Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 28
Текст из файла (страница 28)
и и 1!ш ! з ''' и' 1 = УГ(г). з(У+1)...(а+и) а+и+1 3 Гамма-функция является аналитической на всей плоскости комплексного переменного, за исключением точек О, — 1, — 2, — 3,..., являющихся для нее простыми полюсами. Гамма-функция, как это можно установить, нигде в нуль не обращается. 6 2. БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЛЮБЫМ ИНДЕКСОМ Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах Чтобы объяснить «происхождение» бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве: даи дзи даи для дуя дга ' — + —,+ —.= О (4.16) (функции, удовлетворяющие этому уравнению, называются гармоническими).
Если перейти к цилиндрическим координатам по фор- мулам х = г соз ~у, у = г з)п ~у, я=я, то, согласно формуле (2.67), уравнение (4.16) принимает вид Поставим задачу: найти все такие решения уравнения (4.17), которые могут быть представлены в виде про- 214 О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ 1ГЛ. Щ и 2] ввссвлввы етнкции с лювым индвксом 215 изведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, т.
е. найти все решения вида и = )с (г) Ф ( р) к. (в) ()с, Ф, Е предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми). Пусть и есть решение упомянутого вида. Вставляя его в (4.1Т), получим: )с"Фг". + — гс'ФЯ+ — )сФ"7+ РФЛ" = О, откуда (после деления на ЙФг) РЯ 1 Р' 1 и" 2" — + — — (- — — +-- = О. Л г й гя Ф у Записав это в виде 43~~ Я~~ Л г Л' ге Ф Х найдем, что левая часть не зависит от г, правая не зависит от г, чп1 следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная а. Отсюда Г' у — =а; Я" — аЕ=О; 11п 1 юг 1 Уг Рг 1 юг 1 фю — — — =а; — + — — +а= — — —; г 1с гл Ф ' 11 г Д гз Ф ' гав" + гР,'+ ага)с Ф" Ф В последнем равенстве левая часть не зависит от ~у, правая не зависит от г; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная Ь. Отсюда — — =Ь, Ф +ЬФ= О; + + = Ь гамп-( ггсг+ (ага Ь) )с = О, 21б О НВКОТОРЫХ СПВЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ (ГЛ.
!Ч Таким образом, )с, Ф, е. должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка га)си+ ггс'+(иг' — Ь) ге = О, ФУ+ ЬФ = О, Л" — аЕ = О, (4.18) из которых второе и третье суть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида. Обратно, если )с, Ф,л удовлетворяют уравнениям (4.18), то и = )ХФХ есть решение уравнения (4.17).
В самом деле, вставляя )сФЛ в левую часть (4.17) и деля затем на ЙФЛ, получим: он 1 )с' 1 Ф» с» йи 1 )с' Ь вЂ” + — — + — — + — = — + — — — — +и= г 17 га Ф 2 Р г 17 га гчс" + гц' + (ага — Ь) д — О. Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (4.17), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть и=)хФЕ, где )с, Ф, л суть любые решения уравнений (4.18) при любом выборе чисел а, Ь. Первое из уравнений (4.18) в случае а 1, Ь)~ О называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае Ь = ча, обозначая независимое переменное буквой х (вместо г), а неизвестную функцию — буквой у (вместо )с), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид х'у" +ху'+(х' — чз)у= О.
(4.1 9) Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями. Бесселевы функции 1-го рода Будем искать решение уравнения Бесселя (4.19) в виде ряда ~= Х ° "". н=о ф 2] ьвссвлввы отнкции с лювым индвксом 217 Тогда ху' = ~ (ч + А) аах'а"; а=о хгу' — ~~ (ч + Й)(ч+ Й вЂ” 1) аах'ч а а=о (хг чг)у ~ аах".~-аог — чг ~ а,х.ьа а=о а-.- о ,"~ аа гХчоа Чг'.~~~ ааХ"'а'; а=.2 а=.о х'у" + ху'+ (х' — чг) у = .~. О ч О = ~ ((ч+А)г — чг] аах'+а+ ~ аа гх"+а= а=о а=г 12(2ч+ а) аах" о" + ~ аа х'+а.
а=-о 2=2 Следовательно, приходим к требованию (2ч+ 1) а,х'+'+ ~ (12(2ч+а)аа+аа 2]х"'а =О или к бесконечной системе уравнений (2ч+ 1) а„= О, й(2ч+ а)аа+аа-г = — О (1=2,3,4, ...), которая распадается нв две системы: Первая из них удовлетворится, если взять а, = О, а, = О, аз= О, ... Во второй системе а, можно взять произвольно; тогда а„а, а,, ... однозначно определяются (если ч не (2ч+1)а, = О, 3(2ч+3)аз+а, = О, 5 (2ч + б) ао.+ а, = О, 2(2ч+ 2) аг+ аз — — О, 4 (2ч + 4) а + аг — — О, 6 (2ч+ 6) аз + а = О, 218 о нвкотовых спвциальных етнкциях является целым отрицательным числом). Взяв [гл.
