Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 18
Текст из файла (страница 18)
( ), ". есть последовательность непрерывных функций комплексного переменного г на кусочно-гладкой луге АВ (длины В), равномерно сходящаяся к 7(г) на этой дуге (это значит, что лля всякого я ) О найдется такой номер М, что при >г М для всех г на АВ будем иметь (у,(г) †-7(я)! ( Я). Функция >г(г) будет непрерывна на АВ (это доказывается так жс, как в случае действительного переменного).
Тогда Ит / ув(я) дя = ~ 7'(я) 7я. АВ Ав (3.38) В самом леле, взяв е ) О, найаем такое М, что при п ) М булет ( 7„ (х) †7 (я)~ < а лля всех г на АВ. Тогла по (3.37) получим: Г "- Г "= Г. — "!.= АВ АВ : АВ при а)М, что и доказывает (3.38). 5 9. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ Пусть функция ш =- у'(г) = — и (х, у) + Г и (х, у) ~7 (я) г(я = ~ и с>х — о с>у+ г ~ о Нх + и г(у; й о аналитична в односзязной области Р. Прелполо>ким, что частные произволные первого порядка от и(х, у), о (х, у), существование которых вытекает из аналитичности 7(я), непрерывны в области Р (заметим, что это предположение не является ограничением, ибо так всегда будет, но из определения аналитической функции этого непосредственно не вилно).
Пусть С в какой-нибудь кусочно-глалкий замкнутый путь, лежащий в Р; тогла в силу (3.34) 144 (гл. ш АИАлитичвскив Функции ф у (г) г(г = О. (3.39) Теорема Коши для сложного контура Пусть С вЂ” простой замкнутый контур и С,, С.„..., С„ простые замкнутые контуры, лежащие внутри С и вне 1руг друга. Пусть у (я) аналитична в области, заключенной между контуром С и контурами С,, С,, ..., С„, и „г" "„'Ь ,Ф 'з ' у и на всех этих контурах. Тогда ,~за ' з'. 1Ггз*з *-'тзз з *ФГГзз*зз";. ~- ... -+ з*З з*.
зз. зз З Ь о Рнс. 30. В самом деле, пусть, например, внутри контура С (рис. 30) лежат два контура С' и С" и у(я) аналитична между контуром С и контурами С', С", а также на всех этих контурах. Проведя простые гладкие дуги Ы, тп, рд, соединяющие С -и С', С' и С", С" и С, получим в д( — и) ди но в силу условий Коши — Римана имеем дх ду ' ди до дх ду ' — = — ' следовательно, выражении из(х — оз(у, одх+и ду являются полными дифференциалами в односвязной области О, поэтому интегралы по замкнутому контуру С от них равны нулю и, следовзтельно,<р у'(г)лзз = О.
Таким образом, справедлива следующая теорема. Основная теорема Коши. Гели функция у(л) аналитична в односвязной области О, то интеграл от этой функции вдоль всякого кусочно-гладкого замкнутого контура, лежащего в области О, равен нулю. В частности, если С в простой замкнутый контур и г"(л) аналитична внутри него и на нем, то ф 91 ОсновнАИ твОРИМА кОши силу основной теоремы Коши: У()1 =--б ядй1снпьсяя / 4 (я) пса =- О.
1сйггнн нн1» Складывая эти равенства почленно и замечая, что по каждой из дуг Ы, псп, рд интегрирование происходит два раза в различных направлениях, получим: ~у(я)йл+Ц у(з) 4(г+(~>у(л)л1г == 0 О" и' или ~~() =~т +~~(.) .. О 4 с В частности, если У(г) ана- Рнс. 31. антична в окрестности точки а, кроме самой точки а, то интегралы по всем достаточно малым простым замкнутым контурам, окружающим а (взятым в одинаковом направлении, например положительном), равны межлу собой. В самом деле, пусть Сг и Са (рис.
31)— достаточно малые контуры, окружающие а, и Са — контур окружающий а и лежащий одновременно внутри С, и внутри Са. По доказанному ЦИ)~ =фл)~', Цт~я=Ь|() ' о, сл о, С; откуда ф У'(я) 4(я = ф у(я) пса. сн о, Формулу (3.39') мо1кно переписать еще так ~йу(Я) лсл+ 1~1 У'(г) лсг+... + $ У(Я) 4(г ==- 0 о, 1П Зак. 1944. П.
И. Романовский 146 (гл, ш аналитические етнкции или (3. 39") >)> г"(г)»>г = О, г" где 1" есть сложный контур, составленный из наружного контура С и внутренних контуров С,, ..., С„, причем поло>кительное направление обхода 1' обозначает, что ограничиваемая область должна оставаться слева (следовательно, обход нару>нного контура происходит в положительном направлении, а обходы внутренних контуров происходят з отрицательном направлении).
Интеграл с переменным верхним пределом Пусть >(я) аналитична в односвязной области О. Из того факта, что интегралы этой функции по замкнутым путям, лежащим в О, равны нулю, следует, что интеграл от у(г) не зависит от формы пути, а зависит лишь от начальной и конечной точек пути. Поэтому при обозначении интеграла нет надобности указывать путь, а достаточно лишь называть начало з> и конец ае пути, употребляя обозначение ~ ((а)(.
