Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 12
Текст из файла (страница 12)
дат да» = — + — + — =йча дх ду дг 7 звк. 19»в. П. и. Ронвнввскна Многоточия всюду обозначают, что следует вписать второе и третье слагаемые, получающиеся нз первого круговой передвижкой по схеме, показанной в конце 9 11. Следовательно, [гл. и основы твозии поля (здесь в левой части стоит скалярное произведение символического вектора на реальный вектор); [Ч [ =~( — „+3' —,+ йд — ~([а +,1ае+Аа,)~=— (здесь в левой части стоит векторное произведение символического вектора на реальный вектор). Таким образом, три операции первого порядка, Кгад 7, д!ча, го1и, могут быть единообразно записаны с помощью символического вектора набла: 77 =вагаб ср; 7а= д!ча; [7а[ = го1 а. (2.55) Тогда для операций второго порядка получим следующие равенства: 777 = д!ч дгад 7 = ЬЧ; [777[= го1Кгадр; ЧЧа = К!ад гНч а; 7 [7а[ = д!чго1 а; [7 [7аЙ =го! го1а.
(2.56) ф 14. ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ Если каждой точке некоторой области пространства отнесена система трех чисел (и,о, ти) так, что разным точкам отвечают равные системы (и,о, те), то мы скажем, что в рассматриваемой области пространства введены криволинейные координаты (и, о, те). Геометрические места точек, где и =сопз1, или о = сопз1, или я = сопз1, назовем координатными поверхностями, пересечения двух координатных поверхностей — координатными линиями. Введем, далее, в рассматриваемой области пространства прямоугольные координаты х, у, я. Тогда между прямоугольными координатами х, у, з и криволинейными координатами и, о, ш точек рассматриваемой области пространства устанавливается взаимно однозначное соответствие, описываемое формулами вида х = х (и, о, то); у=у(и, о, ю); о =о(и, о, и), где функции, стоящие в правых частях, однозначны, а также формулами вида (2.57) и = и (х, у, з); о= о(х, у, г); то = то (х, у, г), (2.58) где функции, стоящие в правых частях, также однозначны.
Будем предполагать, что функции, стоящие в правых частях (2.57), непрерывны, имеют непрерывные частные производные первого порядка и якобиан — ' ' не обрад (х, у, г) д (и, о, го) щается в пуль (тогда он сохраняет постоянный знак, будем предполагать его положительным). При этих условиях функции, стоящие в правых частях (2.58), будут обладать такими же свойствами. В случае надобности можно дополнительно потребовать, чтобы функции, стоящие в правых частях (2 5?), имели частные производные порядка выше первого.
Дифференцируя по и тождество и(х(и, о, то), у(и, о, то), з(и, о, то)) =- и, получим; ди дх ди ду ди до — — + — — + — — = 1. дх ди ду ди дг ди Аналогичные формулы справедливы для о и ш. Пусть г = ух+ гу+ 7гг (1, 7, й — орты). Векторы дг дг дг д (х, у, а) ди ' до ', дто ' —, —, —, очевидно, будут ненулевыми (ибо — ' ' Ф 0). д (и, о, го) Длины этих векторов (2. 59) !ди!' Н„=(д ~, Но — — )д— ( $141 ввктовныв опввлции в кгиволинвйных коовдинатах 99 1гл. и ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ называются коэффиииентими ламе; каждый из них является функцией от и, О, тв.
Единичные векторы 1 дг 1 дг 1 дг е= — — е== — — е Н, ди' " Н, дв) и Нидте также являются вектор-функциями от и, О, тв. Определение. Система криволинейных координат называется ортогональной, если в каждой точке координатные линии попарно ортогонзльны. Таким образом, ортогональность системы криволинейных координат обозначает, что в каждой точке векторы е„, е„, е„ попарно ортогональны или, что равносильно, в каждой точке дг дг дг попарно ортогональны векторы — , ди ' до ' дте ' Если криволинейные координаты введены лишь в некоторой части рассматриваемой области пространства, например в окрестности некоторой точки, то говорят о локальной системе криволинейных координат.
