Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Так как соответствующие степенные ряды были сходящимися на всей числовой прямой, то (в силу теоремы Абеля) они будут сходиться на всей плоскости комплексного переменного. Таким образом, полагаем по определению для любого комплексного щ 1+я+2~ +3~ + ' ' ' ~4 ~ ' (3 9) О=О гз ОО мч гзи сй =1+ —,+ —,+... = и=О ' О и=-О гз ЛО ъ1 гзи сов в= 20+ар ' ' ' — у~1( — 1) 2 ~, '(3.12) и=О зя з' гяищ Мпя=з — — + — —... = у ( — 1)и —, .
(3.13) 31 51 ' ' ' (2п+1)! ' (3.10) и=о Из этого определения видно, что для действительных значений л эти функции получают уже известные значения. Затем видно, что спл, созв — четные [т. е. обладающие свойством 7( — г) =7(я)[, ай г, Миг — нечетные [т. е. обладающие свойством Д вЂ” г) = — 7(з)[. окружностями радиусов г и )с с центром а (рис. 27). Это кольцо называется кольцом сходилости ряда (3.8"и). Внутри этого кольца сходимость ряда (3.8"и) †абсолютн. $ 41 гипвгволичвскии и тгигономвтгичвскив еянкции 121 Формулы Эйлера При любом комплексном г в силу (3.9), (3.12), (3.13) имеем Ргз Ргз !»г» Еьгь е — 1+!г+ — + — + — + — +...— г- г» г» гь = 1+!г —,— — ! —,+ — +! — —... = 2! 3! 4! 5! ( 2'+4' ''')+ ( 3! 5' ' ) =созг+ьз!пг, учитывая, что в абсолютно сходящемся ряде допустима любая группировка членов. Таким образом, получаем формулу Эйлера ем= созг+!сйпг.
Заменяя г на — г, получим: е-"= соз г — ! з!и г. (3. 14) Почленное сложение и вычитание двух последних ра-. венств дает: е~-"+е — "=2созг; е" — е-"=2!з(пг, откуда где г — ь!одуль г, о — аргумент г. Выражение (3.15) называется показательной формой комплексного числа г. Связь между показательной и гиперболическими функциями Имеем при'любом комплексном г в силу (3.9), (3.10), (3.11): гз гз г» гь + +2 +3!+4 +5!+' (1+ — + — + ...)+ (г + — + — + ...) =СЬ г+зЬг.
ее»+ е-о . е»» — е-!» созе=; з!пг= 2 . (3.14) 2! Эти формулы также называются формулами Эйлера. С помощью формулы Эйлера (3.14) тригонометрическая форма комплексного числа (3.1) принимает внд г= ге!», (3.15) (гл. Нн АНАЛИТИЧЕСКИЙ ФянКЦИИ Заменяя г на — г, получим: е-' = С!2 г — 214 г. Почленное сложение и вычитание двух последних равенств дает: е*+е-*=2СЬг; е2 — е-2=2214г, откуда Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями Из (3.10), (3.12) следует: 4222 4424 с)4!в=1+ — + — '+... = ! — — + — +... =созг 21 41 ' ' 2! 4! и аналогично соз!г = с)4 г. Из (3.11), (3.13) следует: !ого 4224 го „4 214 !г = !г+ — + — +... = ! 41г — —, + — —...
= ! 2!в г 3. 61 ' ' ' 1 3. и аналогично з! п !г ! з)4 г Таким образом, с)4 !г= созг, сов 4г сЬ г; 214 4г = 4' з! и г, сйп !г = 4 212 г. (3.17) Формулы (3.17) также непосредственно получаются из (3.14') и (3.16). +" 2 е" = а=о -22 г! +оэ 4=О 4 2 21!1 я и!  — о 2+44 в Теорема сложения для показательной функции Имеем, учитывая правило умножения абсолютно сходящихся рядов: 2 4) гипвгволичвскив и тгигономвтгичвскив егнкции 123 Но Х вЂ”. — гаг1 = ь гаг -а = Х Сагаг - а = и! Ъ-Б И! К!1! 1 2 «У! К1(п — К)! 1 2 Б 1 2 ак1=« К=О К.=Б (г1+г2) (формула бинома Ньютона). Следовательно, +«« жт 1 е" е" = у — (г,+г,)"=е'+*. ~Уз л! 1 Таким образом, доказана теорема сложения для показательной функции: е* ""- ° = е«е' (3.18) Отсюда видно, что показательная функция е* нигде в нуль не обращается.
