в этой точке луча т, и переходит в некоторую дугу, выходящую из И и касаюи щуюся в этой точке луча п. Изложенное выше показы«» дифференцируемо и не вырожРис. 51.
дается в.точке М, то 5 имеет в точке М по каждому «направлению» т положительный коэффициент искажения масштаба и каждое «направле- ние» т, выходящее из М, переводится в некоторое «на- правление» и; выходящее из И. Именно, по «направле- нию» т, образующему с действительной осью угол а, коэффициент искажения масштаба равен р(е") и «направ- ление» т переводится в «направление» п, образующее с действительной осью угол К определяемый из равенства е'ь = о (е"). 186 (гл.
Нз АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Отображение, конформное в данной точке ( А= — О, ( А= — О, чтобы ~ или Доказательство. Если р() =сонэ(=р, то В„)г+(Се+ О,)з пз ре(зг 1 „)г) при 1г+з)я=1. Умножая это равенство на любое В)~0 и полагая Х= )тз, 'г'= йз1, получим тождество (АХ+ВУ)з+(СХ+ОУ)г=р (Х + Уг) или (А'+Сг — рг) Хе+2(АВ+Со) ХУ+ (Вг +Оз ~г) )г О следовательно, все коэффициенты этой квадратичной формы должны быть равны нулю, откуда А'+С'=В +Юг, АВ+СО=О или Аз Вг рз Сг АВ = — СО. Умножая второе равенство на 21 и складывая с первым, получим: (А+ 1В)г (О 1С)з А+1В = (Π— — 1С).
( А =- О, Следовательно, либо 1 А = е-з'.), Обратно, пусть ~ тогда А= — О, ! либо (А1+В )з+(С1+В )з= = (Аз —, Сз))з+(С1:~ АТ))з = Аз+ Се при $г + г1г = 1. Теорема. Чтобы дифференцируемое и невырождающееся в данной точке отображение имело в этой точке постоянную индикатрису растяжений, необходимо и достаточно, э 19[ ДИЕЕЕРЕНЦИРКЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Следовательно, р(').=1 А'+С'=сонэ( === р, 187 что и требовалось доказать. Замечание. Если индикатриса растяжений постоянна, то индикатриса вращений имеет вид й: или йб (й постоянно; [й[ = 1). Обратно, если инликатриса вращений имеет вид й: или йг (й постоянно), то индикатриса растяжений постоянна.
В самом деле, если р(~) = сопл( =р, то по предыдущей [А= -О, теореме имеем ~ и поэтому ~в= — с, (А+ [С) 1+ (В+ Ы) т) = (А+ 1С) Б+(:, С [А) т) = = (А+ 1С) (Б 1"л); Следовательно, д(")=й". или д(".)=й:, гле й=- А+гС р [й [= 1. Обратно, если д(".) = йб или д(".) = й"., где й=сопз(=й,+гйа то, сравнивая действительные и мнимые части в равенстве (А + 1С) 1+ (В + 10) ъ) = р (б) (йг + (й ) (1 .: пд) и рассматривая получающиеся соотношения как линейную однородную систему относительно 1, т[ (которые одновременно не обращаются в нуль), заключаем, что ее определитель равен нулю.
Это значит, что Г' [р(:)[ =(), гле А — й, р В ~ й а р ,' , С вЂ” йар и — й,р [' и таким обрзаом значениями непрерывной функции р(ч) могут быть лишь корни полинома второй степени Р(р); следовательно, р(й) тождественно равно одному из этих корней.
Определение. Дифференцируемое и невырождающееся в данной точке отображение называется конформным в ланной точке, если в этой точке индикатриса растяжений постоянна (эта постоянная называется коэффициентом искажения масштаба в данной точке). В силу предыдущего замечания инлнкатриса вращения конформного в данной точке отображения либо имеет 188 [гл. ш АнАлитическив Функции вид и'.(тогда отображение называется конформным 1-го рода в рассматриваемой точке), либо имеет вид и; (тогда отображение называется конформным 2-го рода в рассматриваемой точке). Остановимся на геометрическом смысле введенных понятий. Пусть отобра>кение тв = г" (а), конформное в точке М, переводит точку М в точку >>(.
Тогда (учитывая, что предельный переход в (3.64) равномерен отнов)$~ д>д>1 сительно ч) — -+рприМ1-+ М ММ> (рис. 52), где р — коэффициент искажения масштаба в точке М. М >> Пусть т и л>з — какие-ни- 1 будь «направления», выходящие Рис. 52. из М под углами а> и а> к действительной оси. Им соответствуют <снаправления» и, и и,, выходящие из Гв> под некоторыми углами (>1 и >> к действительной оси. В случае д (") = Й' получаем (полагая )> — свс). смь с((с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