Градиент в ортогональных криволинейных координатах дгас1 и = д — +.у — -+ Й— .ди .ди ди дх ду де и=сопз1, и поэтому в слукоординат дгад и =- Ьие„, направлен по нормали к поверхности чае ортогональных криволинейных где ди†некоторый скаляр; затем дг . дх .ду ди ди ди — =ь' — +у--+ й де ди = Ниве Скалярное перемножение равенств 1 — +,у — + й— . ди .ди ди дх ду де . дх .ду де ь' — +l — + й— ди ди ди = й„е„, = Н„е„ Пусть ~у в скалярное поле.
Если ввести криволинейные координаты и,о, тв, то е станет функцией переменных и, Введем прямоугольные координаты х, у, х. Известно (см. ф 4), что $ 14! взктогныв опввации в кгиволинвйных коогдинатах 101 дает [если учесть формулу (2.59)1: ! =А„Н„, откуда й„= —, следовательно, атас! и = — '. Аналогично 1 ьм Н„' е„ е, пгас! о = — ", атас! ос = — "' . и„' Н Формула градиента сложной функции (2.17) дает: кгас! чс (и, о, тв) = — дгас! и + — атаб о + — игаб ас. дт дт дв ди де дю Изложенное показывает, что градиент скалярного поля в ортогональных криволинейных координатах определяется формулой дт дт дв агад ес ви и +е" и +и И (2.00) Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах Пусть а в векторное поле.
Если ввести криволинейные координаты и, о, м, то а станет вектор-функцией переменных и,о, е. Систему криволинейных координат будем предполагать ортогональной. Воспользуемся инвариантно- стью определения дивергенции (2.42) в произвольно взятой точке (из, оз, тве), беря в качестве замкнутой поверхности Я оболочку криволинейного параллелепипеда О (рис. 20), ограниченного поверхностями и = пе, о = ое, тв =- ~е', +Аде, = +б ~ = псе + с'тво Рнс. 20. где Ьие, Аясе, Ьме стремятся к нулю.
Введем прямоугольные координаты, поместив начало 0 в точке (из, ое, тве) и направив координатные оси по е„, и„, е„для этой точки. Тогда (если Ням Нмн Н„з — значения ~гл. и 102 ОснОВЫ ТВОРИВ пОля коэффициентов Ламе для этой точки) имеем: Н~о О 0 Не 0 0 0 Нио (л ~и, о, го))о Н 0 Н 0 Н О и Ч.Ю~ 0,Ч.Ьоц Юр.ЬАЧЧ =Н„оН,.ЯН о Ьио боо 0тоо+ е био боо лтво где е стремится к нулю вместе с био, йоо, Ьмо. Затем (учитывая формулу 2.35), о,з-ао, оч000Ч [ [арго = [ [ [(а,—, — ) = ~[л (а л,~ )) + ) ~ио~~оо~~о+ +~'Ьи Ьо Ьяц, Следовательно, при стремлении Ьио, Ьоо, дево к нулю ХХ'"" [ —,. (, —,"„, —,")~ + ...
н„н„,н где е' стремится к нулю вместе.с дио, Ьоо, Ьтоо. Многоточие обозначает; что следует написать еще два слагаемых, получаюгдихся из первого путем круговой перестановки букв по схеме- $141 ввктогныв опвгации в кгиволинвйных коогдинатах 103 но а„а„а (а,л,е — )= 0 н„О 0 0 Н =ияН„Н и, таким образом, ~ — (а„Н„Н )т + (н1» )— Н, оН»оНшо Изложенное показывает, что дивергенция векторного поля в ортогональных криволинейных координатах определяется формулой — (а„Н„Н, ) + — (а„Н„Н„) +' — (а, Н„Н„) Вихрь в ортогональных криволинейных координатах и=по, о =но и=по+~по '"=ос+~но Рнс.