В самом деле, если бы е' = О, то для любого г е' = е' е* ' = Ое* ' = О, но это нелепо, так как ее= 1. Теоремы сложения для тригонометрических функций Учитывая (3.14'), (3.18), (3.14), получаем: е1!«'+««)+е 1!"+"') е1'ео'+ е '"е '" с о 5 (г1 + га)— (соз г,+1Б!Пг,) (БОБ 22+121пга)+(СОБ 21 — 121пг,)(созе« вЂ” 12!пг«) 2 =СО5 г1СО552 — 51П г151П гз! еа!«'+"! — е 1!«'«««! ег" еа" — е 1«'е 5!п(г,+ га) = 21 21 (соз 21+12!и 21) (с05 22+1 Б1п 22) — (соз 21 — 1 21п 21) (сОБ 22 — 1 21п 22) 21 = Б!П г1 Соз га+ С05 г1 51П гз. Таким образом, доказаны теоремы сложения для косинуса и синуса: соз(г,+г,)=созг,созг — 51пг,з!пг,; (3.19) 51П (г1+ га) ~ ЯП г1 СОБ 52+ Созга ЯП гз.
124 [гл. ш аналитические етнкцни Теоремы сложения для гиперболических функций Из (3.17) и (3.19) находим: с!) (гг+ ге) = соя ! (гг+ га) = сов )а!сов !г!— — з)п !г! з!п !га = с)) гд с)) г, — ! з)) г! ! з)) г, = = с)) г, с)) га+ зй г, з)) г,; з)п г(г!+га) з)п )г! сох )аз+со! )г~ з)п )г! зй (г,+г,)= )з)) г, сне!+ с)за, !акга ! — = зп г с'и г, + с)) г! ай г, 1 Периодичность Показательная функция е' имеет период 2к!. В самом деле, е'за'! = е'еаы = е" (соя 2к + ! Мп 2к) = е'. Отсюда следует, что сог, з)) г (как выражающиеся через е') имеют также период 2я!. Далее, функция е" имеет период 2к, так как сам-2 ) — ем-~2к! еы следовательно, созе, Мп г (как выражающиеся через е") имеют также период 2к. $5.
НЕКОТОРЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Логарифмы комплексных чисел Число те называется логарифмом комплексного числа г (по основанию е), если е~=г. Всякое значение логарифма числа г обозначим знаком Ьпг. Пусть г+О (нуль, очевидно, не имеет логарифма, так как показательная функция в нуль не обращается). Пользуясь показательной формой данного числа г, а=ге'! (г — модуль, о — аргумент) н алгебраической формой искомого числа те, те=и+!и, получим требование е"+" = ге)т или е"е!" = ге'т, 5 б! некотогыв многознлчныв Функции 125 откуда е" = г, О = Ф + 2йя (й — целое число) и, следовательно, те= 1и У+1(Ф+ 2Ьс). Обратно, прн всяком целом в последнее выражение, как непосредственно видно, есть значение логарифма числа а. Таким образом, Ьп а, где а+О, имеет бесконечно много значений, причем все они получаются по формуле 1.п а = !п г+ 1(ср+ 2Дк) (3.2!) (Й вЂ” произвольное целое число) или Ьпа=!п! г (+(Агпа.
(3. 21') Отсюда видно, что все значения Ьпа получаются из какого- нибудь одного (Ьпг)е по формуле 1.п а = (1.п а)е+ 2)Ы (3.2 (е) ((е — произвольное целое число). Легко видеть, что обычные правила логарифмирования остаются в силе. Степени с комплексными основаниями и комплексными показателями Пусть А и  †люб комплексные числа (где А Ф 0). Полага|от по определению в вь.л А =е Отсюда видно, что эта степень, вообще говоря, имеет бесконечно много значений (так как 1.п Л имеет бесконечно много значений). В случае, когда В есть действительное целое число, значения показателя В Ьп Л правой частч отличаются между собой на кратные от 2КЬ и, следовательно, в А имеет в атом случае одно значение.
Пример. г„„, ь'(-" аале) (-'~ы.) 1=е =е ' =е (и — любое целое). 12б (гл. щ АНАЛИТИЧВСКИВ ФУНКЦИИ Обратные тригонометрические функции Пусть л — какое-нибудь комплексное число. По определению Агсз!пл есть любое комплексное число»в такое, что з!п»в =я. Следовательно, приходим к уравнению Е»® — Е-»Ф =г 2» или е"" — 2»се"" — 1 = О, решая которое, получим: е»"'=»л+ у' ! — зз; 78 = — 1 п 1»л+ у 1 — лз).
