Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Справедлива более глубокая теорема Пикара, согласно которой в любой окрестности существенно особой точки аналитическая функция не только как утодно близко подходит к любому комплексному числу, но принимает все комплексные звачення, кроме, быть может, одного. Если в области Р функция г(г) может иметь в качестве особых точек только полюсы, то у(г) называется мероморфпой в области Р. Пусть у(г) мероморфна в области Р и 6 16) ИЗ01ИРОВАННЫВ ОООВЫВ ТОЧКИ 167 а — какая-нибудь точка этой области. Тогда в окрестности точки а имеем: г'(г) = (г — а)" ср(г), где О(г) аналитична в окрестности а и р(а) Ф О.
Число п назовем порядком функции 7'(г) в точке а. Если п > О, то а есть нуль и-го порядка дляу(г); если и =О, тог(г) не равна нулю в точке а; если а = — и ( О, то а есть полюс т-го порядка для 7(г). При умножении (делении) мероморфных функций порядки их в каждой точке складываются (вычитаются). Бесконечно удаленная точка Если к плоскости комплексного переменного добавить один несобственный элемент, называемый бесконечно удаленной точкой оо, то получим полную плоскость комплексного переменного.
Полная плоскость комплексного переменного в известном смысле слова подобна сфере. Это можно видеть с помощью стереографической проекции. Пусть имеем сферу (рис. 43), касающуюся плоскости комплексного переменного в точке О (южный полюс). Соединив отрезком прямой северный полюс с точкой Рнс. 43. обозначим через М точку пересечения отрезка со сферой.
Если каждому комплексному числу г отнести соответствующую точку М, то между всеми комплексными числами и точками М сферы (кроме северного полюса) будет установлено взаимно однозначное соответствие. Добавляя несобственный элемент оо и ставя его в соответствие северному полюсу, получим взаимно однозначное соответствие между точками полной плоскости комплексного. переменного и точками сферы. Окрестностью бесконечно удаленной точки назовем внешность какого-нибудь круга с центром О (чем больше радиус этого круга, тем «меньше» окрестность точки со).
Пусть г'(г) аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки. Тогда вне некоторого круга с центром О она (гл. Ен 168 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ изобразится рядом Лорана Х(г) =~ А„г". (3.53) Логически возможны и исключают друг друга следующие три случая: 1) в разложении (3.53) нет членов с положительными показателями; 2) в разложении (3.53) есть лишь конечное число членов с положительными показателями; 3) в разложении (3.53) есть бесконечно много членов с положительными показателями. В этих случаях со называется соответственно: 1) устранимой особой точной; 2) полюсом; 3) су~цественно особой 1 точной. Подстановкз е = — приводит изучение функции у(г) !11 в окрестности точки со к изучению функции у~ — ) в окрест- ~~) ности точки О.
Поэтому в случае устранимой особой точки со функция ((г) стремится к конечному пределу при з -+ со (после надлежащего доопределения функции в со функцию следует считать аналитической в окрестности со); в случае полюса в со функция у(е) стремится к сю при е — + со; в случае существенно особой точки в оо функция г"(е) в любой окрестности оо как угодно близко подходит к любому комплексному числу. Если в окрестности оо — и причем А „=А О, то со называется нулем и-го порядка для 1(е). и 17. ВЫЧЕТЫ Пусть а — конечная изолированная особая точка аналитической функции 1(г); тогда в окрестности точки а эта функция изобразится рядом Лорана У'(е) = ~ А„(е — а)". Ь' 17) 169 вычеты Коэффициент при ( — 1)-й степени в этом разложении, т. е. число А ,, называется вычетом функции 7(а) относительно особой точки а.
Вычет г"(з) относительно а можно обозначать знаком Кез у(г). а Из формулы (3.50) при и = — 1 найдем: .4 г — — ф Г" (а) г(а, 1 т (3. 54) где Т вЂ” достаточно малая окружность с центром а. Основная теорема о вычетах $Дз)г(г =$У(з) г(з+... + $У(я)г(з =2в!(ат+...+а ), что и требовалось доказать. Таким образом, для вычисления интеграла вдоль замкнутого контура С достаточно знать вычеты функции относительно особых точек, лежащих внутри С.