21. и пусть С вЂ” контур 5 (рис. 21). Введем прямоугольные координаты, поместив начало О в точке (ио,оо, тео) и направив координатные оси по е„, е„, е„ для этой точки. Пусть и†векторное поле. Если ввести криволинейные координаты и, о,м, то а станет вектор-функцией переменных и, о, и. Систему криволинейных координат будем предполагать ортогональной. Воспользуемся инварнантным определением вихря (см.
й 11) в произвольно взятой точке (ио, оо, юо). Пусть 8 в криволинейный четырехугольный кусок координатной по- С верхности и =тзо, .ограниченный С линиями !04 ~гл. и основы твовии поля Имеем: и„-ь Ао, Ф оооо ~а~й = ~ (а — ) йи+ ~ (а — ) ~Ь+ с оо + 1(Т) "+ 1(.— ") о„+Он„ о,. Оо~ о„<-от,, =~ 1(Й) — (д') М„.~- Ь~ — 1 ~(.Й) — (" ) 1"= (мо о мд где е стремится к нулю вместе с Ьао, Ьоо. Затем, если А — проекция 5 на плоскость Оху и у — угол нормали с Оя, то о,+он,о,+оо, дгх, у) пл. 5= ~ = Н„оНоо бао био+ е'~ао ~во где е' стремится к нулю вместе с био, Ьоо, ибо (д(и о))о ! О Н о! оо оо (соа",) = 1.
Следовательно, при стремлении Ьио, Ьоо к нулю ~~— '( д.'-)-д' (.д— ')~ 1пп пл. В НооНоо Но а — = (е„а„+ е,а„+ е„а„') е,Н„= а„Н„ дг $ 14[ ввктогныв опвглции в кгиволинвйных коогдинлтлх 105 и аналогично а — = а„Н„. Таким образом (см. й 11), имеем: дг ди д д [(го1 а)е!,— н„н„ и аналогичные формулы получаются для [(го1 а)а[„, [(го( а),[я. Изложенное показывает, что вихрь векторного поля в ортогональных криволинейных координатах определяется формулой д д — (а„,Н, ) — — (а„Н,) — (и„Н„') — д (а~Н~) д (а„Н„) — д — (а„Р)и) и и Оператор Лапласа в ортогональных криволинейных координатах Пусть ч — скалярное поле.
Если ввести криволинейные координаты и, о, ти, то т станет функцией переменных и, о, ти. Систему криволинейных координат будем предпола- гать ортогональной. Согласно формуле (2.52) имеем: Ье = д(ч пгаг[ е, где Ьр — оператор Лапласа, позтому, пользуясь формулами (2.60) и (2.61), найдем, что оператор Лапласа в ортогональ- ных криволинейньгх координатах определяется формулой д Г(НиН дт д Н„Н„дт д Нин„дт йр НиН„Н,„ которую, очевидно, можно переписать в виде д-'у .
д-'у д~у дня — — + — +, + — — — !п " '"+ диа диа дгяа дт 1 д Н„Н,„ На . На НЯ диНа ди Н и 1 Ю и 1Об [гл. и ООНОВЫ твогии поля Векторные операции в цилиндрических координатах Перейдем от прямоугольных координат х, у, л к цилиндрическим г, ~у, л по формулам х=гсоз у, у= гз!и ~Р, 2 =л дУ Кгаб.~ а~д +ет г +ее дл ! дУ де дУ а„да„! дат дал б!Ра = — + — + — — + —; г дг г дт дл ' 1 да да, да,„ да, даУ ! дзУ даУ ! д/ чу = — + — — + — + — —. дга га дуя даа г дг ' (2.64) (2.65) (2.66) (2.67) (здесь г, ~Р, г выполняют роль и, о, я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