ш 1 2"Г (2+ 1) найдем последовательно: ао 4 (2+ 1) 2' ь2(2-[- 1) Г (ч+ 1) 2'" 21! Г (2+ 2) аа 1 1 4 2(ч+2) 2 442!(2+2)Г(4+2) 2~4~2!Г(2+3) ' а4 1 1 а— 4.3(2+3) 2'е43!(2+3)Г(2+3) 2"443!Г(~+4) и в качестве решения уравнения (4.19) получим ряд 1 „1 2+ 2'Г (2+ 1) 2'т'1! Г (~+ 2) Х''4 —... = о (-:)"'. 2'е42! Г (2+ 3) Г (2+ 1) 1! 1' (ч + 2) (-')'" ~ „(-)" +2!1 (ч+3) ' ' ' ~~ 1( ) Л(Г (4+а+ !) в=о , (-:-)"'" в-е называется бесселевой функцией 1-го рода с индексом х. Она является одним из решений уравнения Бесселя (4.19). Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4.19), сходится для всех положительных значений х и, следовательно, является решением уравнения (4.19) в области 0 < х " +со (в случае целого ч в области — со < х < +со). Функция $2! ввссвлввы егнкции с лювгям индвксом 219 В случае целого неотрицательного индекса и, учитывая (4.4), получим: .l„(х) = „7 ( — 1)" , (-)"" а=э и, в частности, У (х) ~~1~ ( 1)ь ( — )'" а=э (4.20') (4.20") Общее решение уравнения Бесселя Если ч = — и (целое отрицательное число), то функ- 1 ция, определяемая формулой (4.20) (учитывая, что Г (з) равно нулю для з = О, — 1, — 2,...), принимает вид ~(,),( — ) ' ГН ( — л+ Л)1 (4.
20") или, после замены индекса суммирования Й на 1+и, у „(х) =( — 1)" ~~~ ( — 1), =( — 1)" l„(х), (4.22) 12) В случае иецелого индекса т функции У„(х) и l,(х) являются решениями уравнения (4.19). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображаюгцих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени х. Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя (4.19) есть у = С,,У„(х) + С,./, (х). (4.21) 220 о нвкотогых спвцилльных Функциях (гл.
гч (4.24) У =- СгУ, (х) + Са У; (х). и 3. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ ДЛЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ Имеем: '= -"(-)'таа . (- '- (-'~" О" ~л~ю~ lгй'(о+!г+ !) ' х" 2" Х М1'!о+!г+ 1) а=о а=о д .г„(х) 1 ! 12) '- -' г~ ггх х" 2" гья' (л — 1)! Г Ол-а+1) ' + а=г ",(-) '- <-')"'(Ю"" ах х =2 2й ЛГ(о+1+2) х ( ' О;.,(.) 1! Г (о+1+ 2) х"+г откуда видно, что l „(х) удовлетворяет вместе с /„(х) уравнению Бесселя хау" -)- ху'+ (х' — аг) у = О. Но формула (4.21) в случае целого о уже не дает общего решения уравнения (4.19). Полагая У„(х) = — — "- ) "' ' ) (т — не целое) (4.23) з1Н оо и дополняя это определение для о= и (целое число) формулой У„(х) = 1пп У„(х), (4.
23') что получим функцию У,(х), удовлетворяющую уравнению Бесселя (4.19) и во всех случаях линейно независимую от /,(х) (в случае о = а, где л — целое, этот факт, как и само определение У„, нуждается в обоснованиях, но это мы оставляем в стороне). функция У,(х) называется бесселевой' функцией 2-зо рода с индексом о. Общее решение уравнения Бесселя (4.19) можно записать во всех случаях в виде ф 3] ФОРИУлы НРБВедения длЯ БесселеВых ФУнкций 221 Следовательно, «г 1„(х) ./„.>1(х) х «гх х» х»+1 (4.25) Имеем (2) ) (2) о=о а=о »ь«2 ~ 2) — [х».1,(х)] = 2» У| У В.=о л х 2(»-11»-2л .|- О( 1) ,2, = х х'-' з',, (х).
л1 1 (» Н- й) а=о Следовательно — [х'l,(х)] =х"-'/, 1(х). (4.26) Таким образом, операция —, примененная к х'l,(х), х«гх ' понижает в этом выражении индекс» на единицу. Применяя эту операцию т раз, получаем: (. ) [х"у,(х)] = х»-«««у, (х). (4. 26') Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя 14.25), получим: (-') =- — '"' ' Хч) Х» ' Х» Х»+1 Х» ' " Х " «+1' Таким образом, операция — (состоящая в дифферен- Х «2Х 11 цированин с последующим умножением на — ), примененх)' ~» (х) ная к — ", повышает в этом выражении индекс ч на едих' ницу и меняет знак.
Применяя эту операцию т раз, где т — любое натуральное число, получаем: ( — ) — =— ']«о У„(х) м У,+,„(х) (4. 25') х пх) хч хч-' ««« 222 о нвкотогых спицилльных етнкциях [гл. ьч Отсюда, в частности, следует, что 1а = — 1ы Используя (4.26), получим: (х"1„) =х"1„Б х'1,+чх" '1,=х" Х,,; 1„+ —.1„=1 Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает: 21„=1, а — 1, Б (4. 27) — 1„=1, ~+1„,. (4.
28) Формула (4.28) позволяет выразить все бесселевы функции с целыми, индексами через .1, уы Действительно, из (4.28) находим (полагая ч = п — 1): откуда последовательно получаем: 2 1а = — 1 — 1о1 х 4 4(2 ) (8,) 4 и 4. БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ПОЛУЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы 1 функции с индексом п+ —, где п — целое. Эти функции могут быть выражены через элементарные функции. Имеем: 1 1 () ~ (2) ф 4) ввссвлввы етнкции с полацвлым индексом 223 но в силу (4.6) г(А 3~ 1 3 5...(2а+1) /- 2/ 2+' ) а и, следовательно, а +оа 1 +со ( — 1) ( — ) 2 + — Х а! 1 3 5 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
