Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Тогда существует единственное конформное отображение О на Ь, пере- водящее точку Р в точку О и чнаправление> и в >направление> и. Л о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 5 (Т) — конформное отобран»ение области О(з) на внутренность единичного круга, существующее в силу теоремы Римана — Каратеодори. Тогда точка Р(О) и >направление» т(п) перейдут при этом в некоторую точку Р>(<~)т) и некотоРое снапРавление> тт(пьй Пусть »'.
— линейное преобразование, переводящее единичную окружность в себя, точку Р, в точку 1)т, >направление> тд в >на- правление> пт. Тогда Т тт'.Я будет искомым конформным отобра- жением О на Л, переводящим точку Р в точку 1;) и снаправление> я» в анаправление> и. Остается доказать единственность такого ото- бражения. Пусть В(Т) — конформное отображение О(Д) на внутренность единичного круга, переводящее точку Р (О) в точку О, »направле- ние> гп (и) н >направление> действительной оси (существование отображения 5 (Т) доказано).
Если теперь (У вЂ” какое-нибудь конформное отображение О на б, переводящее Р в О и »и в и, то Т(!Б ' будет конформным отображением внутренности единичного круга на себя, сохраняющим точку О и направление действительной оси. По следствию из леммы Шварца Т()о '=Е (тождественное $201 конФОРмные ОтОБРАжения ОБлдптей 205 преобразонание), следовательно, У = Т г5, что доказывает единственность У.
Замечание. Если области В и а огранячены окружностями (в широком смысле), то всякое конформное отображение г) на в будет линейным. В самом деле, пусть 5 — конформное отображение Р на Какая-нибудь точка М области В и выходящее из нее снзправлениеэ т перейдут в некоторую точку Лг области а и выходящее из нее спзправлениеэ л. Но мы видели, что существует линейное преобразование У., которое, как и 5, переводит В в а, М в )ч, щ в и, а так как такое конформное отображение единственно, то 5 = А.
формулировка теоремы о соответствии границ прн конформном отображении. Если та=У(з) есть конформное отобрзжение области г?, ограниченной простым замкнутым контуром С, на область а, ограниченную простым замкнутым контуром Г, то функцию у(л) можно так доопределить в точках контура С, что у (л) станет непрерывной функцией в замкнутой области, ограниченной контуром С, и соответствие ю = у (з) окажется вззимно однозначным отображением замкнутой области, ограниченной контуром С, на замкиутуэо область, ограниченную контуром Г.
Доказательство этой теоремы здесь не приводится. Таким образом, всякое конформное отображение области, ограниченной простым замкнутым контуром С, на область, ограниченную простым контуром Г, индуцирует определенное взаимно однознзчное соответствие между точками самих контуров С и Г.
ГЛАВА 1Н О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ й 1. ГАММА-ФУНКЦИЯ Гаима-функция, или эйлеров интеграл 2-го рода, определяется (для положительных значений независимого переменного г) формулой Г(з)= — / е-*х' глвх (л) О). (4. 1) о Интеграл в правой части является несобственным при верхнем пределе и, кроме того, в случае з (1 несобственным при нижнем пределе. Сходимость интеграла (4.1) при всех з) О обеспечена, так как при х-. +со показательная функция ее растет быстрее любой степенной функции и так как интеграл с нижним пределом О от х-«при а(1 сходится.
Формула приведения для гамма-функции (первая основная формула) Интегрирование по частям дает: Г(а+1) = ~ е- хвввх= о +со в-ххв ~ +з ~ хв — ве — хвух = лГ(8). о Таким образом, получаем формулу приведения (4.2) Г(л+1) =лГ(л) (з) О). 5 1) 207 ГАММА ФУНКЦИЯ Отсюда заключаем, что Г(г) =(з — 1)Г(з — 1) =-(е — 1)(г — 2)Г(л — 2) =... и вообще Г(е)=(з — 1)(г — 2)...
(з — Гз)Г(г — й) Й(з) (4 3) а тогда при натуральном п Г(в+ 1) =п(п — 1)... 2. 1Г(1); но Г (1) = ~ е — а'х = — е ~ = 1, о о следовательно, Второе выражение гамма-функции делая подстановку х = Гз, получим: + сО +сс Г(е) = ~ е-*х'-' осх = 2 1 е МГзо-'с)с о о или, заменяя г на х, Г(з)=2 / е-Ф'хзо-'е(х (з) О), (4.5) о откуда, в частности, Г ( 2 ) = 2 ~ е -Ф' е(х о г1 1 Ниже будет показано, что Г( — ) ='1/я (см. стр. 209), (, 2 ) откуда с помощью (4.3) найдем для любого натурального п: Г1п+ — )=(П вЂ” — )(п — — )... 2 Г(2) = 1 3 5...(2Н вЂ” 1) 2" (4.6) Г (и+ 1) = 1 2 ° 3 ...
