Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Функция э(г) непрерывна в точке а и ср(а)==-Ая Фь О, следовательно, в достаточно малом концентрическом круге меньшего радиуса э(х) чь О, а поэтому, за исключением, быть может, точки а, имеем в этом круге У(г) ив О. Точка а называется нулем функции У(г), если у(а) =О. Из последнего пгедложения слелует, что если 7(г), аналитическая в области О, не равна тождественно нулю, то все ее нули в области О изолированные (т.
е. закрут каждого из них можно описать такой круг, что других нулей в этом круге не будет). Кратностью нуля аналитической функции (не равной тождественно нулю) называется такое и, что разложение в степенной ряд в окрестности рассматриваемого нуля а начинается с и-й степени, иначе говоря, если в окрестности а имеем 7(г) =-(з — а)" Т(з), где аналитическая функция р(з) такая, что о(а) + О. Нули кратности ! называются простыми, нули кратности 2 †двойными, нули кратности 3 в тройными.
Формула (3.46) для коэффициентов ряда Тейлора может быть переписана на основании формулы (3.44) в виде Аз=У,— ) (и=О, 1, 2, ...). (3.47) Оценка модулей коэффициентов ряда Тейлора Если на окружности Г модуль функции у(г) не превышает М, то, обозначая через ес радиус окружности Г и оценивая интеграл в формуле (3.46) по правилу оценки Теорема единственности. Если в области В даны две аналитические функции, совпадающие на множестве точек, имеющем хотя бы одну предельную точку, лежащую в 1З, то эти две функции тождественно равны. В самом деле, пусть а — упомянутая предельная точка.
Тогда разность рассматриваемых функций обращается в нуль в точках, находящихся как угодно близко к а и отличных от а, но по доказанному этого не может быть, если рассматриваемые функции не совпадают тождественно. 161 16] РЯД ЛОГАНА модуля интеграла (3.37), получим; ( Ао ) = ~ — ~~1 дг ( — — — 2пй = —. 1 г У(г) ! М М 2гн,( (г — а)" ' 2я Ло г оо г Таким образом, получаем неравенства ) Ам 1~ ( — „(и = О, 1, 2, ...). (3.48) Из (3.48) непосредственно вытекает теорема Лиувнлля: целая функция (т. е.
аналитическая на всей плоскости), ограниченная на всей плоскости, есть постоянная. В самом деле, пусть на всей плоскости У(г) = ~~ А„г"; 1У(г) ) (М. о М Тогда прн любом Л имеем ~ Ао )~( —, откуда в пределе прн Л вЂ” ~ со о Лм найдем (при н)0) ~Ам ~ (О, т. е. А„=О. Следовательно, у(г) = = Ао= сопзг. Из теоремы Лиувилля легко вытекает основная теорема высшей алгебры: всякий полипом, отличный от постоянной, имеет по крайней мере один нуль. В самом деле, если бы полипом Р(г) не 1 имел нулей, то была бы целой функцией, Так как известно, Р (г) 1 что Р(г)-мсо при г — ьсо, то — -мО при г-мсо, откуда видно, Р (г) 1 что — будет ограниченной на всей плоскости.
Но тогда по тео- Р (г) 1 реме Лнувилля , = сопзг н, следовательно, Р (г) = сопзг, что Р (г) противоречит предпоаогкенню. ф 15. РЯД ЛОРАНА Пусть 7(г) — аналитическая функция внутри кольца (рис. 42) между двумя окружностями с центром а (если радиус внутренней окружности равен О, то кольцо становится кругом с «выколотымо центром; если радиус внешней окружности равен со, то кольцо становится внешностью круга; если упомянутое происходит одновременно, то кольцо становится плоскостью с выколотой точкой). Пусть г †точ внутри етого кольца, С и С' — концентрические окруж- 11 Заи.
1944. ГЬ И. Романовсвма 162 (гл. ш АнАлитичвскив Функции ности, лежащие внутри кольца и такие, что г лежит внутри С и вне С'. По формуле Коши для сложного контура у(г) 1 ~У«)Л(+ 1 ~,У«)Л( 2л1 ~1 ( — г 2г1'~ Ь вЂ” г о с 1 Х. У О! Л( 1 Х, У «) Л( 2гг~г 1 — г + 2г! ~ г — ( ' Первое слагаемое правой части на основании выкладок й 14 представляется рядом у А„(г — а)", о о где А ' х, у(')"'- 2я1 5 « — а)" "' г причем à — какая-нибудь фиксированная концентрическая окружность внутри Рнс.
42. кольца. Остается преобразовать второе слагаемое — у 2лг (~ г — Г о Положим ~г — а(=г и радиус круга С' обозначим через р. Тогда при ь на С' имеем: 1 1 1 — г — а — « — а) 1 С вЂ” а1' (г — л)~! — — ) г — а) ( — а г и так как ~- — = — (1, то последнее выражение можно г — а рассматривать как сумму убывающей геометрической про- 1 ь — а грессии с первым членом — и знаменателем — .
Таким г — а г — а' образом, 1 1 ь — а г — ь г — а+(г — а)а+'''+ Ф О « — а)" ' чьч « — а)" + ( — )" + ' ' ' х ( — )" ' Гбз й 15] РЯД ЛОРАНА где А „= —. — (ЗОВ'(:)(".— а) и>'. = — у ! г н — >, 1 г /(~)д~ 2>:1,> 2в! ~ (г — а) ]замена С' на Г законна, так как у('.)(ч — а)~ аналитична между С' и Г, включая их]. Складывая разложения 1 У (ч)>!ч 1 У (ч) Ж 2я! >3> ч — г 2в! $ л — Г.