1 Таким образом, все значения арксинуса даются формулой Агсз!ил= — Ьп(»я+~1 — яз). (3.22) 1 Многозначность этой функции происходит от двух причин: двузначности квадратного корня, бесконечнозначности логарифма. Выражение (3.22) имеет смысл для всех значений г, ибо выражение, стоящее под знаком логарифма, всегда отлично от нуля. Далее, Агссозл есть любое комплексное число »в такое, что сов»в = л, следовательно, получаем уравнение Е»Ф+ Е-»~~ 2 или езич 2га» + 1 — О откуда е»" = л+ 7 гз — 1; тв = — Ьп (г+»Гг' — 1). 1 Таким образом, все значения арккосинуса даются формулой Агссоз г = — 1.п (л+ ')Г лз — 1).
1 (3.23) Многозначность этой функции происходит от двух причин: двузначности квадратного корня и бесконечнозначности $ б) НВКОТОРЫВ МНОГОЗНЛЧНЫВ ФУНКЦИИ 127 ее~ — е-г~ 1(ег~+е-гФ) или ез~Ф вЂ” 1 езее+ 1 следовательно, ездив 1+12 1 — 2 1 — 12 1+2 1 тв = — Ьп —. 21 г+ 2' Таким образом, 1 Агс1и 2 = — 1 п —. 21 г+ 2' (3.24) Многозначность этой функции происходит от многозначности логарифма. Выражение (3.24) теряет смысл при г = + 1.
Обратные гиперболические функции По определению Агзи2 есть любое такое комплексное число тв, что айте=я. Имеем: ен — е-' 2 или е'"' — 2гем — 1 = О, откуда е'"= 2+ 1/гз+ 1; тв = 1.п (2+ у 22+ 1). Таким образом Агам 2 = Ьп (2+ ~г 22+ 1). (3.25) логарифма. Равенство (3.23) имеет смысл для всех значений г, так как выражение, стоящее под знаком логарифма, имеет смысл для всех значений г и так как это выражение всегда отлично от нуля. Рассмотрим еще Агс)нз, определяемый как любое такое число тв, что 12 и =я. Имеем: 128 [гл.
гр АНАЛИТИЧКОКИВ ФУНКЦИИ Далее, Агсй г есть любое такое тв, что сй ш = г. Тогда е +е-и 2 еем — 2гем+ 1 = О; ем = г+ у/гз — 1; и = 1.п (г+ ')гггз — 1), следовательно, Агой г = Ьп [г + [Уг' — 1). (3.26) Затем, Аг(пг есть по определению любое такое тв, что (п ш = г. Тогда ем е-м =г; ем+ е езм — 1 езм+ 1 1+ егм =- —; 1 — г' 1 1+г ти = — Ьп— 2 1 — г' Следовательно, Аг([т г= — 1 п 1 1+г 2 1--г (3.27) Это выражение теряет смысл при г=-+-1.
В теории аналитических функций многозначные фувкции целесообразно рассматривать как однозначные на некоторых многолистных поверхностях (так называемых римановых поверхностях). 1(е имея возможности привести здесь какое бы тони было общее определение этих поверхностей, огравичимся примерами наглядного построения и зтих поверхностей для простейших многозначных функций У' г, Ьп г. Рассмотрим и экземпляров плоскости комплексного переменного г (которые занумеруем числами 1, 2, ...
и), разрезанных по положительной части действительной оси, и склеим их следующим образом: нижний край разреза первого экземпляра склеивается с верхним краем разреза второго экземпляра, нижний край разреза второго экземпляра — с верхним краем разреза третьего экземпляра и т. л„нижний край разреза (и — 1)-го экземпляра — с верхним краем разреза и-го экземпляра, наконец, аиэкний край разреза и-го зкземпляра — с верхним краем разреза первого экземпляра (последНее склеивание невозможно сделать без пересечений). В результате 5 б) пгоизводндя отнкции комплвксного пигвмвнного 129 получится и-листная поверхность с точкой разветвления над О. Описывая простой замкнутый контур, охватывающий точку О, мы после кажлого обхода булем попадать на следующий лист и после и обходов придем в первоначальное положение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