и = и1. (4. 4) Формула приведения (4.2) позволяет выразить значения гамма-функции для любого положительного г через ее значения для з, лежащего между 0 и 1. 208 О некОтОРых специАльных Функциях (гл. Ре Бета-функция Этот интеграл является несобственным при нижнем пределе в случае р(1 и несобственным при верхнем пределе в случае !7(1.
Лелая подстановку х = соьз т, получим второе выражение для бета-функции: В (р, 4) = 2 ~ соляр-! та!пач-! т с(т о (р) О, д) О). (4.8) Бета-функция может быть легко выражена через Г-функцию посредством формулы г(р)г(4) '(р д)= г(р+д). Действительно, перемножая равенства ч-ь +со Г(р) =2 ~ е вхзр спх; Г(д) =2 ~ е в у~я ~Ну о о и переходя в получающемся двойном интеграле к полярным коор- динатам х=гсозт, ('д(х, у) у=гз!Пт, [д(г, т) получим (рис. 58 и 59): Г(р)Г(д)=4) ~ е и хвр 'утч !«хду= н = 4 ~ ~ е " гтр+ЗЯ ' солар ' т з!Пьт ' т аг ат = А =2 ~ е ~грь~я дг2 ~ соз Р туз!и я тс(т=г(р+ч)В(Р 4).
о о откуда и вытекает формула (4.9). Бета-функция, или зйлеров интеграл 1-го рода, определяется (для положительных значений независимых'переменных р, д) формулой т В(р, 4) = ~ хр ' (1 — х)Ч 'дх (р)0, д)0). (47) о 5 1) 209 ГАММЛ-ФУНКЦИЯ Из формулы (4.9) видно, что бета-функция симметрична: в (р, д) = в (д, р). В случае натуральных т, и из (4.9) и (4.4) следует: в (т, и) = (т — 1)! (и — 1)! (т+ и — 1)! Затем в силу (4.8) 2 В( —, — )=2 ~ она=к, о но по (4.9) в( —, — )= ~Г (2)~ ,/!т откуда, учитывая, что Г(1) =1, получим равенство 1'~ — ) = ')та, ~2)- Рис. 59.
Рис. 58. которое было использовано при выводе формулы (4.6). Так как из (4.5), как уже отмечалось, следует, что Г( — )=2 ~ е 2!х, то отсюда находим: (4.10) е Фх=— 2 о или (учитывая четность функции е ~ ): +со е ~их=')тк. (4.10') 14 зак, !заа. П. И. вомакавсквй 21О о никотовых опнциальных оункциях (гл. гг Интеграл, фигурирующий в формулах (4.10) или (4,10'), называется интегралом Гаусса. Если р — любое положительное, и — натуральное, то из (4.9), (4.4), (4.3) находим: В(р, и)— Г(р)Г(и) Г(р)1.2...(л — 1) 1.2...
(и — 1) Г(р+и) (р+л — 1)...рГ(р) р(р+1)...(р+л — 1)' Лелая в формуле (4.7) подстановку х=— у 1+у р-1 В(р, а)= ! ггх (р)0, д)0), (411) Е (1+ х)В+в о откуда хт-т В(з, 1 — з) = ах (0(з(1) (4.1!') 1+х о или, учитывая (4.9), ха-т Г (з) Г (1 — з) = — Вх (О ( з (1). (4.12) 1+х о Вычисление интеграла ) — ах, где 0( 1+х о т Пусть сперва з — рациональное число вида — где л' т — нечетное, т(л. Подстановка х= е" даст: а(1. и — четное, е сО ) ЯФ +ы +со о е о СО ет !+ли Используя правило вычисления несобственных интегралов с помощью вычетов (см. гл.