с !(г) в ряд по целым степеням г — а Этим доказана следующая теорема. функция у(е), аналитическая внутри может быть разложена внутри этого получим разложение с показателями =.О. > ( Теорема. Всякая кольца с центром а, кольца в ряд у (г) =- ',р~ А„(г — а)", (3.49! коэффициенты которого определяются формулой А„= — >~> аг (и==О, >:1, -2, ...), 1 г У(л) 2в1>3> (л — а)н+> г (3.50) где à — какая-нибудь окружность с центром а, лежащая внутри данного кольца. Этот ряд называется рядом Лорана для Г(я) в рассматриваемом кольце.
11* Сходнмость этого ряда — равномерная по г. на С' (при фиксированном г), так как этот ряд мажорируется числовой к! Рн-> убывающей геометрической прогрессией ау — „. Умножая на >(:), интегрируя почленно по С' и деля на 2п(, получим: !' А „(я — а) !64 (гл. 1п Аналитические эвикции Если функция У(г) разложена в кольце с центром а в какой-нибудь ряд вида + > ~ А„(г — а)", то, рассуждая дословно, как в соответствующем месте э 14, получим: 1 ~ У(г)йг 2хГ'Зг (г — а)" гг г где à — окружность с центром а, лежащая внутри кольца. Этим доказана единственность разложения аналитической функции в кольце с центром а в ряд по целым (з-0) сте< пеням г — а. Оценка модулей коэффициентов ряда Лорана Если на окружности Г, лежащей внутри кольца, модуль функции г(г) не превышает А4, то, обозначая через )х радиус окружности, получим как при выводе неравенств (3.48) аналогичные неравенства ~ А„! ( — н (и = О, — 1,:"2, ...).
(3.51) й 16. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Точки, в которых нарушается аналитичность функции, называются особыми. Если в достаточной близости к особой точке а нет других особых точек, то особая точка а называется изолированной особой точкой. Если а есть изолированная особая точка функции у(г), то в достаточно малом круге с выколотым центром а функция у(г) будет аналитичной и, следовательно, разлагается в ряд Лорана й !6] ИЗОЛИРОВАННЫВ ОСОБЫВ ТОЧКИ 165 Логически возможны и исключают друг друга следующие три случая: 1) в разложении (3.52) нет членов с отрицательными показателями; 2) в разложении (3.52) есть лишь конечное число членов с отрицательными показателями; 3) в разложении (3.52) есть бесконечно много членов с отрицательными показателями.
В этих случаях особая точка а называется соответственно 1) устранимой; 2) полюсом; 3) существенно особой. Члены разложения с отрицательными показателями и составляют главную часть г'(г) в окрестности особой точки а. Если а в устранимая, то в окрестности точки а У(г) = Х Ая (г — а)л; о следовательно, после надлежащего доопределения функции в точке а [)"(а) = Ае] функция у(г) становится аналитической в точке а и «особенность устраняется». В достаточно малой окрестности устранимой особой точки функция г'(г) ограничена. Обратно, если у(г) ограничена в некоторой окрестности изолированной особой точки а, ]г"(г)] М, то эта точка есть устранимая особая. В самом деле, при п)О и достаточно малом )с имеем в силу (3.51) ] А „] ( Мй", откуда при )с -+ 0 в пределе получим ] А „] ( О, и, следовательно, А „ =- О.
Если а — полюс, то в окрестности а имеем: » о у(г) =~А„(г — а)л, А и ~ь О, откуда ч (е) (е — а)б ' где ~р(г) =А „+А „т(г — а)+... +Ае(г — а)" + .. есть аналитическая функция в окрестности точки а, причем ~у(а)=А „+О. Обратно, если г"(г)= „, где р(г) т (е) аналитична в окрестности а и с»(а) + О, то а есть полюс ]гл. Нн 166 АНАЛИТИЧВСКИВ ФУНКЦИИ и-го порядка для у (г) (и называется порядком полюса а, полюсы кратности 1 называются простыми, полюсы кратности 2 — двойными, полюсы кратности 3 — тройными).
Из такого выражения для у(г) следует, что при г-+а имеем г(г) — + Со. Таким образом, при стремлении независимого переменного г к полюсу аналитической функции функция стремится к бесконечности. Легко видеть, что если а есть и-кратный нуль для г'(г), то а будет п-кратным полю- 1 сом для —, так как из равенства Г"(г) =(г — а)" р(г) у(г) ' [где р(г) аналитическая в окрестности а, отличная от нуля в а] следует: 1 1 1 у (г) (г — а)" З (г) 1 (но — аналитическая в окрестности а и отличается от т (г) нуля в а). Если а — существенно особая точка, то в любой окрестности а значения функции г(г) как угодно близко подходят к любому комплексному числу (теорема Сохоцкого). В самом деле, если бы в некоторой окрестности точки а имели у(г) — А]) е, где б) О, то ( „была бы ограничен! вблизи а и, следовательно, а являлась бы устранимой осо- 1 ! бой точкой для у( А, поэтому А — — Ф(г), гдер(г) У(г) — А ' у (г) — А аналитична в окрестности а, но тогда вокруг а имеем 1 /(г) =А+ —, откуда следует, что а является для у"(г) т (г) ' либо устранимой особой точкой ]если ~у(а) вь О], либо полюсом ]если у(а) = О], что противоречит условию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