Если функция Дг) аналитична внутри замкнутого контура С и на нем, за исключением конечного числа точек внутри С, то $ У(з) Нг равен о произведению 2вг на сумму вычетов относительно особых точек у(г), лежащих внутри С. Пусть аы а,, ..., а,„ (рис. 44) — особые точки у'(г), лежащие внутри С, и аы аз,..., а,— вычеты у(г) относительно них.
Пусть тз ., 7 — окружности вокруг этих точек, лежащие внутри С и вне друг друга. Тогда по теореме Коши для сложного контура и в силу формулы (3.54) получим: 170 [гл. гц аналитические егнкции Вычисление вычета относительно простого полюса Пусть г(в) = —, где ф(в), ф(г) аналитичны в окрести (л) ф (2) ности а и точка а есть простой нуль для ф(а). Тогда а будет простым полюсом для )'(г) [если ф(а) + О[.
Имеем ф(л) =(г — а)ф,(г), где ф,(в) аналитична в окрестности а и ф,(а) Ф О. Тогда в окрестности точки а функция т (г) фг(л) аналитична и , (е) т(а) ф~ (а) фд(а) — — - + В, (а — а) + Ва (в — а)'+ следовательно, вблизи точки а ч (а) откуда Кезу(г) = ~( (3. 55') Но ф'(г) = фг(в)+(я — а) ф',(г); ф'(а) =-. ф,(а); следова- тельно, Кезу'(г) = —,, ф' (а) ' (3.55) Примеры. Кез с[я в = Кев — — = ~, ~ = 1; со52 Г созе мпа ~(маг)~ г=: Вычеты логарифмической производной мероморфной функции Пусть у(в) — мероморфная функция.
Тогда логарифмическая производная — будет также мероморфной, причем У'( ) У (л) нули и полюсы У(г) будут простыми полюсами для —. г' (е) У(') ' 171 $171 вычвты (3.56) В самом деле, имеем в окрестности точки а: У( ) =( — а)" Ял); е(л) аналитична, Т(а) Ф 0; у' (г) = а (л — а)" — ' ср (л) + (л — а)" ~р' (л); у' (л) и т' '(л) у (л) л — а т т(л) Следовательно (учитывая аналитичность второго слагаемого правой части в окрестности а), Е ~(') =-и у (г) Таким образом, вычет логарифмической производной ра- вен порядку данной функции в этой точке.
Из этого заме- чания и из основной теоремы о вычетах вытекает (учнтывая, что порядок в нуле и-го порядка равен а, порядок в по- люсе лг-го порядка равен — гл) следующая теорема. Теорема о логарифмических вычетах. Если у(л) меро- морфна внутри замкнутого контура и на нем, причем на контуре не имеет нулей и полюсов, то интеграл а равен произведению 2я1 на разность между числом нулей функции )(л), лежащих внутри С (считзя каждый нуль столько раз, какова его кратность), и числом полюсов функции у(л), лежащих внутри С (считая каждый полюс .столько раз, какова его кратность).
Таким образом, — — а'л =И вЂ” Р, 1 г ~(~) 2к1 ')' у(л) й где М вЂ” сумма кратностей нулей функции 7(л), лежащих внутри С; Р— сумма кратностей полюсов функции 7(г), ле- жащих внутри С. Формула (3.55) легко обобщается. Заметим сперва, что если а — простой полюс для ф(л) и е(г) аналитична в окре- стности точки а, то Кез [е(л) ф (г)1 =- е(а) Кез ф (л). (3. 55") в О 172 '(гл. Н1 АИАлитичвскив Функции В самом деле, в окрестности точки а имеем: ., (,) ф,(л) з — а' где ф,(з) аналитична в окрестности а, ф(г)ф(г)= 1г; Кезф(л) =ф (а); о Кез (Ф(з)ф(з)1 =ф(а)ф,(а); а следовательно, равенство (3.55") справедливо. Пусть Г(л) удовлетворяет отмеченным выше условиям и ф(л) — какая-нибудь аналитическая функция в области, ограниченной контуром С, и на нем.
