Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 16
Текст из файла (страница 16)
и-значную функцию Р' а на обычной плоскости комплексного переменного можно рассматривать как однозначную на построенной и-листной поверхности. Это булет риманова поверхность для Р л. Рассмотрим теперь бесконечяое множество экземпляров плоскости комплексного переменного (провумерованных с помощью всех целых чисел =. 0) с разрезами по положительной части действи< тельной оси. Для каждого целого и склеим нижний край и-го экземпляра с верхним краем (и + 1)-го экземпляра. В результате получим бесконечнолнстную поверхность. Обходя замкнутый контур, охватывающий точку О, в любом направлении любое число раз, мы булем всякий раз попадать на новые листы и никогда не вернемся в первоначальное положение.
Бескопечнозначную функцию Агя л па обычной плоскости комплексного переменного можно рассматривать как однозначную на построенной бесконечнолистной поверхности. Тогда на этой же поверхности 1п е можно рассматривать как однозначную функцию (эта поверхность является римановой поверхностью для Бп е). й 6. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Производная комплексной функции действительного переменного Пусть г (!) = х (г) + гу (г) — комплексная функция действительного переменного г. Эта функция называется непрерывной в точке (, если дяя всякого е ) О найдется такое т) ) О, что при ~Ы !с.
з) имеем !е(г+ Ы) — а(Г)((а. Для непрерывности г(г) в точке г необходима и достаточна непрерывность функций х(4) и у(4) в точке г. Производная от д(г) в точке г есть,по определению Ье ! !гп —, л4-ь о ат г если он существует, и обозначается .— или л (4). Из опрезй ка деления следует, что для существования — необходимо и 4ГГ 9 Зэк. 4Э44. П. Н. Романовская )ЗО [гл. ш анллитичвскиз езнкции лостаточно существование — и †, причем де лу де дт ' иг иг .иу — =- — + г —. иг иг иг' Определение производной функции комплексного переменного Пусть ти =- з(г) †функц комплексного переменного г. Эта функция называется непрерывной в точке г, если для всякого е ) О найдется такое т, ) О, что при [ Дг[ ( т) (если г+ Дг вхолит в область определения функции) имеем [ Дш [ ( е.
Производная от ш=((г) в точке г (функция предполагается определенной в окрестности этой точки) есть по определению Дю . Г(а+Дг) — У(г) )пп: = )пп де.,о Дг ае.,о Дг 1ю е если он существует, и обозначается — или з (г). дг Для существования производной в точке г необходима непрерывность функции в этой точке. Далее, будем говорить, что функция дифферениируема в точке г, если из приращения функции в этой точке У(г+ Дг) — Лг) может быть вылелена главная линейная часть, т.
е. такая часть вила СДг (где С вЂ” некоторое комплексное число), что оставшаяся часть будет бесконечно малой высшего порялкз относительно Дг. Таким образом. З (г) дифференципуема в точке г, если существует представление у (г+ дг) — 1 (г) = С Дг + т (Дг) Дг, где ) (Дг)-+О прн Дг-+ О.
Отсюда следует, что + ) у( )=С+ )(Дг) С, а это значит, что в рассматриваемой точке у(г) имеет производную ~'(г) =С. й 6) пгоизводнля егнкции комплвксного пвгвмвнного 131 Обратно, если функция у(в) имеет производную в рассматриваемой точке, то у (л+ Ье) — у(г), + где Т(Ьз)-«О при Ьг — + О, откуда У( +Ь ) — У()= — ~'()Ьд+Т(Ь )Ь, н, следовательно, в рассматриваемой точке функция у(в) дифференцируема. Таким образом, существовзние производной и дифференцируемость в точке в явления эквивалентные.
