Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа (1957) (1095472), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Пусть (см. рис, 57) теперь à — окружность, проходягцая через Р и ортогональная С, М вЂ” точка пересечения С и Г, Р* — вторая точка пересечения Г с прямой ОР. Тогда ОМ будет касательной к Г и, оледовательно, Гса=ОМа=ОР ОР*, откуда следует, что Р* есть точка, симметричная Р относительно С. Теорема становится тривиальной, если либо С, либо Г есть прямая, что и требовалось доказать. Следствие. Пусть точки Р и Р* симметричны относительно окружности (в широком смысле) С; точки Я и сг* симметричны относительно окружности (в широком смысле) Г. Тогда линейное преобразованне, переводящее С в Г и точку Р в точку Я, переведет точку Р' в точку Я'. В самом деле, в силу консерватизма углов окружности (в широком смысле), проходящие через Р и ортогональные С, перейдут в окружности (в широком смысле), проходящие через (;т и ортогональные Г, следовательно, точка пересечения первых Р* перейдет в точку пересечения вторых Я*.
3 201 конФОРмнь<Б ОтОБРАжения ОБлАстей 201 Замечание. Всякое линейное преобразование с днумя неподвижными точками а, Р можно записать в виде (3.70) Е = Е, БЕБЕ„Й где К отлично от 0 и со. Обратно, всякое преобразование (3.70) есть линейное преобразование с неподвижными точками 0 и со. В самом деле, если Е имеет неподвижные точки а и то Е„ БЕЕ„ ' будет линейным преобразованием с неполвижнымл точками О, со, следовательно Е„БЕЕ„Э< = Ег<, откУда Умножением слева на Е„ 'Э и Умножением спРава иа Е„,Б полУчим искомое Равенство (3.70).
Обратно, Е„'ЭЕ<гЕФЭ при вснком К отличном от 0 и со, будет линейным преобразованием с неподвижными точками а, Р. Для кан<дого нетождественного линейного преобразования с двумя неподвижными точками К~1 и определено с точностью до замены обра~ным числом (ибо при перестановке неподвижных 11 точек К заменяется на — 7<. К)' Нетождественное линейное" преобразование с двумя неподвижными точками называется гиперболическим, если К положительно эллиптическим, если ( К (= 1, локсодромическим в прочих случаях' Нетождественное линейное преобразование с одной неподвижной точкой называется параболическим.
Теорема. Пусть ЕЗ вЂ” одна из двух областей, на которые окружность (в широком смысле) С делит полную плоскость, Р— точка в Ез, гп — <направление», выходящее из Р; пусть а — одна из двух областей, на которые окружность (в широком смысле) 1' делит полную плоскость, () точка в Ь, и — <Баправление», выходящее из (). Тогла существует единственное линейное преобразование переводящее область Е» в область Ь, точку Р в точку <), <направление» гп н <направление» и, Доказательство. Сперва заметим, что внутренность или внешность окружности можно линейным преобразованием перевести в некоторую полуплоскость (для этого достаточно взять линейное преобразование, переводящее три разные точки окружности в какие- нибудь три разные точки, из которых одна со). Заметим еще, что в частном случае, когда С и 1', упоминаемые в теореме, являются прямыми, найдется линейное преобразонание, переволящее Е< в Ь и Р в (е, ибо легко получить линейное преобразование Е, составленное из вращения, параллельного переноса и подобия, переводящее ЕЗ в полуплоскость у ) 0 и точку Р в точку Е и аналогичное М, переводящее Ь в полуплоскость у )О и точку (,) в точку Е а тогда М Е переведет Р в Ь и Р в <;).
После этих замечаний перейдем к доказательству теоремы. Пусть Е<(М<) — линейное преобразование, переводящее Е<(Ь) в некоторую полуплоскость Е)т(ат); оно переводит точку Р (<;)) и 202 анллитическик ехнкции (гл. гп «направление» т (и) в некоторые точку Р,((;)>) и «направление» т>(п>).
Пусть >>à — линейное преобразование, переводящее внутренность единичного круга в некоторую полуплоскость Ь; оно переведет точку О в пекотору>о точку Р. Пусть «.»(М») — линейное преобразование, переводящее с»> (б>) в о и Р, (()>) в КО оно переведет «направление» т>(п>), выходящее из Р,(()>), в некоторое «направление» тз(пз), выходящее из Р. Преобразование йз = Х >йзй> (Мз — — >>«' >М»М>) переводит Г> (з) во внутренность единичного круга, Р (1;)) в его центр, «направление» т (и) в некоторое направление щз(пз), выходящее из центра.
Пусть Т вЂ” вращение, переводящее «напРавление» тз в «напРайление» пз, тогда Я = М 'УУ.» бУдет искомым линейным преобразованием, переводящим Г> в Ь, Р в >;), и в и. Остается показать, что не существует двух таких преобразований Я и 5,. Пусть >» — линейное преобразование, переводящее внутренность единичного круга в Г>, его центр в Р, «направление» действительной оси в «направление» т. Тогда >>Г '5, ~5>>> переводит внутренность единичного круга в себя, сохраняет центр и направление действительной оси, следовательно, будет то>клее»ясиным преобразованием Е.