Так как каждая особая точка логарифмической производной мероморфной функции есть простой полюс, то для всякой точки а, являющейся нулем или полюсом Дг), имеем: Кез [~Г(з) — ~ = Ф(а)Кез — =пф(а), У' (з) 1 У' (л) у( )1 ' у(л) где и — порядок Дз) в точке а. Поэтому из основной теоремы о вычетах следует, что если аз — нули ) (л), лежзщие внутри С, и„— кратности их, Ь,— полюсы у(л), лежащие внутри С, а~ — кратности их, то — $ф(г) ( ) г(л= ~~1 тлф(аз) — ~~~~в,фф,). (3.56') с з 3 При ф(л)= — 1 эта формула обращается в (3.56). Вычисление вычета относительно кратного полюса Пусть а есть и-кратныИ полюс для у(л).
Тогда в окрестности точки а имеем У(з) =- "„+... + =-'-+ ф (л) (л — а)" л — а (где ф(г) аналитична в окрестности точки а); отсюда (з — а)7 (з) = А „ + ... + А ,(л — а)" + (з — а)"ф (г) !73 $171 вычвты в окрестности точки а. Дифференцируя это равенство и — 1 раз; получаем: [(г — а)"!'(г)]гл '! = (и — 1)! А , + [(г — а)"т (г)[гл Но для последнего слагаемого точка а является нулем, так как для (г — а)"у(г) точка а является нулем кратности не ниже и (прн каждом дифференцировании кратность нуля понижается на единицу), следовательно, в пределе при г — + а получим: 1пп[(г — а)"У(г)]!" '1=(и — 1)! А „, /-/ а откуда А, = —, Иш [(г — а)"!" (г)] ' (п — — 1)1/ >и Таким образом, если а есть и-кратный полюс для 1(г), то Кез)(г) =, Ит[(г — а))! (г)[!" ".
(3.57) (п — 1) Из этой формулы при и = 1 легко получить выведенную ранее формулу (3.55) для вычисления вычета относительно простого полюса. Пример. 1 1,. Г (.— !)" !гз + 1)" (и — 1)! / ./ ! 'с(гз + 1)и 1 . ~ 1 1 ! . ( — 1)" гп(п+1) ... (2п — 2) Иа „1 = — 1пп (и — 1)! / ы ! !. (г+!)и ] (п — 1)! /.+ 1 (г -1- !) " ( — 1)" 'п(п+1) ... (2п — 2) 1 (2п — 2)! (3 57/) (п — 1)! (2!)з"' ! ! 2еп ! [(п — 1)!]а Приложение вычетов к вычислению несобственных интегралов Пусть 7.(г).— функция, имеющая выше действительной оси лишь конечное число особых точек а, Ь, ..., й (рис. 45) и пе имеющая особых точек на действительной оси.
При Я, достаточно большом, точки а, Ь,..., /з будут де>кать внутри ]гл. и! кнллитичискив егнкции верхнего полукруга радиуса Р с центром О. Имеем (С обозначает контур полукруга): У(г)аз = 2я!]Кез !(г)+Кез !(г)+... +Кез/(г)]; (3.58') а к к с но у дг)г(г = ] у(х)г(х+ ~ у(г)г(г, с — Я гл где тл — верхняя полуокружность радиуса К с центром О. Если при г — + со (в верхней полуплоскости) Г'(г) стремится к ! нулю быстрее, чем —, т. е. если г' У(г) =, где а (г) — ь О при г -+ со а (в верхней полуплоскости), то -л а и ]]ш / !"(г)аз=О. Рнс.
45. л-» о В самом деле, для всякого е найдется такое А ) О, что при ) г] > А, у )~ О (г = х+ ]у) имеем ) а (г) ! < г. Тогда У(г)г(г = ~ г)г]г ( — пК=па, г "л тл что и требовалось доказать. Следовательно, из (3.58') в пределе при К -+ +ос по- .„..(....... ]... и. Г]: в+ш л / / ! (х) г(х = 2п! ]Кез/(г) +... + Кез !(г)]. (3.58) а к Итак, если У(г) аналитична в верхней полуплоскости у)~ О, за исключением конечного числа особых точек, ле>ка- щих выше действительной оси, и если при г — +со (в верх- в 17) 175 ВЫЧЕТЫ 1 ней полуплоскости) 7'(г) стремится к нулю быстрее, чем —, то ~ 4 (х) 4(х существует и равен произведению 2л1 на сумму вычетов 7(а) относительно особых точек, лежащих в верхней полуплоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