Рассмотрим функцию (интеграл с переменным верхним пределом) ~(а) =-:: ~'У(1) (: Тогда ч>.ь гч ь Г(я+И) — Г() = ~ У('.) ('; "' ";,' "' =„'~ ~('-)~:; у(а)= —,', ~ у(а)~'- > а ».и Г(а+ д) — Г (л) и 3 !47 основнля теогвмл коши Так как в точке з функция у непрерывна, то для всякого э) 0 найдется такое т) ) О, что при !'.— г(< э) булем иметь (Я) — у(я) ! < е. Г>еря в качестве пути, соединяюгцего с х+й, прямолинейный отрезок и пользуясь оценкой (3.37), получим при (й! < тр Г (з + й) — Р (а) 1 й )й~ откуда следует, что йш — ' ' = у'(з) или Р'(з) =- У(х). Таким образоль аналитическая функция всегда имеет иервообразную. В качестве таковой может быть взят интеграл с переменным верхним пределом.
Лемма. Если Ф'(г) = 0 в некоторой области, то в этой области Ф(х) = сопзй Полагая Ф (г) =-. и (х, у)+ ~о(х, у), найдем из условия ди дм до дн Ф'(з) == О, что — == — =- — — = — =0; но тогда и == сопзг, дх ду дх ду о = сопя( и, следовательно, Ф ( ) = сопзй Из этой леммы следует, что всякие две первообразные от одной функции отличаются на постоянное. В самом деле, если гт, (з) = гтэ(г), то (Г,(х) — Р, (г))' = сх(х) — г".,(г)=0, и поэтому на основании леммыг",(х) — с',(г) = сопзй Обозначая знаком ~ у(г) пз любую первообразную для аналитической функции у(г), найдем па основании сказанного: где С вЂ” произвольное комплексное число.
П рн меч анне. Техника отыскания первообраэных (техника интегрирования) для аналитических функций формально не отличзегся от техники интегрирования элементарных функций действительного переменного, н мы не будем останавливаться на ней. 1Оэ !48 [гл. Цп Анллитичвскив Функции э 1О. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ Пусть /(а) — аналитическая функция в области, ограниченной кусочно-гладким замкнутым контуром С (рис. 32), и на этом контуре.
Фиксируем точку г внутри С и составим функцию 9()= у (г) — у (а) Эта функция аналитична во всех точках внутри контура С и на нем, за исключением точки г. Однако при г -+ л имеем у (ч) -+у'(в), поэтому если доопределить функцию т в точке г требованием Р (а) = ~'(г), то ср(".) станет непрерывной функцией в ограниченной замкнутой области, ограниченной контуром С, и, следовательно, будет ограниченной.
Таким образом, в рассматри- ваемой области ) Р(С) ! ( К, где Рис. 32. К вЂ” некоторое положительное число. Пусть Т вЂ” круг радиуса р с центром г, лежащий внутри С. По теореме Коши для сложного контура имеем: но согласно правилу оценки модуля интеграла (3.37) имеем: Р (") гг' (2кр К, следовательно, переходя к пределу при р -+ 0 в последнем равенстве, получим: ,р (3) с(~ = О, с Ь 10! 149 интвгРАльнАя ФОРмулА кОши ИЛИ вЂ” у(' йг=О, Ф-' ь — г о ИЛИ ф ( ) — у(я)ф = О. Но согласно теореме Коши для сложного контура и в силу (3.36) ф =ф „' =2пг, о .
т поэтому предыдущее равенство принимает вид: — 2пгу(г) = О, у(й) и~ о откуда (3.40) формула (3.40) называется интегральной формулой Коши и является центральной формулой теории аналитических функций. Из формулы (3.40) видно, что значения аналитической функции внутри С ьвполне определяются значепнями этой функции на С. Правая часть формулы (3.40) называется интегралом Коши. Вместо простого замкнутого контура С можно брать сложный контур Г, состоящий из наружного контура и нескольких внутренних контуров (рис.
33). Тогда в результате такого же рассуждения найдем, что если Л(г) — аналитическая функция в области, ограниченной сложным контуром Г, и на нем, то для всякой точки г в этой области 150 1гл. ш Анллитичвскив Фкнкции справедливо равенство 2я! з' Г.— г 1 >. г(1)п~ г Это — интегральная формула Коши для сложного контура. (3. 40') (3.41) !' имея>шее смысл для всех л, не лежащих на» (ибо тогда подынтегральное выражение будет непрерывной функцией от '), называется ин>пег)>алая> >нила Коши.
То >ке можно сказать о выражении более об>цего вида где Й вЂ” натуральное число. Ркс. 34. Пока>кем, что выражение (3.41') является аналитической функцией для всех значений г, не лежак»пх на дуге р. учитывая формулу ໠— Ь» = — (и — Ь) (ал-' -1- а» .аЬ.+... -( — Ь»-'), получаем: ( > ) Д ~ 9 ( ) с ~ 2! — л г! — г » 1 1 а )л ( )а (Г )а (г а )а (г! — л) ( — 2!) (» — л) !' !' » (" — л)>! '+(", >-а)» ~(' — а!)+... +(" — а!) (» — г!)л (» — - л)" ! в 11. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ Пусть à — кусочно-гладкая дуга (замкнутая или незамкнутая). Пусть 3>(С) — непрерывная функция на дуге1'(рис. 34). Тогда выражение В 11! интегглл типа коши Фсссссиручс г и полагая (с — г)" '+ (С вЂ” - г)л (' — гг) + ... + (с — гс) (С-- гс) (г — г)' можем написать: Ф(гс) — Ф (г) ~ .
%.(. ),Г г,— г г Очевидно, Ч."(,, г,) есть непрерывная функция своих аргументов, когда '. лежит на Г и г, не лежит на Г. Она будет равномерно непрерывной функцией переменных Г., гы когда ь находится на Г, гг — на круге с центром г, не имеющем общих точен с Г (по теореме о равномерной непрерывности функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве). Отсюда следует, что прн гг . « г имеем Ч» (", гс) -« и» (»., г) равномерно относительно " на Г. Вследствие этого излагаемый ншке предельный переход под знаком интеграла является законным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
