Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Случай отсутствия полюсов не может представиться, ибо в этом случае у(а) была бы постоянной. Итак, у'(г) линейна. Заметим, что значениями у(е) будут все точки полной плоскости. Отметим еще один факт, относящийся к однолистным функциям. Если у(г) однолистна в области, полученной выбрасыванием из ь1 некоторого множества точек, не имеющего предельной точки внутри В, то после надлежащего доопределения в точках этого множества у(г) станет однолистной в области О. Действительно, точки упомянутого множества являются изолированными особыми для У(л). Учитывая однолистность у(г) и теорему Сохоцкого, легко заметить, что эти особые точки не могут быть существенно особыми, следовательно, в них У(г) естественным образом доопределяется и становится мероморфной в О.
Если бы она в двух точках В принимала одинаковое значение а, то в любой близости к этим точкам она принимала бы любые, достаточно близкие к а значения, что противоречит однолистности у (е) в ее первоначальной области определения. Конформное отображение области на область Определение. Взаимно однозначное отображение то = у'(г) области е) на область Ь, конформное в каждой точке области 1Э, называется конформным отображением области е) на область Ь (речь идет об областях на полной плоскости). Всякая мероморфная (в частности, аналитическая) однолистная функция У(г) в области О дает конформное отображение то = )'(г) области О на соответствующую ей область значений функции у(я).
Это следует из того, что производная однолистной функции в каждой регулярной точке отлична от нуля (и возможный полюс в простой), и из того, что отображение конформно в точке, если выполняющая отображение функ- 5 201 конФОРмныв ОтОБРАжвния ОБЛАстзй 195 ция имеет в этой точке отличную от нуля производную (или простой полюс). Для практического построения конформных отображений областей полезна Теорема. Если /(г) аналитична в области, ограниченной простым замкнутым контуром С, и на нем и если у(г) унивалентна на С, то та = г(л) будет конформным отображением области, ограниченной простым замкнутым контуром С, на область, ограниченную простым замкнутым контуром Г, который описывает точка у(з), когда точка л описывает С.
Доказательство. Пусть а — точка внутри (вне) Г. По принципу аргумента число корней уравнения у(л) — а=0, лежащих внутри С, равно Линейные преобразования Линейные преобразования аг+д )а Ь! (3. 66) являются единственными конформными отображениями полной плоскости на полную плоскость. Преобразование, обратное линейному, также линейно, произведение линейных преобразований также является линейным преобразованием. Всякое линейное преобразование (3.66) опре- а это число (из геометрических соображений) равно -+ 1 (О). Это показывает, что внутри С У(г) принимает ровно один раз каждое значение, лежащее внутри Г, и не принимает значений, лежащих вне 1'. Так как множество значений у(л), когда г принимает всевозможные значения внутри С,— открытое, то значениями г(г) не могут быть точки контура Г (ибо в противном случае некоторые точки вне Г оказались бы значениями У(з), что невозможно).
Итак, когда л пробегает все точки, лежащие внутри контура С, ((г) по одному разу пробегает все точки, лежащие внутри контура Г, что н требовалось доказать. 196 [гл. гн лнллнтичвскиз эвикции /а Ь\ деляется некоторой матрицей комплексных чисел 1с а',) с отличным от нуля определителем, причем матрицы только тогда определяют одно линейное преобразование, когда их элементы пропорциональны. Если 1. определяется /а Ь\ / — с а~1 матрицей [ ), то 1. определяется матрицей [ ). [хе с[) Линейное преобразование (3.66) называется целым, если с = О, дробным, если с + О. Ы Заметим, что если тв = аг+ Ь = а (г+ — ), где а Ф О, а)' Ь то тв можно получить, исходя нз г, так: г, =г+ —; а ' тд = ага. Заметим, что если аг+ Ь а Ьс — аа св ~г+ — ) с) то тв можно получить, исходя из г, так: а 1 Ьс — аа а г =~-+ —; гз= —; гз= — гз' =ге+ —.
с' га' сз ' с Из этих замечаний следует, что всякое линейное преобразование можно разложить в произведение линейных преобразований частных видов тв=г+а; тв=аг (а + О); тв= —. 1 Егце заметим, что если число а эь 0 представить в показательной форме а = Йе'т, то тс = аг можно получить, исходя 1 из г, так: г, =ейг; та =1хг. Наконец, та= — можно полуг 1 чить, исходя нз г, так: г, ==, тв =г .
ф 201 конеогмныв отовглжвния овллствй 197 Из сказанного следует, что всякое линейное преобразование можно разложить в произведение преобразований, каждое из которых относится к одному из пяти видов: 1 то = г+ а; то = ее>як и> = >ь>з; и> = =; и> = г, (3.66') где а = и+ 13 — комплексное число, 7 — действительное число, й — положительное число. Эти преобразования могут быть переписаны так (полагая з = х+ су, то =- и+ 1о): ( и =х, 1 и= — у .=у+6; ( и= (::::,". 1'. =-- хсоз 7 — уюп; =хгйп 7+усоз7 (3.66") в+ уз у А (хз+ уе) + Вх+ Су+ О = 0 и называются соответственно: параллельным переносом, поворотом, подобием, инверсией, симметрией.