Но из >>Г '5, '5>>> = Е (умножаем слева иа >>>, справа на >>Г ' и, наконец, слева на 5>) найдем, что 5 = 5>. Замечание. Если линейное преобразование т'. переводит окружность (в широком смысле) С в окружность (в широком смысле) Г и точку а, не лежащую на С, в точку й, то при надлежащем выборе К, где а'(б') — точка, симметричная а(й) относительно С (Г). В самом деле, Еуа»ь».„„»' сохраняет точки О и со, следовательно, имеет вид йк. Из ьау,У.б~,' = йк умнов«ением слева на АЗЗ,' и умножением справа иа й „получим искомое выражение для й.
В частности, если 1' есть единичная окружность и б=О, то б" = со; но»'.о есть тождественное преобразование, следовательно, в рассматриваемом случае й = Е (.„„, при некотором К. Заметим что тогда при произвольном К зто преобразование переведет а в О и С в некоторую окружность с центром О. По»тому достаточно потребовать, чтобы некоторое лв на С переходило в точку с единичным модулем. Таким образом, общий вид всех линейных преобразований, переводящих С в единичну>о окружность и точку а, не лежащую на С, в О, есть 1 Л=Акй „|К!= $20] КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ 203 где гз — -каКая-нибудь фиксированная точка на С. Иначе говоря общий вид таких преобразований есть 7.: (г) и = К '" —, где ! К) = 1. ~ааь (гв) (3.71) Пример У.
Найти всевозможные линейные преобразования, переводящие единичную окружность в себя и точку а в О. ! Здесь а' = =, следовательно, искомые линейные преобразова- а ния будут: ю =К=, где )К~ =1 аг — 1 (3.72) (ибо если а = ге т, то =-= — е" и моз0но взять гв — — е т). 1 1 11 ! а г Пример 2. Найти все линейные преобразования, переводящие действительную ось в единичную окружность и точку а в О. Здесь а" = а, следовательно, искомые линейные преобразования будут: и=К, где (К!=1 г — а (3.73) Конформные отображения односвязных областей Формулировка теоремы Римана — Каратеодори. Всякая односвязная область на полной плоскости, кроме полной плоскости и полной плоскости с выколотой точкой, может быть коиформно отоб ажена на внутренность единичного круга.
оказательство этой теоремы здесь не приводится. Из теоремы Римана — Каратеодори следует, что всякие две олносвязиые области Р и А, отличные от полной плоскости и полной плоскости с выколотой точкой, могут быть конформно отображены одна на 'другую. В самом деле, если 5 и Т вЂ” конформные отображения Р и А на внутренность единичного круга, то Т '5 будет конформиым отображением Р на А. Вопрос о том, насколько многообразны конформные отображения Р на А, легко решается, если будет доказана Лемма Шварца. Если у(г) внутри единичного круга аналитична, по модул0о не превышает 1 и имеет нуль в точке О, то ~У(г) ! <(г! при )г)(1, причем либо )у(г)1((г) при 0((г((1, либо У(г) = вг, где й постоянно и ) й ! = 1.
Л о к а з а т е л ь с т в о. Так как 7(0) = О„то — аналитична у (г) при ~ г (1. Прн )г!=г, где 0(г(1 имеем ( — ! ( —, следо- У(г) 1 1 г (гл. Ки 204 лиллитичискив екикции у(л) ~ вательно, по принципу максимума модуля ) — ~ ~( — при ~ г!(г. г Переход к пределу при г->! показывает, что при (л~~(1 имеем ! — "'- у (г) — ( 1.
Если в некоторой точке лв~ — э ~=1, то = сопл! =й, ло где, очевидно, 1Л(х 1, В противном случае (а также в предыдущем случае, когда !й~ч. 1) имеем ( — )(1 при 1л!(1. Таким ' у (в) образом, либо у(л) = йя, где ~А ~ = 1, либо 1у(л) /(/л) при бс' ~ в ! ( 1, что и требовалось доказать.
Следствие. Конформное отображение внутренности единичного круга на себя, сохраняющее точку О н направление действительной оси, есть то;кдественное преобразовзние. В самом леле, если ы = у(з) есть такое конформное отображе- ние, то у(л) удовлетворяет условиям леммы Швзрца, поэтому 1у(л) ! ( ~ л ~ при !л,'(1. Но обратное отображение л = ч(щ) также удовлетворяет условиям леммы Шварца, поэтому ! ч (ы) ( ( тв при 1ю )(1.
Полагая здесь ы =-у(л), получим ! г ! ( ~ у(л) ! при !л/(1. Сравнение полученных неравенств показывает, что ! у (л) ~ = ) я ! при /я,'(1, Следовательно, по лемме Шварца )у(л) ~ =Лг, гле ~ Л~ = 1. Учитывая, что направление действительной оси сохраняется, находим Л = — ! и, следовательно, у(л) = л, Из теоремы Римана — Каратеодори и предыдущего следствия нз леммы Шварца вытекает Теорема. Пусть й (а) — односвязная область, отличная от пол- ной плоскости и полной плоскости с выколотой точкой, Р (О)— точка в О (з), яг(п) — »направление», выходящее из Р(О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