Ш, 9 17), получим: Х ет-т кч лт-1 „ае = 2я1 ~ )(ез (и меняя ззтем у иа х), получим третье выражение для бета-функции: 5 1) 211 ГАММА-ФУНКЦИЯ где а — полюсы рациональной дроби гт-1 + ги иЧ2ьи (22Е1) и! )гг 1 11' е,! е и е и (й О 1 и 1) Иэ этих и значений )! — 1 положительный коэффициент при ! и имеют значения, соответствующие Я=О, 1, ..., — — 1. Следова- 2 тельно, все значения а суть (зл+ О и! л а=е " (Я=О, 1, ° ., — — 1). 2 С помощью правила вычисления вычета относительно простого полюса находим: ат-и йеэ — — = [ 1+г" пги-(3, и т Таким образом, имеем при з = — (используя в процессе преобраи зований суммирование геометрической прогрессии и выражение синуса через показательную функцию по формуле Эйлера): Хэ-1 П Р гт-1 ж1 гт 1 жч — а'х =— ил =пап Ч )(ез — — = и! тэ ат-"= 1+х = 2 1 1+ги ' 24 а 1+за о — ОЭ а а —" — 1 и1 (ион и( 2 (22+1) и( — Ои — и) (1и-и) и — Х (и и) за е и = и! 2иг — Ои-и) л=о е и ,( ) И та! т иг — +1) — (т-и) — (а-т) — — (и-т) 2 а ез з и! иг и( — (и-и1) — — (и-и1) Еи — е — [т-и) еи ( ) п; иг +1) (т и) 5)п ) и = и! — (и — т) 2 и и — Т и ит э)п из 21п — (и — 1в) 21п— и П ит — (т-и) еи 14* лежащие в верхней полуплоскости, т.
е. корни уравнения 1+ хи = О, имеющие положительный коэффициент при !. Имеем: 212 о нпкотозых спзциальных Функциях (Гл. )ч где — "ч1) — "(. — ) л (" я т=( ( з(п — (и — ги), 2 — (ээ — н) лв и, следовательно, (т) = 1. Но леван часть нашей цепочки равенств н коэффициент прн Т положительны, поэтому т = 1. Таким образои, т имеем при 5 = — равенство и хэ-т ж г(х = 1+ Х 5(П вэ о но левая и правая части этого равенства суть непрерывные функции от 5 на интервале О(5(1 (мы не останавливаемся здесь на обосновании непрерывности левой части), а так как каждое действительное число этого интервала можно представить как предел т последовательности правильных рациональных дробей вида — где и ' и — четное, т — нечетное, для которых упомянутое равенство доказано, то в пределе найдем справедливость его для всех 5, 0(з(1.
Итак, ах = (О ( з ( 1). (4.13) о Вторая основная формула для гамма-функции Из (4.12) и (4.13) находим: Г (5) Г (1 — 5) = — (О ( 5 ( 1). (4.14) 5)П аз формула (4.14) позволяет выразить значение гамма-функции для 5, лежащих между т/ и 1, через ее значения для 5, лежащих между О и (,(з. Гамма-функция как предел произведения х)" Учитывая, что (1 ††) -+ е-* при и -+ со, найдем: и) х'ч г(с=).— -э = ~ ~(1 — ) *-» о и.+ +со 213 5 1) ГАММА"ФУНКЦИЯ (законность этого предельного перехода легко установить, но на этом мы не останавливаемся). Положим: х>в У>,(5) = ~(! — — ) х' — 'в!х (О ( Д (и; я ) 0).
о Интегрирование по частям дает: и и А — > ~„(5)=(1 ) ' + " ~(1 — -) х (х= о о = — >л-> (5 + 1)1 и найдем: и л — 1 ~п >(5+1) лЯ л(5-)-!) Уп а(5+2) л — 1 п — 2 л(5-с1) п(5-!-2) " 5' + >'„(я+ 3) =... л — 1 1 ~о 5 л (5+ 1) ' ' ' л (Я -.1- п — 1) о ( + 1 ° 2...л ивэп 1 2...л и'. (Я+1)...(5+л — 1) 5+и 5(5 + 1!...(Я+ л) и ля И 5 Таким образом, Г(5) = И>п ' ''' " ив (я) 0).
(4.!5) Можно показать, что предел, стоящий в правой части формулы (4.!5), существует для всех комплексных чисел я (конечный для всех я, отличных от нуля и отрицательных целых чисел). Выражение (4.15) может служить определением гамма-функции для любого комплексного значения я. значит, применяя последовательно эту формулу и учитывая, что Если формула (4.15) принята за определение гамма- функции, то формулу приведения (4.2) можно доказать следующим образом: 1 ° 2...и ~('+')=.Н, (+1)(+2)"'(+ +1) ""'= 1 2 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