Окружностями (в широком смысле) на полной плоскости будем называть окружности и прямые. Через каждые три различные точки полной плоскости проходит единственная окружность (в широком смысле). Теорема. Всякое линейное преобразование переводит каждую окружность (в широком смысле) в некоторую окружность (в широком. смысле). Доказательство. Так как всякое линейное преобразование разлагается в произведение преобразований, относящихся к упомянутым выше пяти видам, то достаточно показать, что преобразования этих пяти видов переводят окружности (в широком смысле) в окружности (в широком смысле). Это очевидно для параллельного переноса, поворота, подобия, симметрии. Остается проверить это для инверсии.
Уравнение, какой-нибудь окружности (в широком смысле) можно записать в виде 198 АнАлитические Функции [гл. ш (А, В, С, Π— действительные числа; при А Ф О вЂ” этоокружность, при А =Π— это прямая). Из соотношений и (преобразование, обратное инверсии, есть тоже инверсия) найпем, что образ этой окружности (в широком смысле) имеет уравнение О(иа+ пз)+ Ви+ Сп+ А = О и, следовательно, тоже является окружностью (в широком смысле), что и требовалось доказать. Всякое нетождественное линейное преобразование имеет либо одну, либо две неподвижные точки (т.
е. точки, переходящие в себя). В самом деле, в случае дробного линейного преобразоаг+ Ь вания си= его полюс и точка со не являются несс+ и подвижными точками, а отличная от них точка будет аз+ Ь неподвижной, если удовлетворяет уравнению г= +Л сс+ и' (квадратное уравнение); в случае целого линейного преобразования ти = аз+ Ь точка со является неподвижной точкой, а конечная точка бупет неподвижной, если удовлетворяет уравнению г =- аз+Ь (уравнение степени не выше первой). Таким образом, нетождественное линейное преобразование в обоих случаях имеет либо одну, либо две неподвижные точки.
Теорема. Если гы а„ аз — какие-нибудь три различные точки полной плоскости и ти,, тиа ти, — тоже какие-нибудь три различные точки полной плоскости, то существует единственное линейное преобразование, переводящее лы зз,гз соответственно в тиы чиа ти,. Доказательство. Сперва заметим, что не существует различных линейных преобразований Е и М, пере- вопящих еы а,, зз соответственно в ь ы ти,, сиз, так как в противном случае М 'с. было бы нетождественным линейным преобразованием с тремя неподвижными точками еы га, ею что невозможно.
ф 20) КОКФОРМКЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ 199 Непосредственно проверяется, что линейное преобразование 7ч„„;,,„ где зз — ля , ЕСЛИ Л1, Яя, ВЗ КОНЕЧНЫ, зз — л1 л — ля ' гз — Зя а — ея ЕСЛИ г1 = СО, (3. 67) г — г1 га — г1 ' ЕСЛИ Ея = ОЭ, Л вЂ” Ея ' если яз=-со, переводит Е„вя зз соответственно в О, оа, 1. Отсюда следует, что 7м„„„чь1.,„,„, „будет линейным преобразованием, переводящим ды гя, га соответственно в тв1, тв„таз, что и требовалось доказать. Понятие симметрии относительно прямой хорошо известно. Введем теперь понятие симметрии относителш<о окружности.
Определение. Пусть С вЂ” окружность с центром О и радиусом Р. Точкой, симметричной какой-нибудь точке Р относительно окружности С, называется точка Р', обладающая свойствами: 1) Р и Р' лежат на одном луче, выходящем из центра окружности С; 2) ОР ° ОР" =11'. Если Р совпадает с центром окружности С, то пола- гают Р"=со, и обратно. Если Р симметрична Р, то Р симметрична Р*. Лемма.
Если Р и Р* — снмметричпые точки относительно окружности (в широком смысле) С, то всякая окружность (в широком смысле), проходящая через Р и Р", ортогональца С. Обратно, х всякая окружность (в широком смысле), проходящая через Р и ортого- 7 Бальная С, проходит через Р*. Доказательство. Пусть (рис. 57) à — окружность, проходящая через Р и Р', и ОМ вЂ” каса- Рис. 57. тельная к Г, проведенная из центра О окружности С.
Г!о известной теореме элементарной геометрии ОМЯ = ОР ° ОР'. Но ОР ° ОР*=1с', откуда ОМ = й. Следовательно, точка М лежит па С и Г орто- гональна С. [гл. ш '200 аналитические Функции Полоатим для всяких двух разных точек а, р л — а , если гь р конечны, ~ а, а(л) г — р ' (3.63) Очевидно Е„й будет одним из линейных преобразований, переводящих а, р соответственно в О, со. Положим еще для всякого К (отличного от О и со) (3.69) йа (л)=К. Очевидно Е есть линейное преобразование с неподвижными точками О и со, и обратно, всякое линейное преобразование с неподвижными точками О и со есть ьтг при некотором К (зто видно из выражения А„ , где т отлично от О и со). Следовательно, о, ът' всякое линейное преобразование, сохраняющее точку О и переводящее единичную окружвость в себя, должно иметь вид йк (ибо со, как симметричная с точкой О относительно единичной окружности, сохраняется), причем, очевидно,[К[ = [ Следовательно, линейное преобразование, переводящее единичную окружность в себя, сохраняющее центр и направление действительной оси, есть тождественное преобразование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
