Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 17
Текст из файла (страница 17)
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Примеры. Внутренность простого замкнутого контура есть ограниченная область. Внутренность простого замкнутого контура вместе с точками самого контура образуют ограниченную замкнутую область. Если С вЂ” простой замкнутый контур, С>, Сг, ..., ф— простые замкнутые контуры, лез<вшие внутри С, но вне друг лруга, то мноа>ее>во точек, лежащих внутри С, ио вне всех Сь Сх..., С„, есть ограниченная область. Вся плоскость, полуплоскость, полоса между параллельными прямыми, внутренность угла лают примеры неограниченных областей.
Функция комплексного переменного у(я), определенная в области О и дифференцируемая в каждой точке этой области, называется аналитической в области О. Функция двух действительных переменных и(х, у), опрелеленная в области х), имеющая в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяющая уравнению Лапласа +ьк О длх дух (3.32) называется гармонической в области с).
Между аналитическими и гармоническими функциями имеется простая связь. Действительная часть всякой аналитической функции есть гармоническая функция. Множество точек на плоскости называется открытым, если вокруг каждой его точки можно описать круг, целиком лежащий в рассматриваемом множестве.
Открытое множество называется областью, если всякие две его точки можно соелинить непрерывной лугой, лежащей в рассматриваемом множестве. Граничной точкой области называется точка, не принадлежащая области и такая, что в любой близости к ней имеются точки рассматриваемой области. Совокупность всех граничных точек области называется границей области. Если к области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью.
Множество точек на плоскости называется ограниченным, если его можно поместить на некотором круге достаточно большого радиуса. й 71 лнллитичвскив и глгмоничвскив санкции 137 В самом деле, пусть 7(г) =-и(х, у)+(о(х, У) есть аналитическая функция в области О. Будем предполагать, что и(х, у), о(х, у) имеют непрерывные частные производные ло второго порялка включительно в области О (заметим, что это прелположение не является ограничением, ибо так всегла будет, но из самого опрелеления аналитической функции этого непосредственно не вилно).
Дифференцируя уравнения Коши в Римана ди до ди ди дх ду ' ду дх соответственно по х и по у и учитывая независимость частных производных от послеловательности дифференцирований, получим: до дли дхду дхду следовательно, и(х, у) есть гармоническая функция в области (). Очевнлно о(х, у) булет тоже гармонической, ибо является лействительной частью для — (7(з)=-о(х, у) — ги(х, у).
В случае олносвязной области О (область называется . односвязной, если всякий непрерывный замкнутый путь, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя из области) справедливо обратное прелложение. Всякая гармоническая функция в односвязной области О является лействительной частью некоторой (однозначной) аналитической функции. В самом деле, если и(х, у) — гармоническая функция в области 1), то можно найти такую функцию о(х, у), которая связана с и(х, у) уравнениями Коши — Римана до ди до ди дх ду ' ду дт 138 (гл. ш АНАЛИТИЧВСКИВ ФУНКЦИИ ди ди если заметить, что выражения Р=-- — н Я=— ду дх дО дР летворяют условию — — — .†.= О, так как дх ду удов- Следовательно, и(х, у)+1о(х, у) есть аналитическая функция комплексного переменного г = х+ 1у в области В. Гармоническая функция о(х, у) называется сопряженной для гармонической функции и(х, у).
Мы видим, что если ди дв и(х, у) — гармоническая, то выражение — — г(х+ — г(у ду дх является полным дифференциалом и задача отыскания сопряженной гармонической функции есть задача интегрирования этого полного дифференциала. Сопряженная гармоническая функция определена с точностью до произвольного постоянного слагаемого. й 8. ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ;КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1, 1, Простой интеграл от комплексной функции действительного переменного Пусть у (1)=~~ (1)+гф(1) — — непрерывная комплексная функция действительного переменного 1 на сегменте 1в (1 <Т (рис.
28). Разбив этот сегмент на части с помощью точек деления 1а(1е(1, ( ... (1а(1а„,( ... (1„,) и взяв на каждой части какую-нибудь точку составим сумму н-а .~. у (та) ога Рис. 28. аая где Ь1а= 1,„,— 1а Тогда предел этой суммы прн стремлении к нулю наибольшей из разностей Ша есть по определению интеграл т Г (1)г11. Из равенства й ~ 1(та) Ага = ~ 'Р(та)Ага+' ~ф(та)А1а а а а $8] интвгглл еюзкции комплексного пвгвмвнного 139 в пределе получим формулу ~ )(г) ж = — ~ р(г)И+1 / ф(т) м.
Определение интеграла функции комплексного переменного; его выражение через криволинейные интегралы и простейшие свойства Пусть З(г) — непрерывная функция комплексного переменного на некоторой кусочно-гладкой дуге АВ (рис. 29). Разобьем дугу АВ на части; пусть комплексные числа, соответствующие точкам деления, Е будут л„. На каждой части возьмем точку, соответствующую числу ~а (в качестве '.1, в частности, можно взять я1), и образуем сумму я-1 Аз з (-1) йлт Рис. 29. ~ у(г) дг. (3.33) АВ Легко выразить этот интеграл через обыкновенные криволинейные интегралы ]отсюда будет вытекать и факт существования интеграла (3.33), если существование криволинейных интегралов считать известным). где ола=ллч1 Ла. Предел этой суммы (при стремлении к нулю длины наибольшей из частных дуг) называется кнтегралом от г'(г) вдоль дуги АВ и обозначается знаком 1гл.
Ни 14О АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Полагая л"(г)=и(х, у)+т(х, у); лл — — ха+гул, буделл иметь: ~ у (г) г(л =1(пл Х У(гл) бал ' — — 11плХ(и(хл Ул) + АВ л л + 1Ю (ХЛН УЛ)) (йХЛ + Л 22УЛ) =— = — 11пл Х (и(хл Ул) Ьхл — о(хл Ул) ~лУЛ) + + л' 1йп .,'„' (о (хл, у„) 2лхл+ и (х„, ул) Ьулл = = ) и ллх — о 2(у+ л / о ллх+ и г(у. АВ АВ Таким образом, ) у(г)г(я= — ) иг(х — ог(у+1 ~ сллх+и~(у. (3.34) АВ Из непосрелственного определения интеграла (3.33), а также нз формулы (3.34) вытекает, что при перемене направления пути интегрирования интеграл заменяется противоположным числом: ) = — ~; если путь разбит на части, ВА АВ то интеграл по всему пути равен сумме интегралов по его частям; интеграл по замкнутому пути не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода (в случае простого замкнутого контура можно употреблять обозначения ~л и ф, причем $ = — 1~л); постоянные множители выносятся за знак интеграла; интеграл суммы равен сумме интегралов.
Преобразование интеграла функции комплексного переменного в простой интеграл от комплексной функции действительного переменного Если х=х(г), ) (г) ~ гл ~~ ~ ~~ ~2' $8[ интвггдл етнкции комплвксного пвгвмвнного 141 суть параметрические уравнения дуги АВ, то г=г(1), где г(1) = хЯ+ !у Я, есть комплексное параметрическое уравнение дуги АВ. Тогда интеграл от функции комплексного переменного (3.33) может быть преобразован в простой интеграл от комплексной функции действительного переменного по формуле ~ У'(г)сУг == / У[г(!)[г'(1)ис1 (3.35) [предполагаем г(1) непрерывно дифференцируемой функцией от 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