Напоминание о полном дифференциале функции двух действительных переменных Функция и(х, у) называется диффереицируенод, нлн имеющей полный дифференпиал в данной точке х, у (функция предполагается опрелеленной в окрестности этой точки), если нз полного приращения функции в этой точке и (х+ Ьх, у + Ьу) — и (х, у) може~ быть выделена главная линейная часть, т. е. такая часть вила А Ьх+ В Ьу (где А н  — некоторые числа), что оставшаяся часть будет бесконечно малой высшего порядка относительно тгдхз+ Ьу-'. Таким образом, и (х, у) лнфференпнруема в точке (х, у1 если существуе~ представление и (х+ Ьх, у+ Ьу) — и (х, у) = = А Ьх+ В ау+ т(Ьх, Ьу) ~'Ьхз+ Ьуэ, где Ьх ) т(Ьх, Ьу)- 0 при >-«О.
Ьу Тогда (беря Ьу = 0) и(х+Ьх, у) — и(х, у)=АЬх+т(Ьх,О) ~дхН и (х+ Ьх, у) — и (х, у) Ьх — ' — = А -~-т (Ьх, 0)-«,А при Ьх — «О, откуда видно, что в рассматриваемой точке функция и (х, у) имеет ди частную производную по х, причем — =- А. Аналогично обнаружядх вается существование частной производной по у н ранепство ди — =- В. у 132 (гл. Нн АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Таким образом, главная линейная часть полного приращения ди , ди функции и (х, у) равна — ах+ — Лу.
Она называется полным дх ду дифференциалом функции и (х, у) в данной тоще. Обозначая полный дифференцизл знаком ди, а приращения независимых переменди ди ных знаками дх и ду, получим формулу ди = †-дх + †. дх ду Мы видим, что из существования полного дифференциала вытекает существование частных производных. Обратное неверно, т. е. может случиться, что частные производные в точке существуют, а полного диффере|щиала в этой точке не существует. Тем ие менее, если частные производные существуют в окрестности рассматриваемой точки и, кроме того, в данной точке непрерывны, то в данной точке существует полный дифференциал. В самом деле, используя формулу Лагранжа, получим: и (х+ Лх, у+ Ьу) — и (х, у) = (и (х + Лх, у+ ау) — и (х, у+ Ьу)) + (и (х, у+ Ьу) — и (х, у)] = и (х+ О Лх, у+ Ьу) Лх+ и, (х, у+ От Ьу) Ау = =[и (х,у)+а]Ах+[и, (х,у)+р]ау= = и (х, у) Ьх+ и,, (х, у) Ьу+ а ах+ р Ьу; О а 1 Лх ) О( (1; )-»О при )-»О.
Ау] Но !' аЬх+ рду ~ Ьх ) У"ах +Аул( ,(()а1+)Р(-»О при ) — »О; Ау] / г следовательно, и (х, у) Ах+и, (х, у) Ьу является главной линейной частью полного приращения и, таким образом, полный дифференциал существует. Необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного Пусть я =у(г)= и(х, у)+ро(х, у) есть функция комплексного переменного х =х.+(у, днффе- ренцируемая в данной точке е. ф 6) пРОизВОднАИ Функции комплексного пеРемес!ного 133 Ьи= и(х+-дсх, у+Ау) — и(х, у) Ьо = о (х + Ьх, у+ Ьу) — о (х, у). Если смещенная точка г+ Ьг будет стремиться к г по горизонтальному пути, то в выражении Ьг = Ьх + 1Ь у следует положить Ьу =О; тогда аш Ьи+1ао аи ао ди .
до аг Ьх ах Ьх дх + дх — +с Если смещенная точка стремится к г по вертикальному пути, то в выражении Ьг =Ьх+сбу следует положить дсх = О. Тогда ~Ы Ли + сто ао, Ьи до, ди = — — С вЂ” — + — — -1 —. аг сау Лу Ьу ду ду ' Следовательно, .для существующей по условию произ- волной 1'(г) получим выражения: ди . до до . ди у'(г) = — + ' — = — — ' —, дх дх ду ду ' откуда ди до 1 до ди *=--- ~ дх ду ' (3.28) Уравнения (3.28) называются услоаиялси Коши — Рилсана. Так как в данной точке у(г) дифференцируема, то в этой точке и(х, у) и о(х, у) тоже дифференцируемы.
В самом леле, если из приращения дскб ==у(г+Ьг) — 1(г) может быть выделена главная линейная часть, то действительная часть и коэффициент при с в ней суть соответственно главные линейные части полных приращений [гл. ш 134 Анллнтнчвскнв Функции Достаточное условие дифференцируемости функции комплексного переменного Пусть и(х, у) -и о(х, у) дифференцируемы н удовлетворяют условиям Коши — Римана в данной точке.
Тогда и) Ьх ) (ниже ~ — +О при ~ — +0) имеем: бу1 Ью Ьа+1ао Ьх+1ау ди ди ('дц до дх ду — Дх+ —. ЬУ+ е )Гдха + ЬУЯ+ 11 — Дх-1-- — ау+а У»ах» 1 Ьу») (дх ду Ьх+1ау ди до 1до ди — лх — — ау+ 1( — ах+ — — ау)+ (»+13) у»ах»+ ауя дх дх 1 дх дх ах+1ау ( — †) — +1 — ) (Ьх+1 Лу) + (а+ ф) Г»ах»+ ду» ди до 1 дх дх) ах л-1ау ди до (»+13) г'ах»+дуя дх дх Ьх+1Ду Но — + ~=)» аа+ра — +О при т — »О, и 1Ч Дхг РД а Ьх~ Дх+1ау ау) следовательно, — = — +(в »».+о аг дх дх т. е. 1'(г) существует.
Итак, для днфференцируемости функции комплексного переменного то=)(г)=-и(х, у)+1о(х, у) в данной точке необходимо н достаточно, чтобы в этой точке и(х, у) и о(х, у) были дифференцируемы н удовлетворяли бы условиям Коши — Римана (3.28). Для 1'(г) имеем формулы ди ,до до .
ди ди ди до »м ,до У'(г)= — + 1 — =. — — 1 — = — -4-1 — == — -~- 1 †. (3.29) дх дх ду ду дх 1 ду ду дх' Пример. Пусть у(г) = е».= еи соь у+ 1еи я1а у. Все условия, очевидно, выполнены, и из (3.29) получим у'(г) = е». 6] пРОизводндн ФУнкции комплекснОГО пеРеменноГО 135 Производная сложной функции Пусть ш = У(з), л = у (".); тогда ш = У]у (ч)]. Из равенства дя ддш лл аз дг (з.зо ) Прн ас.-ь 0 ВаХОднМ В ПрЕдСЛЕ сйв и'ш а'л Лг = — "ж (3.39) Формально техника дифференцирования функций комплексного переменного не отличается от таковой для функций действительного переменного, и мы не будем останавливаться на ней. Заметим еще, что если е(Г) — комплексная функция действительного переменного, у(г) — комплексная функция комплексного переменного, то у]г(т)] будет комплексной функцией действительного переменного. Рассуткдая, как при выводе формулы (3.30), получим ].Г]г(Г)])' =у']е(0] е'(Г) (3.31) в предположении существования ьпроизводных, фигурирую- щих в правой части.
предполаган, что Р дифферениируема в точке г„у дифференцируема н точке з = т (с). пз Вывод формулы (3.39) являегся заковныи, когда — чь О, так лй как тогда при Дб достаточно малом будем иметь Дл + О, и запись (3.30') имеет смысл. Если в данной тонге — = О,то доказательство нуягдается в поправках. Если сугцестауют как угодно малые а;, длв которых йл Ф О, то нз (3ЗУ) следует, что при стремлении аь Лю к нулю по таким значениям оююшенне — стремится к Ьь гттв нз аш — — „= — 0 =- О. лг гс. ггг Лля тех значений Дь, для которых ал = О, очевидно, Лтв = О, поэтому, если существуют как угодно малые ач, для которых Лз = О, то при стремлении а".
к пулю по таким значениям отношеЬш Лш ние — тоже стремится к нулю. Таким образом, — стремится тш а( к нулю при Ьч -ь О, поэтому — существует и равно кулю, а так Л как в рассматриваемом случае правая часть формулы (3.30) тоже гул равна нулю, то формула (3.30) спранедлива и в случае — = О. и'ь 136 [гл. ш лнллитичвскив вгнкции й 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
